نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺱ تساوي ﻥ تكعيب زائد خمسة وﺹ تساوي ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ، فأوجد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع.
مطلوب منا في المسألة إيجاد المشتقة الثانية ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. وللقيام بذلك، يتعين علينا أولًا إيجاد المشتقة الأولى. ولكي نستطيع إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، علينا أن نلقي نظرة على المعادلتين هنا؛ لأن ما لدينا هو زوج من المعادلات البارامترية.
إذن لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ لزوج المعادلات البارامترية، سنطبق قاعدة السلسلة لمساعدتنا في إيجاد المشتقة الأولى. ومن ثم، فما سنحصل عليه هو أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ. ويكون في الناتج ﺩﻥ؛ لأنه المتغير الآخر في هذه المسألة مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ. ونفعل ذلك، لأننا كما هو واضح سنحذف قيمتي ﺩﻥ؛ لأننا نضرب في ﺩﻥ ثم نقسم على ﺩﻥ. ومن ثم، ستلغي كل منهما الأخرى ويتبقى لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ. وسنصل إلى ذلك باشتقاق كل معادلة من زوج المعادلات البارامترية واحدة تلو الأخرى.
فلنبدأ أولًا بـ ﺹ تساوي ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ. إذن نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي اثنين ﻥ ناقص ثلاثة. وسنمر على الحدود لأننا إذا حصلنا على ﻥ تربيع، وأجرينا الاشتقاق، فسنحصل على اثنين ﻥ لأنك ضربت الأس في المعامل، أي اثنان في واحد، وهو ما يساوي اثنين. ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن لدينا اثنان ﻥ ثم سالب ثلاثة ﻥ، وبالاشتقاق تصبح سالب ثلاثة.
حسنًا، رائع، انتهينا من ﺩﺹ على ﺩﻥ. لننتقل الآن إلى المعادلة البارامترية الأولى ﺱ يساوي ﻥ تكعيب زائد خمسة. والآن، سنشتق هذا. وإذا أجرينا اشتقاقًا لهذا، فسنحصل على ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع. حسنًا، رائع، ولكن إذا نظرنا إلى قاعدة السلسلة، فسنرى أننا لا نحتاج إلى ﺩﺱ على ﺩﻥ، بل نحتاج إلى ﺩﻥ على ﺩﺱ.
إذن ما علينا فعله الآن هو إيجاد مقلوب ﺩﺱ على ﺩﻥ حتى نحصل على ﺩﻥ على ﺩﺱ. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ثلاثة ﻥ تربيع. حسنًا، رائع، توصلنا الآن إلى ﺩﺹ على ﺩﻥ. وتوصلنا إلى ﺩﻥ على ﺩﺱ. الآن يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، يمكننا القول بأن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﻥ ناقص ثلاثة في واحد على ثلاثة ﻥ تربيع. وهذا معناه ضرب ﺩﺹ على ﺩﻥ في ﺩﻥ على ﺩﺱ، وهو ما سيعطينا اثنين ﻥ ناقص ثلاثة على ثلاثة ﻥ تربيع.
حسنًا، مذهل، توصلنا بذلك إلى المشتقة الأولى. وتوصلنا إلى ﺩﺹ على ﺩﺱ. الآن ما علينا فعله هو إيجاد المشتقة الثانية. ولإيجاد المشتقة الثانية، ما سنفعله هو إيجاد ﺩ على ﺩﻥ للمشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ. بعد ذلك، سنضرب هذا في ﺩﻥ على ﺩﺱ.
وذلك لأننا إذا فكرنا في الأمر، فسنجد أن ما نريده هو ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. وإذا فعلنا ذلك بهذه الطريقة، فسنلغي مرة أخرى حدي ﻥ لأننا نريد فعليًّا حدي ﺱ وﺹ فقط. ومن ثم، سنفعل هذا الآن لإيجاد المشتقة الثانية.
