فيديو الدرس: قانون نيوتن للجذب العام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قانون نيوتن للجذب العام لإيجاد القوة الجاذبة بين كتلتين.

حسنًا، إذا كانت لدينا كتلتان، ﻙ واحد وﻙ اثنان، على سبيل المثال الأرض والقمر، تفصل بينهما مسافة، ﻑ، فإن كلًّا منهما تؤثر على الأخرى بقوة تسمى قوة الجاذبية. هذه القوة تتبع قانون التربيع العكسي، ما يعني أن مقدارها يقل بزيادة مربع المسافة ﻑ. وهذه القوة مثال واضح على قانون نيوتن الثالث للحركة، والذي ينص على أنه عندما يؤثر جسم بقوة على جسم ثان، ففي الوقت نفسه، يؤثر الجسم الثاني على الجسم الأول بقوة مساوية للقوة الأولى في المقدار ومضادة لها في الاتجاه.

ينص قانون نيوتن للجذب العام على أنه تنشأ بين أي جسمين قوة جاذبية متبادلة يؤثر بها كل منهما على الآخر؛ حيث تكون القوة التي يؤثر بها أي من الجسمين في اتجاه مركز ثقل الجسم الآخر. هذه القوة، ﻕ، التي تؤثر على الجسمين بالمقدار نفسه، تساوي ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻙ واحد كتلة أحد الجسمين، وﻙ اثنان كتلة الجسم الآخر، وﻑ المسافة بين مركزي ثقل الجسمين، وﺙ ثابت الجذب العام. ثابت الجذب العام، الذي يشار إليه أحيانًا بـ ﺙ، هو ثابت أساسي للكون، ويساوي تقريبًا ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام مربع.

دعونا الآن نتناول مثالًا يوضح كيفية حساب قوة الجاذبية بين جسمين.

أوجد قوة الجاذبية بين كرتين متطابقتين كتلة كل منهما ٣٫٠١ كيلوجرامات، إذا كانت المسافة بين مركزيهما ١٥٫٠٥ سنتيمترًا، وكان ثابت الجذب العام ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام مربع.

حسنًا، إننا نعلم أن قانون نيوتن للجذب العام ينص على أنه إذا كان لدينا جسمان كتلتاهما ﻙ واحد وﻙ اثنان، فإن كلًّا منهما يجذب الآخر بقوة مقدارها ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻑ المسافة بين مركزي ثقليهما وﺙ ثابت الجذب العام.

حسنًا، لدينا هنا ﺙ يساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١، مضروبًا في كتلة الكرة الأولى، ٣٫٠١، مضروبًا في كتلة الكرة الثانية، ٣٫٠١ أيضًا. وبما أن ﺙ والكتلتين معبر عنها بالوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، وهي النيوتن والمتر والكيلوجرام، فإننا نقسم على مربع المسافة ﻑ مقيسة بالمتر، أي ١٥٫٠٥ في ١٠ أس سالب اثنين الكل تربيع. بإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على قوة الجاذبية بين الكرتين؛ وهي ٢٫٦٦٨ في ١٠ أس سالب ثمانية، والوحدة هي النيوتن.

سنتناول الآن مثالًا على استخدام قوة الجاذبية بين جسمين لتحديد المسافة بين مركزي ثقليهما.

إذا كانت قوة الجاذبية بين جسمين كتلتاهما ٤٫٦ كيلوجرامات و٢٫٩ كيلوجرام تساوي ٣٫٢ في ١٠ أس سالب ١٠ نيوتن، فأوجد المسافة بين مركزيهما. ثابت الجذب العام ﺙ ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام مربع.

لعلنا نتذكر أن قانون نيوتن للجذب العام ينص على أنه إذا كان لدينا جسمان كتلتاهما ﻙ واحد وﻙ اثنان، فإن كلًّا منهما يجذب الآخر بقوة مقدارها ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻑ المسافة بين مركزي ثقل الجسمين وﺙ ثابت الجذب العام. حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد المسافة بين مركزي الجسمين. لذا، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة هذه المسافة، ﻑ. يمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب الطرفين في ﻑ تربيع ثم القسمة على ﻕ وحساب الجذر التربيعي للناتج.

