نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي جا أربعة ﺱ ظا أربعة ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي المشتقة الأولى لدالة ﺹ هذه، ثم إيجاد قيمتها عند قيمة محددة لـ ﺱ، وهي قيمة ﺱ التي تساوي 𝜋 على ستة. يمكننا أن نلاحظ أن الدالة المعطاة لنا هي حاصل ضرب دالتين. إنها تساوي جا أربعة ﺱ مضروبًا في ظا أربعة ﺱ. من ثم، لإيجاد مشتقتها، علينا تطبيق قاعدة الضرب.
هذه القاعدة تنص على أنه لأي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لحاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذ نضرب كل دالة في مشتقة الأخرى ونجمعهما معًا. يمكننا إذن أن نعرف ﻉ بأنه الدالة جا أربعة ﺱ، ونعرف ﻕ بأنه العامل الثاني؛ أي ﻕ يساوي ظا أربعة ﺱ. علينا بعد ذلك إيجاد مشتقة كل منهما على حدة. ولفعل ذلك، علينا تذكر بعض النتائج القياسية لاشتقاق الدوال المثلثية.
نتذكر أولًا أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ﺃﺱ لثابت ما ﺃ تساوي ﺃ مضروبًا في جتا ﺃﺱ. ويمكن إثبات ذلك باستخدام المبادئ الأولية. لكن علينا أن نتذكر أنه لا تنطبق نتائج الدوال المثلثية هذه إلا إذا كانت الزاوية مقيسة بالراديان. ثانيًا، نتذكر أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ظا ﺃﺱ تساوي ﺃ مضروبًا في قا تربيع ﺃﺱ. ويمكننا إثبات ذلك بتذكر أن ظا ﺃﺱ يساوي جا ﺃﺱ على جتا ﺃﺱ. يمكننا بعد ذلك تذكر النتيجتين القياسيتين لاشتقاق جا ﺃﺱ وجتا ﺃﺱ، ثم تطبيق قاعدة القسمة.
في كل حالة هنا، قيمة الثابت ﺃ تساوي أربعة. إذن، لدينا مشتقة جا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة جتا أربعة ﺱ، ومشتقة ظا أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة قا تربيع أربعة ﺱ. والآن، نحن جاهزون للتعويض في حاصل الضرب. حسنًا، لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، هذا يساوي جا أربعة ﺱ مضروبًا في أربعة قا تربيع أربعة ﺱ، زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهذا بدوره يساوي ظا أربعة ﺱ مضروبًا في أربعة جتا أربعة ﺱ.
يمكننا الآن إعادة صياغة هذا التعبير قليلًا. في الحد الأول، لدينا قا تربيع أربعة ﺱ، وهو ما يساوي واحدًا على جتا تربيع أربعة ﺱ. إذن، يمكننا كتابة الحد الأول على صورة: أربعة جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ مضروبًا في واحد على جتا أربعة ﺱ. وفي الحد الثاني، لدينا ظا أربعة ﺱ، وهو ما يمكن كتابته على صورة: جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ. إذن، الحد الثاني يصبح أربعة جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ مضروبًا في جتا أربعة ﺱ.
في الحد الثاني، نلاحظ أنه يمكن حذف العامل جتا أربعة ﺱ من كل من البسط والمقام ليتبقى لدينا الحد أربعة جا أربعة ﺱ بعد التبسيط. وفي الحد الأول؛ حيث لدينا جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: ظا أربعة ﺱ. إذن، التعبير المبسط لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ هو: أربعة ظا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ زائد أربعة جا أربعة ﺱ.
بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة هذا التعبير عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. أربعة ﺱ يساوي، إذن، أربعة 𝜋 على ستة، والذي يبسط إلى اثنين 𝜋 على ثلاثة. عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ظا اثنين 𝜋 على ثلاثة على جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد أربعة جا اثنين 𝜋 على ثلاثة. والآن، إذا كان لدينا آلة حاسبة، يمكننا حساب ذلك مباشرة. لكن إن لم يكن لدينا، فما زال بإمكاننا الإجابة عن هذا السؤال. ذلك لأن اثنين 𝜋 على ثلاثة هو قياس إحدى هذه الزوايا الخاصة التي علينا حفظ قيم نسبها المثلثية عن ظهر قلب.
علينا أن نتذكر أن ظا اثنين 𝜋 على ثلاثة يساوي سالب جذر ثلاثة، وأن جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة يساوي سالب نصف. بالطريقة نفسها: جا اثنين 𝜋 على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وهكذا، صار لدينا قيم فعلية لكل من هذه النسب المثلثية. إذن، لدينا سالب أربعة جذر ثلاثة على سالب نصف، وهو ما يساوي سالب أربعة جذر ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين، زائد أربعة جذر ثلاثة على اثنين.
سنبسط الحد الأول هنا إلى ثمانية جذر ثلاثة. وفي الحد الثاني، يمكننا حذف العامل المشترك اثنين ليتبقى لدينا اثنان جذر ثلاثة. وبهذا فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ، عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة، يساوي ثمانية جذر ثلاثة زائد اثنين جذر ثلاثة، وهو ما يساوي بالطبع ١٠ جذر ثلاثة. بذلك نكون قد طبقنا قاعدة الضرب والنتائج القياسية لاشتقاق الدوال المثلثية لنجد أنه إذا كانت ﺹ هي الدالة جا أربعة ﺱ مضروبًا في ظا أربعة ﺱ، فإن مشتقتها الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة تساوي ١٠ جذر ثلاثة.
