نسخة الفيديو النصية
الحد النوني لمتتابعة هندسية هو ﺡﻥ، والحد الأول هو ﺡ واحد، ومجموع أول ﻥ من الحدود هو ﺟﻥ. أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الهندسية غير المنتهية، والمجموع إلى ما لا نهاية ﺟ∞، علمًا بأن ﺡ اثنين ناقص ﺡ ستة يساوي ٣٣، وﺟ أربعة يساوي ١٣٢.
المتتابعة الهندسية هي متتابعة تكون النسبة بين الحدود المتتالية فيها ثابتة. بعبارة أخرى، إذا عرفنا أي حد في المتتابعة، يمكننا إيجاد الحد التالي له بنفس الطريقة دائمًا، وهي ضربه في القيمة الثابتة التي تسمى النسبة المشتركة ويشار إليها بالحرف ﺭ. علمنا من السؤال عدة معلومات عن هذه المتتابعة. الفرق بين الحدين الثاني والسادس يساوي ٣٣، ومجموع الحدود الأربعة الأولى يساوي ١٣٢. ويمكننا استرجاع بعض الصيغ الرئيسية التي سنحتاج إليها لحل هذا السؤال.
يعطى الحد العام لأي متتابعة هندسية، ﺡﻥ، بواسطة الصيغة ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. هذا يعني أننا نضرب الحد الأول في النسبة المشتركة ﺭ عدد ﻥ ناقص واحد من المرات. وكذلك يعطى مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية بواسطة الصيغة ﺟﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ. وأخيرًا، إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ﺭ أقل من واحد، فإن المتتابعة الهندسية غير المنتهية تكون متقاربة. ومن ثم يمكننا إيجاد المجموع إلى ∞ باستخدام الصيغة ∞ﺟ يساوي ﺃ على واحد ناقص ﺭ. والآن، دعونا نستخدم هذه الصيغ إلى جانب المعطيات الموضحة في السؤال لتكوين بعض المعادلات.
قيمة ﻥ للحد الثاني تساوي اثنين. لذا يمكننا القول إن الحد الثاني ﺡ اثنين يساوي ﺡ واحدًا مضروبًا في ﺭ أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يساوي ببساطة ﺭ أس واحد أو ﺭ. أما بالنسبة إلى الحد السادس، فإن قيمة ﻥ تساوي ستة. وهكذا يكون ﺡ ستة يساوي ﺡ واحدًا مضروبًا في ﺭ أس خمسة. علمنا من المعطيات أن ﺡ اثنين ناقص ﺡ ستة يساوي ٣٣. وبهذا يصبح لدينا المعادلة ﺡ واحد ﺭ ناقص ﺡ واحد ﺭ أس خمسة يساوي ٣٣. يمكننا تحليل الطرف الأيمن من هذه المعادلة بأخذ ﺡ واحد ﺭ عاملًا مشتركًا ليصبح لدينا ﺡ واحد ﺭ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس أربعة يساوي ٣٣. وهذه هي المعادلة الأولى لدينا.
علمنا بعد ذلك أن مجموع الحدود الأربعة الأولى ﺟ أربعة يساوي ١٣٢. وبالتعويض عن ﻥ بأربعة في صيغة مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية، يصبح لدينا المعادلة ﺡ واحد مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس أربعة على واحد ناقص ﺭ يساوي ١٣٢. وهذه هي المعادلة الثانية. إذا نظرنا إلى المعادلتين لدينا الآن، فسنلاحظ أن كلًّا منهما يحتوي على العاملين ﺡ واحد مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس أربعة. ومن ثم يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لنحصل على ﺡ واحد مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس أربعة يساوي ٣٣ على ﺭ، وكذلك إعادة ترتيب المعادلة الثانية لنحصل على ﺡ واحد مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس أربعة يساوي ١٣٢ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ.
بما أن الطرفين ناحية اليمين لهاتين المعادلتين متساويان، يمكننا مساواة الطرفين ناحية اليسار ليصبح لدينا معادلة بدلالة ﺭ فقط. وهي ٣٣ على ﺭ يساوي ١٣٢ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ. نريد الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭ. في البداية، سنضرب كلا الطرفين في ﺭ ليصبح لدينا ٣٣ يساوي ١٣٢ﺭ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ. وبفك ما بداخل القوسين في الطرف الأيسر، تصبح لدينا المعادلة ٣٣ يساوي ١٣٢ﺭ ناقص ١٣٢ﺭ تربيع. بعد ذلك، يمكننا تجميع كل الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة، وذلك بإضافة ١٣٢ﺭ تربيع إلى كلا الطرفين ثم طرح ١٣٢ﺭ من كليهما لنحصل على ١٣٢ﺭ تربيع ناقص ١٣٢ﺭ زائد ٣٣ يساوي صفرًا.