والآن، سنعوض بقيم جميع المتغيرات والثوابت؛ حيث ﺙ يساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١. علمنا من السؤال أن قيمتي الكتلتين ﻙ واحد وﻙ اثنين ٤٫٦ و٢٫٩ بالوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهي الكيلوجرام. والقوة ﻕ معطاة أيضًا في السؤال ومقدارها ٣٫٢ في ١٠ أس سالب ١٠ بالوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات أيضًا، وهي النيوتن. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن المسافة بين مركزي الجسمين تساوي ١٫٦٦٧٥ بالوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات وهي المتر. وبالسنتيمتر، هذه القيمة تساوي ١٦٦٫٧٥ سنتيمترًا.

دعونا الآن نتناول مثالًا على حساب قوة الجاذبية بين جسمين عندما يكون أحد هذين الجسمين هو الأرض.

قمر صناعي كتلته ٢٤١٥ كيلوجرامًا يدور على ارتفاع ٥٤٠ كيلوجرامًا فوق سطح الأرض. إذا كان ثابت الجذب العام ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام مربع، وكتلة الأرض ونصف قطرها ستة في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام و٦٣٦٠ كيلومترًا على الترتيب، فأوجد قوة الجاذبية التي تؤثر بها الأرض على القمر الصناعي.

إننا نعلم أن قانون نيوتن للجذب العام ينص على أنه إذا كان لدينا جسمان كتلتاهما ﻙ واحد وﻙ اثنان، فإن كلًّا منهما يجذب الآخر بقوة مقدارها ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻑ المسافة بين مركزي ثقليهما وﺙ ثابت الجذب العام. ووفقًا لقانون نيوتن الثالث، فإن القوة التي تؤثر بها الأرض على القمر الصناعي والقوة التي يؤثر بها القمر الصناعي على الأرض متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه. وكلاهما يعطى بهذه المعادلة.

حسنًا، ﺙ ثابت الجذب العام، ويساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١. يمكننا قول إن كتلة الأرض هي ﻙ واحد، وتساوي ستة في ١٠ أس ٢٤، وأن ﻙ اثنين كتلة القمر الصناعي، وتساوي ٢٤١٥. لكن سيتطلب إيجاد ﻑ تربيع مزيدًا من التفكير. نحن نعلم المسافة من القمر الصناعي إلى سطح الأرض ونصف قطر الأرض. لكننا لا نعلم قيمة ﻑ، وهي المسافة بين مركزي ثقل الجسمين. المسافة بين مركز ثقل الأرض والقمر الصناعي تساوي نصف قطر الأرض، نقﺃ، زائد المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض، ﻑ واحد.

وجدير بالذكر أننا نمثل القمر الصناعي هنا في صورة كتلة نقطية. وسنهمل حجم القمر الصناعي ونفترض أن المسافة بين مركز ثقله وسطح الأرض تساوي ٥٤٠ كيلومترًا.

إذن، يكون لدينا ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على نقﺃ زائد ﻑ واحد، الكل تربيع. ومن ذلك يصبح لدينا ﺙ، ويساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١، مضروبًا في كتلة الأرض، وتساوي ستة في ١٠ أس ٢٤، مضروبة في كتلة القمر الصناعي، وتساوي ٢٤١٥، الكل مقسوم على نصف قطر الأرض نقﺃ، ويساوي ٦٣٦٠ كيلومترًا، وهذا يساوي ٦٣٦٠ في ١٠ أس ثلاثة بالوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهي المتر، زائد المسافة ﻑ واحد بين سطح الأرض والقمر الصناعي، وهي ٥٤٠ كيلومترًا، وتساوي ٥٤٠ في ١٠ أس ثلاثة بوحدة المتر، الكل تربيع. بإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على ٢٠٣٠٠ بوحدة النيوتن.

حسنًا، إننا نعلم أن القوة المؤثرة على جسم تكسبه عجلة وفقًا لقانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن عجلة الجسم تتناسب طرديًّا مع القوة المؤثرة عليه؛ حيث كتلة الجسم هي ثابت التناسب. ويمكن التعبير عن ذلك بهذه المعادلة؛ القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة؛ أي ﻕ تساوي ﻙ واحدًا في ﺟ؛ حيث ﻙ واحد كتلة الجسم. والعجلة المكتسبة بسبب قوة الجاذبية تسمى عجلة الجاذبية. القوة في هذه الحالة معطاة وفقًا لقانون نيوتن للجذب العام؛ ﻕ تساوي ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع.

