نسخة الفيديو النصية
تطبيقات التكامل غير المحدد
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف يمكننا استخدام التكامل غير المحدد للتعبير عن الدالة بمعلومية تعبير دال على معدل تغيرها. وسنتناول عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها في حالات مختلفة. لفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر ما نعنيه بالتكامل غير المحدد للدالة.
على سبيل المثال، لنفكر في المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع. سنوجد تكامل ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. ونحن نعرف كيف نفعل ذلك. نضيف واحدًا إلى الأس اثنين، وهو ما يعطينا أسًا جديدًا وهو ثلاثة، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. هذا يعطينا ﺱ تكعيب على ثلاثة، ثم نضيف ثابت التكامل ﺙ. لكن علينا أن نتذكر بالضبط السبب في حسابنا هذا التعبير. تذكر أنه عندما عرفنا التكامل في البداية، أردنا أن نفعل ذلك لإيجاد المشتقات العكسية لتعبيرات مختلفة. لذا عرفنا التكامل بأنه العملية العكسية للاشتقاق. بعبارة أخرى، ما نحسبه عندما نوجد تكامل ﺱ تربيع هو المشتقة العكسية لـ ﺱ تربيع. وفي الواقع، نسمي ذلك الصورة العامة للمشتقة العكسية؛ لأنها مشتقة عكسية تحتوي أي قيمة للثابت ﺙ. ولمعرفة ما يعنيه هذا بالضبط، دعونا نشتق هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ.
إذا أردنا اشتقاق ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ بالنسبة إلى ﺱ، فسوف نشتق كل حد على حدة. لاشتقاق الحد الأول، علينا ضربه في قوة ﺱ ثم تقليل هذه القوة بمقدار واحد. بالطبع، يمكننا ملاحظة أن هذا سيعطينا ﺱ تربيع. بعد ذلك، لدينا ﺙ وهو ثابت، لذا فإن معدل تغيره بالنسبة إلى ﺱ سيكون صفرًا. وهو ما يعني أنه لا يتغير بتغير قيمة ﺱ. إذن، مشتقة هذا التعبير هو ما بدأنا به بالضبط، أي ﺱ تربيع. وبالطبع هذا ينطبق عند أي قيمة للثابت ﺙ. وهذا يوضح لنا خاصية مفيدة للغاية. ماذا لو بدلًا من أن يكون لدينا ﺹ يساوي ﺱ تربيع، بدأنا بـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع؟
نبدأ الآن بـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع. مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺱ تربيع. سنتبع خطوات الحل نفسها، وسنجد في النهاية أن مشتقة هذا التعبير تساوي ﺱ تربيع. إذن، بدأنا بمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺱ تربيع، وانتهينا بمشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺱ تربيع. بعبارة أخرى، وجدنا تعبيرًا يعبر عن ﺹ حتى ثابت التكامل ﺙ. ولأننا حصلنا على هذا التعبير بالتكامل، فعادة ما ستراه على الصورة ﺹ يساوي تكامل الميل بالنسبة إلى ﺱ.
والآن إذا كان لدينا ميل الدالة، نعرف أنه يمكننا إيجاد تكامل هذا الميل بالنسبة إلى ﺱ لإيجاد المعادلة الأصلية. وما دمنا نعرف كيف نوجد تكامل هذا، فسنستطيع إيجاد تعبير يعبر عن ﺹ حتى ثابت التكامل ﺙ. والسؤال الوحيد المتبقي هو كيفية إيجاد قيمة ﺙ. لإيجاد قيمة ﺙ، علينا معرفة مزيد من المعلومات. عادة عندما يكون لدينا ميل لمنحنى، سيكون لدينا نقطة على هذا المنحنى. على سبيل المثال، قد نعلم أن المنحنى ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ يمر بالنقطة واحد، واحد. وهذا ما يسمى بالقيمة الابتدائية. بعد ذلك، إذا أوضحنا أن ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ، فيمكننا التعويض بهذه النقطة في معادلة المنحنى.
