نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة ﻡ إذا كان ٤٠ﻝﻡ زائد ١٥ يساوي ١١ﻝﻡ زائد ١٥.
الترميز المستخدم في هذه المعادلة هو ترميز التباديل. وبوجه عام، بالنسبة للعدد الصحيح الموجب ﻥ والعدد الصحيح ﺭ الذي يقع بين صفر وﻥ بما في ذلك كلاهما، فإن رمز التباديل ﻥﻝﺭ يمثل العدد الصحيح ناتج العملية الحسابية لمضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. ونسميه رمز التباديل لأن هذا العدد هو بالضبط عدد التباديل الناتجة من اختيار عدد ﺭ من العناصر المميزة من بين مجموعة مكونة من عدد ﻥ من العناصر المميزة.
ويمثل الترميز مضروب ﻥ حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من واحد إلى ﻥ بما في ذلك كلاهما. ويمكننا كتابة ذلك تكراريًّا على صورة ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. وهذا منطقي لأن مضروب ﻥ ناقص واحد هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة من واحد إلى ﻥ ناقص واحد. والضرب في ﻥ يعطينا حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة من واحد إلى ﻥ.
الآن سنستخدم هذه التعريفات لحل المعادلة. في البداية، لاحظ أن ﺭ الموجودة في ﻥﻝﺭ هي نفسها في هذين الرمزين، وهي ﻡ زائد ١٥. إذن، لتبسيط التعبيرين والعمليات الحسابية، دعونا نعرف متغيرًا آخر وهو ﻙ يساوي ﻡ زائد ١٥. وهو ما يحول المعادلة إلى ٤٠ﻝﻙ يساوي ١١ﻝﻙ. وبعد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ، سنطرح ١٥ لإيجاد قيمة ﻡ. من المهم أن نفهم أن التعويض بهذا المتغير لا يغير المسألة. هو فقط يجعل المسألة تبدو أسهل، وهو ما نأمله في محاولتنا للمضي قدمًا في حلها.
وبالفك باستخدام تعريف ﻥﻝﺭ، يصبح لدينا مضروب ٤٠ مقسومًا على مضروب ٤٠ ناقص ﻙ يساوي مضروب ١١ مقسومًا على مضروب ١١ ناقص ﻙ. تذكر أن تعريف المضروب يتضمن بوضوح ضرب عدة عوامل. وأيضًا، لكي يكون العددان متساويين، يجب أن يكون لهما العوامل الأولية نفسها. إذن، بما أن طرفي المعادلة حاصل ضرب عددين صحيحين، فسنقوم بمطابقة العوامل الأولية لكلا الطرفين. قبل أن نبدأ في تطبيق هذه الطريقة، علينا التأكد من أن الافتراضات الضمنية متحققة.
أولًا، ذكرنا أن كلا طرفي المعادلة هما حاصل ضرب عددين صحيحين. لكن كما هو مكتوب، فهما في الحقيقة كسران. إذن، ما علينا فعله هو إثبات أن هذين الكسرين يكافئان عددًا صحيحًا أو حاصل ضرب أعداد صحيحة. وسنفعل ذلك بتطبيق تعريف مضروب ﻥ في تعريف ﻥﻝﺭ. نبدأ بـ ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. نستخدم الآن هذا التعريف لإعادة كتابة مضروب ﻥ على صورة ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. لكن يمكننا الآن تطبيق التعريف مرة أخرى لإعادة كتابة مضروب ﻥ ناقص واحد على صورة ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين.
وسنستمر في تطبيق التعريف عدد ﺭ من المرات. وهذا يعطينا ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، إلى آخره، في ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد في مضروب ﻥ ناقص ﺭ الكل مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. لكن يوجد الآن العامل المشترك مضروب ﻥ ناقص ﺭ في البسط والمقام. إذن، يتبقى لدينا واحد من هذه القسمة. وﻥﻝﺭ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين إلى آخره في ﻥ ناقص ﺭ زائد واحد. وفي الواقع، عادة ما تكون كتابة ﻥﻝﺭ على صورة حاصل ضرب هذه الأعداد الصحيحة التي عددها ﺭ طريقة مفيدة للتعبير عن ﻥﻝﺭ بدلًا من استخدام المضروبات.
بغض النظر عن ذلك، نلاحظ أن ﻥﻝﺭ دائمًا عدد صحيح؛ ما يعني أن طريقتنا متحققة بالفعل. ولكن ثمة نقطة أخرى غير واضحة لا بد من تناولها، وهي أن طريقتنا تفترض ضمنيًّا أن كلا الطرفين هو حاصل ضرب عوامل أولية. على الرغم من أن كل عدد صحيح موجب تقريبًا هو في الواقع حاصل ضرب عوامل أولية، فإنه يوجد استثناء واحد. العدد واحد ليس عددًا أوليًّا، لكنه أيضًا ليس حاصل ضرب أعداد أولية. لذا سيكون علينا تعديل طريقتنا مع التنبه إلى أن هذا التساوي يتحقق إذا استطعنا مطابقة جميع العوامل الأولية لكلا الطرفين، أو إذا كان كلا الطرفين يساوي واحدًا.