نلاحظ الآن أن لدينا معادلة تربيعية بدلالة ﺭ. ويمكننا في الواقع تبسيط هذه المعادلة بشكل كبير؛ لأن جميع المعاملات الثلاثة مضاعفات للعدد ٣٣. ولفعل ذلك نقسم طرفي المعادلة على ٣٣ ليصبح لدينا المعادلة التربيعية المبسطة أربعة ﺭ تربيع ناقص أربعة ﺭ زائد واحد يساوي صفرًا. وفي الحقيقة، يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية باستخدام التحليل. وذلك لأنها مربع كامل. أربعة ﺭ تربيع ناقص أربعة ﺭ زائد واحد يساوي اثنين ﺭ ناقص واحد مضروبًا في اثنين ﺭ ناقص واحد، أو ببساطة اثنين ﺭ ناقص واحد تربيع. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ﺭ بجعل المقدار الموجود داخل القوسين مساويًا لصفر؛ فإذا كان مربع هذا المقدار يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون المقدار نفسه يساوي صفرًا. بهذا تصبح لدينا المعادلة اثنان ﺭ ناقص واحد يساوي صفرًا. وبإضافة واحد إلى كلا طرفي هذه المعادلة ثم قسمة كل منهما على اثنين، نجد أن ﺭ يساوي نصفًا.
هكذا نكون أوجدنا قيمة ﺭ؛ أي النسبة المشتركة لهذه المتتابعة الهندسية. وسيفيدنا هذا كثيرًا؛ لأن المطلب الثاني في السؤال هو إيجاد المجموع إلى ∞ لهذه المتتابعة الهندسية. ولكي نتمكن من فعل ذلك، يجب أن تكون القيمة المطلقة لـ ﺭ أقل من واحد، وهذا ينطبق في هذه الحالة؛ حيث إن ﺭ يساوي نصفًا. علينا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺡ واحد؛ أي الحد الأول في المتتابعة، وهذا يكون بالتعويض عن ﺭ بنصف في المعادلة الأولى. ومن ثم يصبح لدينا ﺡ واحد مضروبًا في نصف مضروبًا في واحد ناقص نصف أس أربعة يساوي ٣٣. نصف أس أربعة يساوي واحدًا على ١٦، وواحد ناقص واحد على ١٦ يساوي ١٥ على ١٦. بعد ذلك نضرب ١٥ على ١٦ في نصف، وهذا يساوي ١٥ على ٣٢. وهكذا تصبح لدينا المعادلة ﺃ مضروبًا في ١٥ على ٣٢ يساوي ٣٣.
لإيجاد قيمة ﺡ واحد، سنضرب طرفي هذه المعادلة في مقلوب ١٥ على ٣٢؛ أي ٣٢ على ١٥. وبهذا نجد أن ﺡ واحدًا يساوي ٣٣ في ٣٢ على ١٥، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٣٥٢ على خمسة. هكذا نكون أوجدنا الحد الأول في هذه المتتابعة. وعلينا أيضًا إيجاد الحدين التاليين، ثم إيجاد المجموع إلى ∞. لذا دعونا نفرغ بعض المساحة لفعل ذلك. لعلنا نتذكر أنه للانتقال من حد إلى الحد الذي يليه في متتابعة هندسية، فإننا نضرب هذا الحد في النسبة المشتركة. لذا إذا كان الحد الأول يساوي ٣٥٢ على خمسة، فإن الحد الثاني يساوي ٣٥٢ على خمسة مضروبًا في نصف، وهذا يساوي ١٧٦ على خمسة. والحد التالي؛ أي الحد الثالث، يساوي ١٧٦ على خمسة مضروبًا في نصف، وهذا يساوي ٨٨ على خمسة.
هكذا نكون أوجدنا الحدود الثلاثة الأولى، وعلينا الآن حساب المجموع إلى ∞. تذكر أن الصيغة المستخدمة لحساب ذلك هي ﺃ على واحد ناقص ﺭ، بشرط أن تكون القيمة المطلقة لـ ﺭ أقل من واحد. ومن ثم نعوض بالقيم لدينا لنحصل على ٣٥٢ على خمسة مضروبًا في واحد على واحد ناقص نصف. واحد ناقص نصف يساوي نصفًا، وواحد مقسومًا على نصف يساوي اثنين. وهذا يبسط إلى ٣٥٢ على خمسة مضروبًا في اثنين، أو ٧٠٤ على خمسة. إذن، لقد أكملنا حل المسألة. بإيجاد النسبة المشتركة في البداية ثم الحد الأول في المتتابعة، أوجدنا الحدود الثلاثة الأولى، وهي ٣٥٢ على خمسة، و١٧٦ على خمسة، و٨٨ على خمسة. بعد ذلك أوجدنا المجموع إلى∞ لهذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية، وهو يساوي ٧٠٤ على خمسة.