بما أن المنحنى يمر بالنقطة واحد، واحد، فإننا نعلم أنه عندما ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺹ لا بد أن يساوي واحدًا. بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلة المنحنى، نحصل على واحد يساوي واحد تكعيب على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ. بتبسيط التعبير وطرح ثلث من طرفي المعادلة، نجد أن ﺙ يساوي حتمًا اثنين على ثلاثة. ثم يمكننا كتابة قيمة ﺙ هذه في معادلة المنحنى. وهذا يعطينا معادلة المنحنى، وهي ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد اثنين على ثلاثة. إذن، ما أوضحناه بالفعل هو أنه إذا كان ميل المنحنى يساوي ﺱ تربيع، والمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ يمر بالنقطة واحد، واحد، فيجب أن تكون معادلة المنحنى على النحو ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثلثين. وسنتمكن من إيجاد ذلك بشكل عام، بشرط إيجاد تكامل دالة الميل. دعونا الآن نرى مثالًا على كيفية إجراء ذلك عمليًا.
أوجد معادلة المنحنى الذي يمر بالنقطة سالب اثنين، واحد، إذا كان ميل مماس المنحنى عند أي نقطة عليه يساوي سالب ١١ﺱ تربيع.
في هذه المسألة، نريد إيجاد معادلة منحنى. ولفعل ذلك، لدينا بعض المعطيات عن المنحنى. فقد علمنا أن المنحنى يمر بالنقطة سالب اثنين، واحد، وأن ميل مماس هذا المنحنى يساوي الدالة سالب ١١ﺱ تربيع. لننتقل إذن إلى تحليل المعطيين الموجودين لدينا عن المنحنى. أولًا، إذا أردنا كتابة معادلة هذا المنحنى على الصورة ﺹ يساوي ﺩﺱ، فإن مرور المنحنى بالنقطة سالب اثنين، واحد يعني أنه عندما يكون ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺹ يساوي حتمًا واحدًا.
إذن يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في معادلة المنحنى. وعند التعويض، نجد أن واحدًا يساوي ﺩ عند سالب اثنين. بعد ذلك، علمنا أن ميل المماس للمنحنى يساوي سالب ١١ﺱ تربيع. تذكر أننا نعلم أن ميل المماس للمنحنى عند قيمة من قيم ﺱ يساوي معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. بعبارة أخرى، يخبرنا هذا بأن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١١ﺱ تربيع. إذن علينا إيجاد معادلة المنحنى بمعلومية ميله ونقطة على المنحنى. ولفعل ذلك، علينا إيجاد المشتقة العكسية لسالب ١١ﺱ تربيع. ونحن نعرف كيف نوجد المشتقات العكسية باستخدام التكامل. تكامل سالب ١١ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يعطينا المشتقة العكسية العامة لسالب ١١ﺱ تربيع.
تذكر أن السبب في إيجاد ذلك هو أننا نعرف أن مشتقة التعبير الذي يعبر عن ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي حتمًا سالب ١١ﺱ تربيع. إذن علينا أن نوجد تكامل سالب ١١ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوى للتكامل. نتذكر أن هذه القاعدة تخبرنا بأنه بالنسبة إلى أي ثابتين حقيقيين ﺃ و ﻥ ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، تكامل ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على هذا الأس الجديد.
في هذه الحالة، قيمة ﺃ هي سالب ١١ وقيمة ﻥ هي اثنان. إذن نضيف واحدًا إلى الأس اثنين لنحصل على أس ثلاثة، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. وبذلك نحصل على سالب ١١ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ. وبالطبع، مشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ١١ﺱ تربيع. حتى الآن، بالنسبة إلى المنحنى ﺹ يساوي سالب ١١ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ، لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١١ﺱ تربيع. لكن تذكر أننا ما زلنا نريد أن يمر هذا المنحنى بالنقطة سالب اثنين، واحد. ولفعل ذلك، علينا التعويض عن ﺱ بسالب اثنين وعن ﺹ بواحد في معادلة المنحنى.
بالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين وعن ﺹ بواحد في معادلة المنحنى، نحصل على واحد يساوي سالب ١١ في سالب اثنين تكعيب الكل مقسومًا على ثلاثة زائد ثابت التكامل ﺙ. والآن كل ما علينا فعله هو حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺙ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن ﺙ يساوي سالب ٨٥ على ثلاثة. ما علينا فعله الآن هو استخدام قيمة ﺙ هذه في معادلة المنحنى، وهذا يعطينا الحل النهائي. وبذلك نكون قد تمكنا من توضيح أن معادلة المنحنى، الذي يمر بالنقطة سالب اثنين، واحد، وميل خط المماس له عند ﺱ هو سالب ١١ﺱ تربيع، هي ﺹ يساوي سالب ١١ على ثلاثة في ﺱ تكعيب ناقص ٨٥ على ثلاثة.
دعونا الآن نرى مثالًا يكون فيه الميل معطى بدالة أكثر تعقيدًا.
أوجد معادلة المنحنى علمًا بأن ميل المماس يساوي خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين وأن المنحنى يمر بنقطة الأصل.
في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد معادلة منحنى. ولفعل ذلك، لدينا بعض المعطيات عن المنحنى. أولًا، علمنا أن ميل خط المماس للمنحنى عند ﺱ يساوي خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين. وعلمنا أيضًا أن المنحنى يمر بنقطة الأصل. للإجابة عن هذه المسألة، دعونا نبدأ بالقول بأنه يمكننا كتابة معادلة المنحنى على الصورة ﺹ يساوي دالة ما ﺩﺱ. ثم علينا التأكد من صحة شيئين في هذه المعادلة. أولًا، يخبرنا نص السؤال أن المنحنى يمر بنقطة الأصل. تذكر أن نقطة الأصل هي النقطة التي يساوي إحداثياها ﺱ وﺹ صفرًا.
وإذا كان المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ يمر بنقطة الأصل، فيجب أن تتحقق هذه المعادلة عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون ﺩ عند صفر مساويًا لصفر. هذا ليس المعطى الوحيد الموجود لدينا. فتوضح المسألة أيضًا ميل المماس للمنحنى. ولكن تذكر أن ميل المماس للمنحنى، وهو قيمة في ﺱ، هو معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. بعبارة أخرى، علمنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يجب أن يساوي خمسة في جا تربيع ﺱ على اثنين. والجدير بالذكر أيضًا أنه كان يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﺩ شرطة ﺱ. يتوقف اختيارك لإحدى الصورتين على تفضيلك الشخصي.
إذن لإيجاد معادلة هذا المنحنى، علينا التأكد من أن هاتين المعلومتين صحيحتان. على وجه التحديد، نبحث أولًا عن دالة يعطينا اشتقاقها خمسة في جا تربيع ﺱ على اثنين. بعبارة أخرى، نبحث عن المشتقة العكسية لهذه الدالة. ونحن نعرف كيف نوجد المشتقات العكسية باستخدام التكامل. إذا كاملنا هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ، فسنوجد المشتقة العكسية له. بعبارة أخرى، ﺹ سيساوي تكامل خمسة في جا تربيع ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ حتى ثابت التكامل. لكن يمكننا ملاحظة وجود مشكلة هنا. فمن الصعب للغاية أن نوجد تكامل دالة جا تربيع. لذا، علينا تبسيط هذا التعبير أولًا. ولفعل ذلك، سنستخدم صيغة ضعف الزاوية لـ جتا.
تذكر أن إحدى صور هذه الصيغة تنص على أن جتا اثنين 𝜃 يساوي واحدًا ناقص اثنين في جا تربيع 𝜃. وهذا ينطبق على أي قيمة لـ 𝜃. نريد استخدام ذلك لإيجاد تعبير لـ جا تربيع ﺱ على اثنين. ولفعل ذلك، علينا التعويض بـ 𝜃 تساوي ﺱ على اثنين. وبفعل ذلك، نحصل على جتا اثنين في ﺱ على اثنين يساوي واحدًا ناقص اثنين جا تربيع ﺱ على اثنين. وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك، حيث إن اثنين على اثنين يساوي واحدًا. بعد ذلك، سنعيد ترتيب هذه المعادلة؛ سنضيف اثنين جا تربيع ﺱ على اثنين إلى كلا الطرفين ونطرح جتا ﺱ من كلا الطرفين. وهذا يعطينا اثنين جا تربيع ﺱ على اثنين يساوي واحدًا ناقص جتا ﺱ.
