نسخة الفيديو النصية
أوجد نهاية الدالة ثلاثة ﺱ على ثمانية ﺱ زائد أربعة ناقص سبعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ زائد سبعة تربيع عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية.
أولًا: نكتب النهاية كلها. قد نحاول أولًا تبسيط المقدار ليصبح كسرًا واحدًا. لكننا سنلاحظ أن هذه الطريقة أصعب من اللازم. لفعل ذلك، نريد جعل حدود مقام الكسر متساوية. لذا، سنستخدم الضرب التبادلي. نضرب البسط ثلاثة ﺱ في المقام اثنين ﺱ زائد سبعة الكل تربيع. ونطرح منه بعد ذلك البسط سبعة ﺱ تربيع مضروبًا في ثمانية ﺱ زائد أربعة. ويمكن إيجاد المقام عن طريق ضرب المقامين معًا. إذن، نضرب ثمانية ﺱ زائد أربعة في اثنين ﺱ زائد سبعة تربيع.
في هذه الخطوة، نريد أن نستخدم قاعدة إيجاد نهايات الدوال الكسرية. وهي تنص على أنه علينا قسمة البسط والمقام على أعلى قوة لـ ﺱ موجودة في المقام. إذن، يمكننا أن نسأل: ما أعلى قوة لـ ﺱ موجودة في المقام؟ نلاحظ أننا سنحصل على أعلى قوة لـ ﺱ في المقام عند ضرب ثمانية ﺱ في اثنين ﺱ تربيع. إذن، أعلى قوة لـ ﺱ ستكون ﺱ تكعيب.
بعد ذلك سنقسم كلًّا من البسط والمقام على ﺱ تكعيب. على الرغم من أن هذه الطريقة ناجحة، فإننا نلاحظ أنها ستكون صعبة نظرًا لعدد الحدود الجبرية الموجودة. بدلًا من ذلك، سنبدأ من جديد. باستثناء هذه المرة، سنبدأ بالنتيجة التي تنص على أن نهاية الفرق بين دالتين تساوي الفرق بين نهايتي هاتين الدالتين. وهذا يعطينا نهاية ثلاثة ﺱ على ثمانية ﺱ زائد أربعة عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وهذا ناقص نهاية سبعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ زائد سبعة تربيع عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية.
نريد الآن استخدام قاعدة القسمة على أعلى قوة لـ ﺱ في المقام لمساعدتنا على إيجاد كل من نهايتي هاتين الدالتين الكسريتين. إذا بدأنا بالنهاية الأولى، فسنجد أن المقام دالة خطية. إذن، أعلى قوة لـ ﺱ هي ﺱ فقط. سنقسم كلًّا من بسط هذه الدالة داخل النهاية ومقامها على ﺱ. في النهاية الثانية، لدينا المقام اثنان ﺱ زائد سبعة تربيع. ستكون أعلى قوة لـ ﺱ هنا عندما نقوم بتربيع اثنين ﺱ فنحصل على أربعة ﺱ تربيع. ومن ثم، أعلى قوة في المقام داخل النهاية الثانية تساوي ﺱ تربيع. إذن، سنقسم كلًّا من البسط والمقام في هذه النهاية على ﺱ تربيع.
نلاحظ أن البسط في النهاية الأولى سيكون ثلاثة ﺱ على ﺱ. ويمكننا حذف هذا العامل المشترك ﺱ فنحصل على القيمة ثلاثة. إذن، يمكننا التعويض عن البسط في التعبير بثلاثة. سيكون المقام في النهاية الأولى ثمانية ﺱ زائد أربعة على ﺱ. يمكننا تقسيم ذلك إلى مجموع ثمانية ﺱ على ﺱ زائد أربعة على ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه فيصبح ثمانية زائد أربعة على ﺱ. إذن، يمكننا التعويض عن المقام في النهاية الأولى بثمانية زائد أربعة على ﺱ.