هل هذا ممكن؟ هل يمكن أن يتحقق التساوي لأن كلا الطرفين يساوي واحدًا؟ بالفعل هذا ممكن. ألق نظرة على الطرف الأيمن. مضروب ٤٠ مقسومًا على مضروب ٤٠ ناقص ﻙ سيساوي واحدًا إذا كان مضروب ٤٠ يساوي مضروب ٤٠ ناقص ﻙ. لكن لا يتحقق هذه التساوي إلا إذا كان ٤٠ يساوي ٤٠ ناقص ﻙ. وبالطبع، إذا كان ٤٠ يساوي ٤٠ ناقص ﻙ، فإن ﻙ يساوي صفرًا.
بالنظر إلى الطرف الأيمن، نجد أن مضروب ١١ مقسومًا على مضروب ١١ ناقص ﻙ علمًا بأن ﻙ يساوي صفرًا، يصبح مضروب ١١ مقسومًا على مضروب ١١، وهو ما يساوي واحدًا أيضًا. ومن ثم، يتحقق الشرط الذي ينص على أن يساوي كلا الطرفين واحدًا إذا كان ﻙ يساوي صفرًا. وفي الواقع، من الصحيح عمومًا أن ﻥﻝ صفر يساوي واحدًا لجميع قيم ﻥ الموجبة. هذا لأن مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص صفر يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ، وهو ما يساوي واحدًا.
لاحظ أيضًا أن هذا يكشف أن التعبير الآخر لـ ﻥﻝﺭ يعني ضمنيًّا أن ﺭ أكبر من صفر لأنه من غير المنطقي أن يوجد عدد صفر من العوامل في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وبالفعل، فإن التعويض بـ ﺭ يساوي صفرًا لا يعطينا ﻥﻝ صفر يساوي واحدًا. يجدر أيضًا توضيح أنه عند تمثيل حاصل الضرب هذا، فقد أوضحنا حدين صريحين لأن قيمة ﺭ غير محددة. لكن إذا كان ﺭ يساوي واحدًا، فسيوجد حد واحد فقط، وهو ﻥ.
على أي حال، لقد تعاملنا الآن بشكل كامل مع الحالة الخاصة التي يساوي فيها طرفا المعادلة واحدًا. وبالفعل، أوجدنا حلًّا لهذه الحالة الخاصة، وهو أن ﻙ يساوي صفرًا. سننحي هذا الحل جانبًا مؤقتًا، ونطبق الآن الطريقة الأساسية لمطابقة العوامل الأولية لكلا الطرفين. تذكر أنه لإجراء ذلك، من المفيد كتابة الطرفين بشكل صريح على صورة حاصل ضرب العوامل. إذن، لفعل ذلك، سنحتاج إلى استخدام هذا التعبير الآخر لـ ﻥﻝﺭ. لكن كما لاحظنا، لا يتحقق هذا التعبير إلا إذا كان ﺭ أكبر من صفر.
ولتحقيق ذلك، سنقوم بكل العمليات الحسابية التالية بافتراض أن ﻙ أكبر من صفر. وبما أن هذا الافتراض يلغي احتمالًا صالحًا أن ﻙ يساوي صفرًا، فعلينا التحقق من أن ﻙ يساوي صفرًا يعطينا حلًّا أم لا. ولحسن الحظ، نحن بالفعل نعلم أن ﻙ يساوي صفرًا يعطينا حلًّا. ومن ثم، فنحن مستعدون الآن لتطبيق طريقتنا.
بإيجاد مفكوك المعادلة التي لدينا، نحصل على ٤٠ في ٣٩، إلى آخره، مضروبًا في ٤٠ ناقص ﻙ زائد واحد يساوي ١١ في ١٠، إلى آخره، في ١١ ناقص ﻙ زائد واحد. لقد وضعنا علامة الاستفهام الصغيرة هذه على علامة يساوي؛ لأننا لا نعلم ما إذا كانت هاتان الكميتان متساويتين أم لا. وهذا هو ما نحاول إيجاده. للتوضيح أيضًا، يكون العاملان ٣٩ و١٠ موجودين فقط إذا كان ﻙ يساوي اثنين أو قيمة أكبر. لقد كتبناهما فقط لمعرفة ما يحدث. لكننا أيضًا نفهم أنه إذا اكتشفنا أن ﻙ أقل من اثنين، فعلينا حذف هذين العاملين من المعادلة.