ولإيجاد عجلة الجاذبية الأرضية للجسم الأول، سنساوي هذين التعبيرين اللذين يمثلان القوة المؤثرة على الجسم. ونحصل بذلك على ﻙ واحد في ﺟ يساوي ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع. وبما أن الكتلة لا يمكن أن تساوي صفرًا، يمكننا قسمة الطرفين على العامل المشترك ﻙ واحد. وهذا يعطينا عجلة الجاذبية للجسم؛ ﺟ تساوي ﺙ في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع.

لاحظ أن هذه العجلة لا تعتمد على كتلة الجسم الأول، وإنما تعتمد فقط على كتلة الجسم الثاني. وهذا يفسر سبب سقوط جسمين بالمعدل نفسه في حالة عدم وجود قوة سحب. هذا يقودنا إلى مفهوم واحد أخير، وهو شدة مجال الجاذبية للكتلة النقطية. إنه يعني قوة الجاذبية لكل وحدة كتلة، والتي تؤثر بها كتلة، ﻙ، على جسم يقع مركز ثقله على بعد مسافة نق منها. ونحصل عليها من المعادلة ﺩ، تساوي ﺙ في ﻙ على نق تربيع.

لاحظ أن هذا في الواقع هو التعبير نفسه الذي يمثل عجلة الجاذبية المذكور سابقًا. وذلك لأنهما في الواقع يمثلان الكمية نفسها. لكن هذا التعبير هو الطرف الآخر من معادلة قانون نيوتن الثاني بعد إعادة ترتيبها قليلًا.

في الطرف الأيمن، لدينا القوة مقسومة على الكتلة، أو بعبارة أخرى، القوة لكل وحدة كتلة. وفي الطرف الأيسر، لدينا العجلة. إذن، شدة مجال الجاذبية وعجلة الجاذبية الأرضية يمثلان في الواقع الكمية نفسها، ولكن معبرًا عنهما بطريقة مختلفة. وفي حقيقة الأمر، إننا عادة ما نستخدم الحرف الصغير ﺩ للإشارة إلى عجلة الجاذبية وكذلك شدة مجال الجاذبية. وبالنسبة إلى الأرض، فكتلتها تساوي ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤.

وإذا كان الجسم يوجد على سطح الأرض، فيمكننا التعامل مع الأرض في هذه الحالة على أنها كتلة نقطية. والمسافة من السطح إلى مركز الثقل تساوي نصف قطر الأرض؛ أي ٦٫٣٧ في ١٠ أس ستة. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن ﺩ تساوي ٩٫٨١ أمتار لكل ثانية مربعة لأقرب منزلتين عشريتين، وهي العجلة القياسية للجاذبية على سطح الأرض.

دعونا الآن نتناول مثالًا على حساب النسبة بين عجلة الجاذبية على كوكب الأرض وعجلة الجاذبية على كوكب آخر.

إذا كانت كتلة كوكب تساوي ثلاثة أمثال كتلة كوكب الأرض، وقطر هذا الكوكب يساوي ستة أمثال قطر كوكب الأرض، فاحسب النسبة بين عجلة الجاذبية على هذا الكوكب وعلى كوكب الأرض.

حسنًا، إننا نعلم أن عجلة الجاذبية على سطح كرة منتظمة يعطى بواسطة ﺟ تساوي ﺙ في ﻙ على نق تربيع؛ حيث ﻙ كتلة الكرة، ونق نصف قطر الكرة، وﺙ ثابت الجذب العام. يمكننا اعتبار الأرض والكوكب كرتين منتظمتين. ويمكننا قول إن عجلة الجاذبية على سطح الأرض، ﺟﺃ، تساوي ﺙ في كتلة الأرض، ﻙﺃ، مقسومًا على نصف قطر الأرض، نقﺃ تربيع.

وبالمثل، يمكننا قول إن عجلة الجاذبية على سطح الكوكب، ﺟP، تساوي ﺙ في كتلة الكوكب، ﻙP، مقسومًا على نصف قطر الكوكب، نقP تربيع. حسنًا، علمنا من السؤال أن كتلة الكوكب، ﻙP، تساوي ثلاثة أمثال كتلة الأرض، ﻙﺃ. إذن ﻙP يساوي ثلاثة ﻙﺃ. علمنا أيضًا من السؤال أن قطر الكوكب يساوي ستة أمثال قطر كوكب الأرض؛ أي إن نصف قطر الكوكب، نقP، يساوي أيضًا ستة أمثال نصف قطر الأرض، نقﺃ. إذن، نقP يساوي ستة نقﺃ.