ننتقل الآن إلى النهاية الثانية. البسط في النهاية الثانية يساوي سبعة ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ تربيع. وهو ما يمكننا تبسيطه بحذف العامل المشترك ﺱ تربيع، فيصبح لدينا سبعة. ومن ثم، يمكننا التعويض عن البسط في النهاية الثانية بالقيمة سبعة. المقام في النهاية الثانية يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة تربيع على ﺱ تربيع. يمكننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن ﺃ زائد ﺏ الكل تربيع مقسومًا على ﺟ تربيع يساوي ﺃ زائد ﺏ على ﺟ الكل تربيع. نعيد كتابة المقام على الصورة اثنين ﺱ زائد سبعة على ﺱ الكل تربيع. كما فعلنا من قبل، يمكننا تقسيم ذلك إلى مجموع حدين، فنحصل على اثنين ﺱ على ﺱ زائد سبعة على ﺱ الكل تربيع. وبعد ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ، فنحصل على اثنين زائد سبعة على ﺱ الكل تربيع. وبذلك، يمكننا تغيير المقام في الحد الثاني إلى اثنين زائد سبعة على ﺱ الكل تربيع.
يمكننا الآن استخدام قاعدة القسمة للنهايات. وهي تنص على أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتي هاتين الدالتين. ومع ذلك يمكننا استخدام هذه القاعدة لإعادة كتابة النهاية الأولى على صورة خارج قسمة النهايتين. وهذا يعطينا نهاية ثلاثة مقسومة على نهاية ثمانية زائد أربعة على ﺱ. ويمكننا أيضًا إعادة كتابة النهاية الثانية على صورة خارج قسمة النهايتين. وهذا يعطينا نهاية سبعة عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية مقسومة على نهاية اثنين زائد سبعة على ﺱ تربيع عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. سنستخدم الآن حقيقة أنه لأي ثابت ﻙ، فإن نهاية ﻙ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻙ. إذن، نهاية ثلاثة في البسط تساوي ثلاثة. ونهاية سبعة في البسط تساوي سبعة.
ونعرف أيضًا أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي هاتين الدالتين. يمكننا أن نطبق هذا على النهاية الموجودة في مقام الكسر الأول للحصول على نهاية ثمانية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية زائد نهاية أربعة على ﺱ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. مرة أخرى، نهاية الثابت ثمانية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية هي ثمانية. نعلم أيضًا أنه لأي ثابت ﻙ، فإن نهاية ﻙ مضروبًا في د ﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻙ مضروبًا في نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ. يمكننا استخدام ذلك فنجد أن نهاية أربعة على ﺱ تساوي أربعة مضروبًا في نهاية واحد على ﺱ.
القاعدة التالية التي علينا استخدامها هي أن نهاية دالة المقلوب عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية تساوي صفرًا. إذن، يمكننا حساب قيمة نهاية دالة المقلوب في المقام وهي صفر. وهو ما يعني أنه يمكننا تبسيط المقام الأول فيصبح ثمانية. آخر قاعدة للنهايات سنستخدمها هي أن نهاية دالة مرفوعة لقوة تساوي نهاية هذه الدالة الكل مرفوع لهذه القوة. يمكننا استخدام هذه القاعدة فنجد أن نهاية اثنين زائد سبعة على ﺱ تربيع تساوي نهاية اثنين زائد سبعة على ﺱ الكل تربيع. ويمكننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتهما لتقسيم النهاية في المقام. هذا يعطينا نهاية اثنين عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية زائد نهاية سبعة على ﺱ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية الكل تربيع.
نعلم أن نهاية اثنين عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية تساوي اثنين. يمكننا بعد ذلك أخذ الثابت سبعة خارج النهاية. نحصل على سبعة مضروبًا في نهاية دالة المقلوب عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. ونعلم أيضًا أنه يمكننا حساب قيمة نهاية دالة المقلوب عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية فنجد أنها صفر. وهذا يعطينا المقام اثنين زائد سبعة مضروبًا في صفر الكل تربيع، الذي يساوي أربعة. هذا يعطينا أن النهاية في السؤال لثلاثة أثمان ناقص سبعة على أربعة، الذي يساوي سالب ١١ مقسومًا على ثمانية.
إذن، نجد أن نهاية الدالة ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثمانية ﺱ زائد أربعة ناقص سبعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ زائد سبعة تربيع تساوي سالب ١١ مقسومًا على ثمانية.