دعونا نبدأ في مطابقة هذه العوامل الأولية. بما أننا افترضنا أن ﻙ أكبر من صفر، فإن الطرف الأيسر يحتوي دائمًا على العامل الأولي ١١. علاوة على ذلك، بما أن ١١ هو العدد الأكبر في الطرف الأيسر، أيًّا كانت قيمة ﻙ، فإن الطرف الأيسر لن يقبل القسمة أبدًا على أي عدد أولي أكبر من ١١. لنقارن الآن كلًّا من هذين الشرطين بالطرف الأيمن.
بما أن ١١ عدد أولي، لكي يكون لدينا العدد ١١ عاملًا في الطرف الأيمن، يجب أن يكون أحد العوامل في حاصل الضرب هذا قابلًا للقسمة على ١١. لاحظ أن جميع العوامل الموجودة في الطرف الأيمن أقل من أو تساوي ٤٠، و٤٠ لا يقبل القسمة على ١١. إن مضاعف العدد ١١ الأقرب إلى العدد ٤٠ ولكن لا يتجاوزه هو٣٣، وهو ما يساوي ثلاثة في ١١. إذن، لكي يكون الطرف الأيمن قابلًا للقسمة على ١١، فلا بد أن يكون العدد ٣٣ أحد العوامل. لكي ندرك سبب ضرورة أن يكون العدد ٣٣ هو العامل وليس ٢٢ أو ١١ مثلًا، نلاحظ أن جميع العوامل في الطرف الأيمن تكون متتابعة تناقصية لأعداد صحيحة؛ ما يعني أنه إذا ظهر ٢٢، فلا بد أن العدد ٣٣ قد ظهر قبله بـ ١١ عددًا. وبالمثل، إذا ظهر ١١، فلا بد أن العدد ٣٣ قد ظهر قبله بالفعل بـ ٢٢ عددًا.
على أي حال، قبل المضي قدمًا في ذلك، دعونا نعد إلى ملاحظة أنه لا يوجد عدد أولي أكبر من ١١ يكون عاملًا للطرف الأيسر. لكن دعونا الآن نلق نظرة على ما كتبناه في الطرف الأيمن. أحد العوامل الممكنة في الطرف الأيمن هو ٣٩، لكن ٣٩ يساوي ثلاثة في ١٣. هذا يعني أنه إذا كان ٣٩ عاملًا في حاصل الضرب في الطرف الأيمن، فإن ١٣ عامل أولي لحاصل الضرب هذا، وهو ما يتناقض مع الشرط الذي ينص على أنه لا توجد أي أعداد أولية أكبر من ١١. ولذا، نستنتج أن ٣٩ لا يمكن أن يكون عاملًا للطرف الأيمن.
لكن الآن وجدنا تناقضًا. فبالنسبة إلى جميع قيم ﻙ الأكبر من صفر، يكون للطرف الأيسر دائمًا عامل أولي وهو١١، ولا توجد عوامل أولية أكبر من ١١. لذا لكي تكون حواصل الضرب هذه متساوية، أي لكي نطابق العوامل الأولية، لا بد أن يكون في الطرف الأيمن العامل الأولي للعدد ١١ وألا توجد عوامل أولية أكبر من ١١. وكما لاحظنا، هذا يعني أن ٣٣ يجب أن يكون عاملًا في الطرف الأيمن و٣٩ يجب ألا يكون عاملًا في الطرف الأيمن.
لكن مرة أخرى، كما لاحظنا، فإن الطرف الأيمن عبارة عن متتابعة تناقصية من أعداد صحيحة متتالية. هذا يعني أنه إذا كان ٣٣ عاملًا بالفعل في الطرف الأيمن، فلا بد أن يكون ٣٩ عاملًا؛ لأنه للوصول إلى العدد ٣٣، كان علينا المرور بالأعداد ٤٠ و٣٩ و٣٨ و٣٧ و٣٦ و٣٥ و٣٤ و٣٣. لكن من المستحيل بالطبع أن نعتبر العدد ٣٩ عاملًا وليس عاملًا في الوقت نفسه. إذن، فإن الشرطين الضروريين للطرف الأيمن يؤديان إلى تناقض في الطرف الأيمن.
ولكن بما أن الأمر قد أدى إلى تناقض، فلا بد أن افتراضنا لم يكن صحيحًا. وكان الافتراض هو أن هذه المعادلة لها حلول لبعض قيم ﻙ الأكبر من صفر. ومن ثم، الاستنتاج الذي علينا التوصل إليه هنا هو أن هذه المعادلة ليس لها حلول لـقيم ﻙ الأكبر من صفر، والحل الوحيد هو الحل الذي وجدناه بالفعل هو ﻙ يساوي صفرًا.
والآن، لم يتبق لنا سوى استخدام ﻙ يساوي صفرًا لإيجاد قيمة ﻡ. ومن ثم، يصبح لدينا صفر يساوي ﻡ زائد ١٥، أو ﻡ يساوي سالب ١٥ هو الحل الوحيد.