توجد عدة خيارات مختلفة لما يمكننا فعله بعد ذلك. بما أننا نوجد تكامل خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين، فعلينا أن نجعل المعامل خمسة. لفعل ذلك، نضرب طرفي المعادلة في خمسة على اثنين. وإذا فعلنا ذلك وبسطنا المعادلتين، فسنحصل على خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين يساوي خمسة على اثنين ناقص خمسة على اثنين جتا ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن تكامل هذا التعبير أسهل كثيرًا. لذا، سنعوض بهذه القيمة في عملية التكامل. وهذا يعطينا ﺹ يساوي تكامل خمسة على اثنين ناقص خمسة على اثنين في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ حتى ثابت التكامل.
يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا التكامل حدًا بحد. أولًا، خمسة على اثنين حد ثابت. فعندما نوجد تكامله بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على خمسة على اثنين في ﺱ. بعد ذلك، لإيجاد تكامل الحد الثاني، علينا تذكر القاعدة التالية. بالنسبة إلى أي ثابت حقيقي ﺃ، تكامل سالب ﺃ جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ﺃ جا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. يمكننا استخدام هذا مع ﺃ يساوي سالب خمسة على اثنين لنحصل على تكامل هذا الحد. إذن، لدينا ﺹ يساوي خمسة على اثنين ﺱ ناقص خمسة على اثنين في جا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. والآن، كل ما تبقى فعله هو إيجاد قيمة ﺙ. ولفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أن ﺩ عند صفر يساوي صفرًا.
بعبارة أخرى، لأن المنحنى يمر بنقطة الأصل، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا في التعبير الذي يمثل المنحنى. وبذلك تتحقق هذه المعادلة. وهذا يعطينا صفر يساوي خمسة على اثنين في صفر ناقص خمسة على اثنين في جا صفر زائد ﺙ. وبالطبع، خمسة على اثنين في صفر يساوي صفرًا، وجا صفر يساوي صفرًا أيضًا. يبسط هذا التعبير بالكامل ليصبح ﺙ يساوي صفرًا. إذن، أثبتنا أن ﺙ يساوي صفرًا. كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمة ﺙ هذه في التعبير الذي يمثل المنحنى. وبالتعويض عن ﺙ بصفر، نحصل على الحل النهائي. معادلة هذا المنحنى هي ﺹ يساوي خمسة على اثنين في ﺱ ناقص خمسة على اثنين في جا ﺱ.
دعونا الآن نتناول مثالًا يتضمن الدوال الأسية.
إذا كان الميل عند النقطة ﺱ، ﺹ هو ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ، وﺩ عند صفر يساوي سالب ثلاثة، فأوجد ﺩ عند سالب ثلاثة.
في هذه المسألة، علينا تحديد قيمة ﺩ عند سالب ثلاثة. ولدينا بعض المعلومات عن الدالة ﺩ. علمنا من المعطيات أن الميل عند النقطة ﺱ، ﺹ يساوي ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ. وعلمنا أيضًا أن ﺩ عند صفر يساوي سالب ثلاثة. إذن لدينا معلومتان عن الدالة ﺩﺱ. أولًا، علمنا أن الميل يساوي ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ. بعبارة أخرى، ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ. لإيجاد ﺩﺱ، علينا إيجاد المشتقة العكسية لـ ﺩ شرطة ﺱ. ونحن نعرف كيف نوجد ذلك باستخدام التكامل.
يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لـ ﺩ شرطة ﺱ بإيجاد التكامل بالنسبة إلى ﺱ. لدينا ﺩﺱ يساوي تكامل ثلاثة ﻫ أس ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ حتى ثابت التكامل. ولإيجاد قيمة هذا التكامل، علينا أن نتذكر الآتي. بالنسبة إلى أي ثابت حقيقي ﺃ، تكامل ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. علينا أن نقسم على معامل ﺱ في الأس الذي لدينا. وهو في هذه الدالة يساوي ثلاثة. إذن لدينا ثلاثة في ثلث في ﻫ أس ثلاثة ﺱ. وتذكر أننا نحتاج إلى إضافة ثابت التكامل ﺙ.