يمكننا إذن قول إن عجلة الجاذبية على الكوكب، ﺟP، تساوي ﺙ في ثلاثة ﻙﺃ على ستة نقﺃ الكل تربيع. وبفك قوسي المقام، نحصل على ﺙ في ثلاثة ﻙﺃ على ٣٦نقﺃ تربيع. وبالتبسيط من خلال قسمة البسط والمقام على ثلاثة، نحصل على ﺙ في ﻙﺃ على ١٢نقﺃ تربيع. وهذا هو التعبير نفسه الذي يمثل عجلة الجاذبية على سطح الأرض ﺟﺃ، لكن مع وجود عامل إضافي مقداره واحد على ١٢. ومن ثم، نجد أن ﺟP يساوي واحدًا على ١٢aﺃ. إذن، النسبة بين عجلة الجاذبية على سطح الكوكب وعجلة الجاذبية على كوكب الأرض، ﺟP إلى ﺟﺃ، تساوي واحدًا إلى ١٢.

والآن سنتناول مثالًا على كيفية حساب نصف قطر كوكب بمعلومية عجلة الجاذبية.

أسقط رائد فضاء جسمًا من ارتفاع ٢٣٥٢ سنتيمترًا فوق سطح أحد الكواكب، فوصل الجسم إلى سطح الكوكب بعد ثماني ثوان. كتلة الكوكب ٧٫١٦٤ في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام، وكتلة كوكب الأرض ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام، ونصف قطر كوكب الأرض ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة متر. بمعلومية أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، أوجد نصف قطر الكوكب الآخر.

حسنًا، إننا نعلم أن عجلة الجاذبية على سطح كرة منتظمة تعطى بواسطة ﺟ تساوي ﺙ، بالحرف الكبير، في ﻙ على نق تربيع؛ حيث ﺙ ثابت الجذب العام، وﻙ كتلة الكرة، ونق نصف قطر الكرة. من المهم هنا ملاحظة أن السؤال لم يعطنا قيمة ﺙ. وبإمكاننا استخدام قيمة الثابت التي نعرفها لحل المسألة، لكننا في الواقع لسنا بحاجة إلى ذلك. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل نق في طرف بمفرده، وهو الكمية التي نريد إيجادها، وذلك عن طريق ضرب الطرفين في نق تربيع، ثم القسمة على ﺟ، وحساب الجذر التربيعي.

مرة أخرى، ليس لدينا قيمة ﺙ، لكن لدينا كتلة الأرض ونصف قطرها وعجلة الجاذبية الأرضية. وهذه ملحوظة تخبرنا بأنه يمكننا استخدام هذه الكميات لإيجاد نصف قطر الكوكب الآخر. يمكننا فعل ذلك باستخدام النسبة الآتية. إذا قسمنا هذا التعبير الذي يمثل نصف قطر الكوكب، سنسميه نقP، على التعبير الذي يمثل نصف قطر الأرض، وسنسميه نقﺃ، فسنجد أن نقP على نقﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺙ في ﻙP على ﺟP، الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺙ في ﻙﺃ على ﺟﺃ.

يمكننا استخدام إحدى قواعد الجذور الصماء لتبسيط ذلك. الجذر التربيعي لـ ﺱ على الجذر التربيعي لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ على ﺹ. إذن، يمكننا إعادة كتابة النسبة نقP على نقﺃ لتصبح الجذر التربيعي لـ ﺙ في ﻙP على ﺟP على ﺙ في ﻙﺃ على ﺟﺃ. حسنًا، لدينا هنا عامل مشترك، وهو ﺙ، في البسط والمقام تحت الجذر التربيعي، فيلغي كل منهما الآخر. وبذلك نكون قد حذفنا ﺙ من المعادلة. يمكننا أيضًا ضرب البسط والمقام في ﺟP وﺟﺃ. وهذا يعطينا نقP على نقﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻙP في ﺟﺃ على ﻙﺃ في ﺟP.

وأخيرًا، يمكننا ضرب الطرفين في نقﺃ. ونحصل بذلك على نصف قطر الكوكب، نقP، معبرًا عنه بالكامل بدلالة الكميات المعطاة في السؤال، باستثناء كمية واحدة. حسنًا، نحن لا نعلم بعد عجلة الجاذبية على الكوكب الآخر، ﺟP. لكن يمكننا إيجاد تعبير آخر لهذه العجلة بمعلومية كميات أخرى معطاة في السؤال باستخدام معادلات الحركة أو معادلات الحركة بعجلة ثابتة.