سنبدأ باشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ — اثنان ﻥ ناقص ثلاثة على ثلاثة ﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. فقاعدة خارج القسمة التي سنستخدمها تقول إنه إذا كان ﺹ تساوي ﻉ على ﺭ، فإن ﺩﺹ ﺩﺱ يساوي ﺭ ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ ﺩﺭ على ﺩﺱ على ﺭ تربيع. الآن سنطبق هذا لإيجاد مشتقة الحد. لدينا ﻉ تساوي اثنين ﻥ ناقص ثلاثة وﺭ تساوي ثلاثة ﻥ تربيع.
أولًا، نريد إيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ وﺩﺭ على ﺩﻥ. إذن ﺩﻉ على ﺩﻥ ستساوي اثنين فقط لأننا أجرينا اشتقاقًا لاثنين ﻥ ناقص ثلاثة، وبالتالي يتبقى اثنان لدينا. وﺩﺭ على ﺩﻥ ستساوي ستة ﻥ. حسنًا، رائع، إذن، الآن لدينا ﺩﻉ على ﺩﻥ وﺩﺭ على ﺩﻥ، يتعين علينا استخدام قاعدة خارج القسمة وإيجاد التفاضل بالنسبة إلى ﻥ لاثنين ﻥ ناقص ثلاثة على ثلاثة ﻥ تربيع.
ومن ثم، سنحصل على ثلاثة ﻥ تربيع في اثنين لأن هذا هو ﺭ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص اثنين ﻥ ناقص ثلاثة في ستة ﻥ لأن هذا هو ﻉ ﺩﺭ على ﺩﺱ. ثم نقسم كل ذلك على ﺭ تربيع. إذن لدينا ثلاثة ﻥ تربيع الكل تربيع. ففي البسط، لدينا ستة ﻥ تربيع ناقص ١٢ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ. وفي المقام، لدينا تسعة ﻥ أس أربعة. وحصلنا على ذلك من ثلاثة ﻥ تربيع، فكما نعلم ثلاثة تربيع يساوي تسعة. ثم ﻥ أس اثنين أو ﻥ تربيع الكل تربيع يساوي ﻥ أس أربعة. حسنًا، رائع!
ومن خلال التبسيط، فسنحصل على ستة ﻥ تربيع ناقص ١٢ﻥ تربيع، وهو ما يساوي سالب ستة ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ الكل على تسعة ﻥ أس أربعة. ثم إذا أجرينا القسمة على ثلاثة ﻥ — نقسم البسط على ثلاثة ﻥ والمقام على ثلاثة ﻥ — لنحصل على سالب اثنين ﻥ زائد ستة على ثلاثة ﻥ تكعيب، وبذلك يتبقى لدينا اثنان ثم داخل القوسين ثلاثة ناقص ﻥ لأن ما فعلناه هو أننا أخذنا اثنين باعتباره عاملًا لكل حد من الحدين في البسط. وكل ذلك على ثلاثة ﻥ تكعيب.
حسنًا، رائع، وبذلك نكون قد توصلنا إلىﺩ على ﺩﻥ لاثنين ﻥ ناقص ثلاثة على ثلاثة ﻥ تربيع باستخدام قاعدة خارج القسمة. والآن، الخطوة الأخيرة هي أن علينا الضرب في ﺩﻥ على ﺩﺱ. وكتذكرة سريعة، ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ثلاثة ﻥ تربيع. حسنًا، سنضرب ذلك في المقدار الذي حصلنا عليه من الخطوة السابقة.
وإذا فعلنا ذلك، فإننا نضرب البسط في البسط. إذن لدينا اثنان ثم داخل القوسين ثلاثة ناقص ﻥ في واحد، وبذلك يتبقى لدينا البسط نفسه. ثم المقام ثلاثة ﻥ تكعيب في ثلاثة ﻥ تربيع، وهو ما يساوي تسعة ﻥ أس خمسة.
إذن، يمكننا القول بأنه مع معرفة أن ﺱ تساوي ﻥ تكعيب زائد خمسة وأن ﺹ تساوي ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ، فإن التفاضل الثاني سيساوي اثنين، ثم نفتح قوسًا، ثلاثة ناقص ﻥ، ونغلق القوس، على تسعة ﻥ أس خمسة.