بالطبع يمكننا تبسيط ذلك. ثلاثة في ثلث يساوي واحدًا. إذن نبسط ذلك ليصبح لدينا ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ثلاثة ﺱ زائد ﺙ. والآن نريد إيجاد قيمة ﺙ. لفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أن ﺩ عند صفر يساوي سالب ثلاثة. إذن نعوض عن ﺱ بصفر. نعلم أن ﺩ صفر يساوي سالب ثلاثة، وهذا يساوي ﻫ أس ثلاثة في صفر زائد ﺙ. والآن نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺙ. ﻫ أس صفر يساوي واحدًا. ثم نعيد الترتيب لنحصل على ﺙ يساوي سالب أربعة. إذا كان ﺙ يساوي سالب أربعة، فيمكننا التعويض بذلك في التعبير ﺩﺱ.
علمنا أن ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ثلاثة ﺱ ناقص أربعة. المسألة تطلب منا إيجاد قيمة ﺩ عند سالب ثلاثة. إذن نعوض عن ﺱ بسالب ثلاثة في هذا التعبير. نحصل على ﻫ أس ثلاثة في سالب ثلاثة ناقص أربعة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير وأعدنا ترتيبه، فسنحصل على الإجابة النهائية وهي سالب أربعة زائد واحد على ﻫ أس تسعة.
دعونا الآن نرى مثالًا على مسألة تتضمن القيمتين العظمى والصغرى لمنحنى.
أوجد القيمتين المحليتين العظمى والصغرى للمنحنى الذي يمر بالنقطة سالب واحد، سبعة، حيث ميل المماس يساوي ستة في ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة.
في هذه المسألة، علينا إيجاد القيمتين المحليتين العظمى والصغرى للمنحنى، لكننا لم نحصل على معادلة المنحنى مباشرة. بدلًا من ذلك، لدينا معطيات عن المنحنى فقط. علمنا أن المنحنى يمر بالنقطة سالب واحد، سبعة. كما علمنا أيضًا خط ميل المماس عند النقطة ﺱ، ﺹ. وهو يساوي ستة في ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة. بالطبع لإيجاد القيمتين المحليتين العظمى والصغرى للدالة، علينا معرفة قيمة مخرجاتها عند هاتين القيمتين. ومن ثم، علينا إيجاد تعبير لهذه الدالة. ولفعل ذلك، سنحتاج إلى استخدام المعلومتين المعطاتين لنا عن المنحنى.
أولًا، لدينا تعبير يمثل ميل خطوط المماس للمنحنى عند قيمة ﺱ. ونتذكر أن ذلك يطابق تمامًا القول بأن معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ يساوي هذا التعبير. بعبارة أخرى، لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة في ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة. لكن هذه ليست المعلومة الوحيدة المعطاة لدينا. فقد علمنا أيضًا أن المنحنى يمر بالنقطة سالب واحد، سبعة. إذن عند ﺱ يساوي سالب واحد، يجب أن يكون ﺹ يساوي سبعة. ولدينا في المعطيات تعبير يعبر عن ميل المنحنى.
إذن باشتقاق المنحنى بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على التعبير الآتي. وهذا يعني أن علينا إيجاد المشتقة العكسية لهذا التعبير. ونحن نعرف كيف نفعل ذلك باستخدام التكامل. يجب أن يكون لدينا ﺹ يساوي تكامل ستة في ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ حتى ثابت التكامل؛ لأن هذا سيعطينا المشتقة العكسية العامة لهذا التعبير. توجد عدة طرق مختلفة لحل هذه المسألة. سنوزع ستة على ما بداخل القوس. بفعل ذلك، نحصل على تكامل ستة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٨ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يمثل تكامل دالة تربيعية. يمكننا حساب هذا حدًا بحد باستخدام قاعدة القوى للتكامل.
