نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مساحة متوازي الأضلاع، ونحل المسائل الكلامية التي تتطلب إيجاد مساحات على شكل متوازيات أضلاع. سنبدأ بتعريف ما نعنيه بمتوازي الأضلاع ومعرفة كيف يمكننا حساب مساحته.
متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع فيه زوجان من الأضلاع المتوازية. يمكننا حساب مساحة أي متوازي أضلاع بضرب طول القاعدة في ارتفاعها العمودي. كلمة «عمودي» تعني وجود زاوية قياسها ٩٠ درجة. إذن، يجب أن يكون الارتفاع زوايا قائمة مع القاعدة. وهذه هي الصيغة نفسها التي نستخدمها عند حساب مساحة المستطيل.
إذا قطعنا المثلث القائم الزاوية الموجود في الطرف الأيمن من متوازي الأضلاع وأضفناه إلى الطرف الآخر، فسيتكون لدينا مستطيل. وسيكون لهذا المستطيل نفس بعدي متوازي الأضلاع الأصلي، أي القاعدة والارتفاع العمودي. عند حساب مساحة متوازي الأضلاع، من المهم أن نستخدم الارتفاع العمودي وليس الارتفاع المائل.
سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن حساب مساحة متوازي أضلاع.
أوجد مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ الذي فيه ﺃﺏ يساوي ٨٫٣ سنتيمترات.
نعلم من السؤال أن طول الضلع المائل ﺃﺏ يساوي ٨٫٣ سنتيمترات. وعلينا حساب مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ. نتذكر أن مساحة أي متوازي أضلاع تساوي طول القاعدة في ارتفاعها العمودي. في هذا السؤال، طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي ٨٫٨ سنتيمترات والارتفاع العمودي يساوي ٧٫٧ سنتيمترات. من المهم أن نلاحظ أن هذه هي القيمة التي نستخدمها وليس الارتفاع المائل الذي يساوي ٨٫٣ سنتيمترات.
ولحساب المساحة، نضرب ٨٫٨ في ٧٫٧. وهذا يساوي ٦٧٫٧٦. بما أن بعدي متوازي الأضلاع بالسنتيمترات، فستكون وحدة المساحة بالسنتيمترات المربعة. إذن، مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٦٧٫٧٦ سنتيمترًا مربعًا.
إذا لم نتذكر صيغة مساحة متوازي الأضلاع، ولكننا تذكرنا أن مساحة المستطيل تساوي طول القاعدة في الارتفاع، فلا يزال بإمكاننا حل هذه المسألة. المثلث ﺩﺟﻭ متطابق مع المثلث ﺃﺏﻫ. يعني هذا أن مساحة المستطيل ﺃﺩﻭﻫ تساوي مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ. يبلغ طولا بعدي المستطيل ٨٫٨ سنتيمترات و٧٫٧ سنتيمترات. وبضرب هذين البعدين، نحصل على مساحة المستطيل، وهي العملية الحسابية نفسها التي أجريناها لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع.
في السؤال التالي، معطى لنا مساحة متوازي أضلاع وعلينا حساب طول قاعدته.
إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع ﺱﺹﻉﻝ تساوي ٦١٠٫٩ سنتيمترات مربعة، فأوجد طول ﺱﻝ.
علينا حساب طول قاعدة متوازي الأضلاع ﺱﻝ. عرفنا أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٦١٠٫٩ سنتيمترات مربعة. نتذكر أنه يمكن حساب مساحة أي متوازي أضلاع بضرب طول قاعدته في ارتفاعها العمودي. الارتفاع العمودي ﻝﻡ يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترات. إذا افترضنا أن الطول ﺱﻝ يساوي ﺏ من السنتيمترات، فإن المساحة تساوي ﺏ مضروبًا في ٢٠٫٥. وبما أن المساحة تساوي ٦١٠٫٩، فهذا يساوي ٢٠٫٥ﺏ.
يمكننا حساب قيمة ﺏ بقسمة طرفي هذه المعادلة على ٢٠٫٥. فنحصل على ﺏ يساوي ٢٩٫٨. إذن، طول ﺱﻝ يساوي ٢٩٫٨ سنتيمترات.
في السؤال التالي، علينا إيجاد مساحة مثلث مرسوم داخل متوازي أضلاع.
إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٢٦٨ سنتيمترًا مربعًا، فأوجد مساحة المثلث ﺱﺏﺟ.
عرفنا من السؤال أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ٢٦٨ سنتيمترًا مربعًا. نتذكر أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. لكن في هذا السؤال، ليس لدينا أي من هذين البعدين. لكننا نعلم بالفعل أن مساحة أي مثلث تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع مقسومًا على اثنين. مرة أخرى، يجب أن يكون هذا الارتفاع هو الارتفاع العمودي.
في الشكل الموضح، يشترك متوازي الأضلاع مع المثلث في القاعدة وهي الطول ﺏﺟ. كما يشتركان أيضًا في الارتفاع العمودي نفسه وهو الطول ﺱﻡ، كما هو موضح في الشكل. بما أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع، ومساحة المثلث تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع مقسومًا على اثنين، فإن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع. إذن، مساحة المثلث ﺱﺏﺟ تساوي ٢٦٨ مقسومًا على اثنين أو نصفًا في ٢٦٨. وهذا يساوي ١٣٤. إذن، يمكننا استنتاج أن مساحة المثلث ﺱﺏﺟ تساوي ١٣٤ سنتيمترًا مربعًا.
يتضمن السؤال التالي متوازي أضلاع داخل مستطيل.