إننا نعلم أن هذه مجموعة من المعادلات التي تربط بين الإزاحة ﻑ، والسرعة الابتدائية ﻉ صفر، والسرعة النهائية ﻉ، والعجلة الثابتة ﺟ، والزمن ﻥ. وبما أن الجسم يسقط مسافة قصيرة للغاية مقارنة بحجم الكوكب، يمكننا افتراض أن عجلة الجاذبية ثابتة طوال مدة سقوطه. حسنًا، علمنا من السؤال قيمة الإزاحة، وتساوي ٢٣٥٢ سنتيمترًا، والسرعة الابتدائية وتساوي صفرًا؛ لأننا نفترض أن الجسم كان في حالة سكون عندما أسقطه رائد الفضاء، وعلمنا أيضًا الزمن المستغرق، ويساوي ثماني ثوان. ونحن لا نعلم السرعة النهائية، ونريد إيجاد العجلة.

إذن، معادلة الحركة التي نحتاجها هنا هي ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. وبما أن الجسم يبدأ من السكون، فإن ﻉ صفر تساوي صفرًا، ما يعني أن ﻉ صفرﻥ يساوي صفرًا أيضًا. يمكننا بعد ذلك إعادة الترتيب لجعل ﺟ في طرف بمفرده، وذلك عن طريق ضرب الطرفين في اثنين والقسمة على ﻥ تربيع، ما يعطينا ﺟ تساوي اثنين ﻑ على ﻥ تربيع. يمكننا بعد ذلك التعويض عن ﺟP في المعادلة التي تمثل نقP بهذا التعبير. ويمكننا التبسيط بضرب البسط والمقام في ﻥ تربيع، ما يعطينا نقP يساوي نقﺃ في الجذر التربيعي لـ ﻙP في ﺟﺃ في ﻥ تربيع على اثنين في ﻑ في ﻙﺃ. حسنًا، نقP الآن معبر عنه بالكامل بدلالة الكميات المعطاة في السؤال، ويمكننا التعويض بهذه القيم.

بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نحصل على ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة في الجذر التربيعي لـ ٧٫١٦٤ في ١٠ أس ٢٤ في ٩٫٨ في ثمانية تربيع مقسومًا على اثنين في ٢٣٫٥٢ في ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤. وقد حصلنا على القيمة ٢٣٫٥٢ بالتعبير عن المسافة ٢٣٥٢ سنتيمترًا بوحدة المتر، وهي الوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات. بحساب هذا الجذر التربيعي، نجد أنه يساوي أربعة بالضبط. إذن نصف قطر الكوكب يساوي بالضبط أربعة أمثال نصف قطر كوكب الأرض؛ أي ٢٫٥٣٦ في ١٠ أس سبعة متر.

دعونا الآن نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. تنشأ بين أي جسمين قوة جاذبية متبادلة يؤثر بها كل منهما على الآخر؛ حيث تكون القوة التي يؤثر بها أي من الجسمين في اتجاه مركز ثقل الجسم الآخر. يعطى مقدار هذه القوة بواسطة ﻕ تساوي ﺙ في ﻙ واحد في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻕ هي القوة مقيسة بوحدة النيوتن. ‏ﻙ واحد وﻙ اثنان كتلتا الجسمين مقيستين بوحدة الكيلوجرام. ‏ﻑ المسافة بين مركزي ثقل الجسمين مقيسة بوحدة المتر. وﺙ، بالحرف الكبير، ثابت الجذب العام، ويساوي نحو ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام مربع.

عجلة الجاذبية لجسم كتلته ﻙ واحد في اتجاه جسم آخر كتلته ﻙ اثنان تساوي ﺙ في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع، ولا تعتمد على كتلة الجسم الأول، ﻙ واحد. إذا كان لدينا جسمان كتلتاهما ﻙ واحد وﻙ اثنان ونصفا قطريهما ﻑ واحد وﻑ اثنان، فإن النسبة بين قيمتي عجلة الجاذبية للجسمين تعطى بواسطة ﺟ واحد على ﺟ اثنين يساوي ﻙ واحدًا على ﻙ اثنين في ﻑ اثنين تربيع على ﻑ واحد تربيع.