نتذكر أنه بالنسبة إلى أي ثابتين حقيقيين ﺃ و ﻥ ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ ثم نقسم على هذا الأس الجديد. بتطبيق هذا على ستة ﺱ تربيع، نضيف واحدًا إلى أس اثنين، وهو ما يعطينا أسًا جديدًا وهو ثلاثة، ثم نقسم على الأس الجديد وهو ثلاثة. عند فعل ذلك ثم التبسيط، نحصل على اثنين ﺱ تكعيب. سنفعل الشيء نفسه مع ٢٤ﺱ، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة ٢٤ﺱ أس واحد. نضيف واحدًا إلى الأس واحد، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. يعطينا هذا ١٢ﺱ تربيع. وأخيرًا، يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع العدد ١٨ بكتابته على الصورة ١٨ في ﺱ أس صفر. ومع ذلك، يمكننا كتابة المشتقة العكسية لهذا فقط وهي ١٨ﺱ. ولا تنس أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ.
وهكذا نكون قد أوجدنا تعبيرًا للمنحنى المعطى في المسألة حتى ثابت التكامل ﺙ. نريد الآن إيجاد قيمة الثابت ﺙ. ولفعل ذلك، سنحتاج إلى استخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة سالب واحد، سبعة. إذا كان المنحنى يمر بهذه النقطة، فيمكننا التعويض بقيمة هذه النقطة في معادلة المنحنى. ومن ثم يجب أن تكون المعادلة صحيحة عند التعويض بالنقطة التي يمر بها المنحنى. بالتعويض عن ﺱ بسالب واحد وعن ﺹ بسبعة في معادلة المنحنى، نحصل على سبعة يساوي اثنين في سالب واحد تكعيب زائد ١٢ في سالب واحد تربيع زائد ١٨ في سالب واحد زائد ﺙ.
بتبسيط هذا التعبير وإيجاد قيمة ﺙ، نحصل على ﺙ يساوي ١٥. وإذا كان ﺙ يساوي ١٥، فيمكننا التعويض بهذه القيمة في التعبير الذي يمثل معادلة المنحنى. إذن، بإخلاء بعض المساحة واستخدام ﺙ يساوي ١٥، يصبح لدينا التعبير التالي لمعادلة المنحنى. لكن تذكر أنه علينا إيجاد القيمتين المحليتين العظمى والصغرى لهذا المنحنى. ولإيجاد ذلك، علينا تذكر المعلومة التالية. في كثيرات الحدود، تقع القيم العظمى المحلية عند نقاط التحول، أي عندما يكون الميل يساوي صفرًا. ولدينا تعبير يعبر عن الميل.
إذن لإيجاد القيم العظمى المحلية، علينا حل ستة في ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. ولفعل ذلك، كل ما علينا فعله هو تحليل المعادلة التربيعية. نلاحظ أن هذا التحليل يعطينا ﺱ زائد واحد في ﺱ زائد ثلاثة. بمساواة ذلك بصفر، نحصل على ﺱ يساوي سالب واحد أو ﺱ يساوي سالب ثلاثة. لإيجاد القيمتين المحليتين العظمي والصغرى، علينا التعويض بهاتين القيمتين في معادلة المنحنى. وبالتعويض بسالب واحد في معادلة المنحنى، نحصل على ﺹ يساوي سبعة. وبالمثل، عندما نعوض عن ﺱ بسالب ثلاثة، نجد أن ﺹ يساوي ١٥. علينا الآن تحديد أي هاتين القيمتين تمثل قيمة عظمى وأيهما تمثل قيمة صغرى. لفعل ذلك، نلاحظ أن المنحنى تكعيبي ومعامله الرئيسي موجب. وسيبدو بهذا الشكل. في الواقع، نعلم أن المنحنى يحتوي على نقطتي تحول، ونعلم إحداثيات نقطتي التحول هاتين. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن القيمة العظمى المحلية هي ١٥، والقيمة الصغرى المحلية هي سبعة.
النقطة الرئيسية في هذا الفيديو هي أنه إذا كان لدينا ميل لدالة ﺩﺹ على ﺩﺱ، يمكننا إيجاد معادلة لـ ﺹ باستخدام التكامل.