يوضح الشكل التالي متوازي أضلاع داخل مستطيل. أوجد المساحة التي لا تدخل ضمن مساحة متوازي الأضلاع داخل المستطيل.
للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أن مساحة أي مستطيل تساوي طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. ومساحة متوازي الأضلاع تساوي أيضًا طول القاعدة في ارتفاعها. يجب أن يكون هذا الارتفاع هو الارتفاع العمودي وليس الارتفاع المائل. طول قاعدة المستطيل يساوي ٧٢ سنتيمترًا. إذ علينا جمع ٤٢ و٣٠. يعني هذا أن المساحة تساوي ٧٢ مضروبًا في ٢٨. وهو ما يساوي ٢٠١٦. وبما أن البعدين بالسنتيمترات، فإن مساحة المستطيل تساوي ٢٠١٦ سنتيمترًا مربعًا.
طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي ٤٢ سنتيمترًا. وارتفاعه يساوي ارتفاع المستطيل، وهو٢٨ سنتيمترًا. يعني هذا أن المساحة تساوي ٤٢ مضروبًا في ٢٨. وهو ما يساوي ١١٧٦. إذن، مساحة متوازي الأضلاع تساوي ١١٧٦ سنتيمترًا مربعًا.
علينا حساب المساحة التي لا تدخل ضمن مساحة متوازي الأضلاع داخل المستطيل. لحساب هذه المساحة، علينا طرح ١١٧٦ من ٢٠١٦. وهذا يساوي ٨٤٠. إذن، المساحة التي لا تدخل ضمن مساحة متوازي الأضلاع داخل المستطيل تساوي ٨٤٠ سنتيمترًا مربعًا.
توجد طريقة أخرى للحل وهي التفكير في المثلثين قائمي الزاوية. هذان المثلثان متطابقان، لذا يمكننا ضمهما معًا لتكوين مستطيل. طول قاعدة هذا المستطيل يساوي ٣٠ سنتيمترًا وارتفاعه يساوي ٢٨ سنتيمترًا. إذن، مساحته تساوي ٣٠ مضروبًا في ٢٨. مرة أخرى، هذا يعطينا الإجابة ٨٤٠ سنتيمترًا مربعًا.
السؤال الأخير أكثر تعقيدًا حيث يقع المستطيل داخل متوازي الأضلاع.
إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٢٤ سنتيمترًا مربعًا ومساحة المستطيل ﺱﺏﺹﺩ تساوي ١٢ سنتيمترًا مربعًا، فأوجد محيط المستطيل ﺱﺏﺹﺩ.
موضح في الشكل أن طول ﺃﺱ يساوي ثلاثة سنتيمترات. نعرف أن مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٢٤ سنتيمترًا مربعًا. ومساحة المستطيل ﺱﺏﺹﺩ تساوي ١٢ سنتيمترًا مربعًا. وعلينا حساب محيط هذا الشكل. المثلثان ﺱﺃﺩ وﺹﺟﺏ متطابقان. وهذا يعني أن مساحتيهما متساويتان. وهو ما يعني أيضًا أنه يمكننا حساب مساحة المثلث ﺱﺃﺩ بطرح ١٢ من ٢٤ ثم القسمة على اثنين.
بطرح مساحة المستطيل من مساحة متوازي الأضلاع، نحصل على مساحة المثلثين. وبما أن المثلثين متطابقان، فعلينا القسمة على اثنين. ٢٤ ناقص ١٢ مقسومًا على اثنين يساوي ستة. إذن، مساحة المثلث ﺱﺃﺩ تساوي ستة سنتيمترات مربعة.
نعلم أنه لحساب مساحة أي مثلث، نضرب طول القاعدة في الارتفاع، ثم نقسم على اثنين. نعرف بالفعل أن طول قاعدة هذا المثلث يساوي ثلاثة سنتيمترات. وهذا يعني أن ستة يساوي ثلاثة مضروبًا في ﻉ مقسومًا على اثنين. وبضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين، نحصل على ١٢ يساوي ثلاثة ﻉ. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثلاثة، فنحصل على ﻉ يساوي أربعة. ارتفاع المثلث ﺱﺩ يساوي أربعة سنتيمترات.
نعلم أن مساحة أي مستطيل تساوي طول القاعدة في ارتفاعها. كما نعلم أيضًا أن ارتفاع المستطيل يساوي أربعة سنتيمترات ومساحته تساوي ١٢ سنتيمترًا مربعًا. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ١٢ يساوي ﺏ مضروبًا في أربعة. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، نحصل على ﺏ يساوي ثلاثة. إذن، طول قاعدة المستطيل أو طول ضلعه ﺱﺏ يساوي ثلاثة سنتيمترات.
لدينا الآن المستطيل ﺱﺏﺹﺩ، الذي يبلغ طولا بعديه أربعة سنتيمترات وثلاثة سنتيمترات. في المستطيل، كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول والمحيط هو المسافة المحيطة به. يمكننا إذن حساب المحيط عن طريق جمع ثلاثتين وأربعتين. وهذا يساوي ١٤. إذن، محيط المستطيل ﺱﺏﺹﺩ يساوي ١٤ سنتيمترًا.
سنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الفيديو. يمكننا حساب مساحة متوازي الأضلاع بضرب طول القاعدة في ارتفاعها العمودي. وهذه هي الصيغة نفسها التي نستخدمها لحساب مساحة المستطيل، حيث إن المثلثين الموضحين متطابقان. رأينا أيضًا كيف يمكننا حل المسائل التي تتضمن المثلثات والمستطيلات ومتوازيات الأضلاع المرسومة داخل بعضها البعض.
