نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي سالب اثنين في قا اثنين ﺱ، فأوجد معدل تغير ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة.
لدينا هنا ﺹ باعتبارها دالة في ﺱ، ومطلوب منا إيجاد معدل تغير ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة. حسنًا، تذكر أن معدل تغير دالة ما هو مشتقتها بالنسبة إلى متغيرها. وفي هذا السؤال، ﺹ هي دالة في المتغير ﺱ. إذن، نحن نريد حساب معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. أي نريد حساب ﺩﺹ على ﺩﺱ. لكننا نريد فعل ذلك تحديدًا عندما يكون ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة. إذن علينا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ ثم التعويض بـ ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة في هذا التعبير.
إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ ستكون مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. أي إنها مشتقة سالب اثنين قا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهناك بعض الطرق التي يمكننا اشتقاق ذلك من خلالها. على سبيل المثال، يمكننا استخدام المتطابقات المثلثية لإعادة كتابة هذا التعبير على الصورة سالب اثنين مقسوم على جتا اثنين ﺱ. ثم يمكننا اشتقاق هذا التعبير باستخدام قاعدة القسمة أو قاعدة القوة العامة أو قاعدة السلسلة، وسينجح ذلك. لكننا فعلنا هذا بالفعل في الحالة العامة لاستنتاج الناتج التالي.
نحن نعلم أنه بالنسبة إلى أي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة قا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ظا ﺃﺱ مضروبًا في قا ﺃﺱ. نلاحظ هنا أن المشتقة ليست مكتوبة على هذه الصورة. لدينا هنا العامل الثابت سالب اثنين. ولكن، يمكننا إخراجه من المشتقة. حسنًا، سنعيد كتابة ذلك على الصورة سالب اثنين في مشتقة قا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكننا تطبيق القاعدة بحيث تكون قيمة ﺃ تساوي اثنين. إذن بجعل قيمة ﺃ تساوي اثنين، وتذكر أن لدينا المعامل سالب اثنين، نحصل على سالب اثنين مضروب في اثنين ظا اثنين ﺱ في قا اثنين ﺱ. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. سالب اثنين مضروبًا في اثنين يساوي سالب أربعة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة ظا اثنين ﺱ في قا اثنين ﺱ.
لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو إيجاد معدل تغير ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة. إذن، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة في هذا التعبير. بالتعويض عن ﺱبـ ١١𝜋 على ستة في التعبير الدال على ﺩﺹ على ﺩﺱ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ ١١𝜋 على ستة يساوي سالب أربعة في ظا اثنين مضروبًا في ١١𝜋 على ستة مضروبًا في قا اثنين في ١١𝜋 على ستة. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. نحن نعلم أن اثنين في ١١𝜋 على ستة يساوي ١١𝜋 على ثلاثة. وهذا يعطينا سالب أربعة في ظا ١١𝜋 على ثلاثة مضروبًا في قا ١١𝜋 على ثلاثة. يمكننا حساب قيمة هذا التعبير باستخدام الآلة الحاسبة، لكن هذا ليس ضروريًّا.
تذكر أن دالة الظل تكون دورية، وطول دورتها هو 𝜋. هذا يعني أنه يمكننا إضافة مضاعفات 𝜋 وطرحها من قياس الزاوية، ولن يغير هذا من قيمة التعبير. إذن لتسهيل حساب هذا التعبير، سنطرح ثلاثة 𝜋 من قياس الزاوية داخل دالة الظل. ويمكننا أن نفعل شيئًا مشابهًا تمامًا مع دالة القاطع. لكن دالة القاطع تساوي واحدًا مقسومًا على جيب تمام الزاوية. ومن ثم، فهي دالة دورية وطول دورتها اثنان 𝜋. يمكننا فقط إضافة مضاعفات اثنين 𝜋 وطرحها. وعليه، بدلًا من ذلك، سنطرح أربعة 𝜋 من قياس الزاوية داخل دالة القاطع. نحن نعرف أن ١١𝜋 على ثلاثة ناقص ثلاثة 𝜋 يساوي اثنين 𝜋 على ثلاثة، و١١𝜋 على ثلاثة ناقص أربعة 𝜋 يساوي سالب 𝜋 على ثلاثة. إذن هذا يعطينا سالب أربعة ظا اثنين 𝜋 على ثلاثة مضروبًا في قا سالب 𝜋 على ثلاثة.
والآن، نحن على وشك إيجاد قيمة هذا التعبير. سنستخدم المتطابقة المثلثية التالية. نحن نعلم أن قا 𝜃 يكافئ واحدًا مقسومًا على جتا 𝜃. إذن بدلًا من الضرب في قا سالب 𝜋 على ثلاثة، يمكننا القسمة على جتا سالب 𝜋 على ثلاثة. هذا يعطينا سالب أربعة ظا اثنين 𝜋 على ثلاثة الكل مقسوم على جتا سالب 𝜋 على ثلاثة. نلاحظ هنا أن ذلك مكتوب بالكامل بدلالة الزوايا الأساسية. لذا، علينا معرفة هذه القيم. ظا اثنين 𝜋 على ثلاثة يساوي سالب جذر ثلاثة، وجتا سالب 𝜋 على ثلاثة يساوي نصفًا. ويمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا سالب أربعة في سالب جذر ثلاثة على نصف. ويمكننا تبسيط ذلك. القسمة على نصف هي نفسها الضرب في اثنين. سنجد بعد ذلك أن لدينا في البسط سالب ثمانية مضروبًا في سالب جذر ثلاثة؛ وهو ما يساوي ثمانية جذر ثلاثة، وهذا هو الحل النهائي.
وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي سالب اثنين قا اثنين ﺱ، فإن معدل تغير ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ١١𝜋 على ستة هو ثمانية جذر ثلاثة.
