نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية لثلاثة ﺱ زائد ٢٤ الكل مقسوم على خمسة ﺱ تربيع زائد ٣٤ﺱ ناقص ٤٨.
حسنًا، نلاحظ هنا أن السؤال يطلب منا حساب نهاية دالة كسرية. وهي عبارة عن خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود. أول ما يمكننا تجربته هو حساب ذلك باستخدام التعويض المباشر. ونحن نعلم أنه يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة النهاية لدالة كسرية إذا كانت قيمة كثيرة الحدود في مقام الدالة الكسرية عند ﺃ لا تساوي صفرًا. وهذا يعطينا النهاية للدالة الكسرية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ، وتساوي قيمة ﺩ عند ﺃ.
إننا نريد إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية. لذا، سنجعل ﺃ يساوي سالب ثمانية. ونجعل ﻡﺱ تساوي كثيرة الحدود التي في بسط الدالة داخل النهاية. وهذا يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٢٤. وسنجعل ﻥﺱ تساوي كثيرة الحدود التي في مقام الدالة داخل النهاية. وهذا يساوي خمسة ﺱ تربيع زائد ٣٤ﺱ ناقص ٤٨. إذن، علينا التحقق من قيمة ﻥ عند سالب ثمانية.
حسنًا، قيمة المقام ﻥ عند سالب ثمانية يساوي خمسة في سالب ثمانية تربيع زائد ٣٤ في سالب ثمانية ناقص ٤٨. وبتبسيط ذلك، نحصل على ٣٢٠ ناقص ٢٧٢ ناقص ٤٨، وهو ما يمكن حسابه لنحصل على صفر. إذن، قيمة المقام عند سالب ثمانية هي صفر. وعليه، نجد أن سالب ثمانية لا يقع في مجال الدالة ﺩﺱ. ومن ثم، لا يمكننا استخدام التعويض المباشر.
علينا الآن التحقق مما يحدث للبسط عندما يكون ﺱ يساوي سالب ثمانية. هذا سيساعدنا في تحديد إذا ما كانت النهاية موجودة أو أنها غير موجودة. نلاحظ أن قيمة البسط ﻡ عند سالب ثمانية تساوي ثلاثة في سالب ثمانية زائد ٢٤، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على صفر. وبما أن قيمة كل من ﻡ عند سالب ثمانية وﻥ عند سالب ثمانية تساوي صفرًا، فوفقًا لنظرية العوامل نجد أن ﺱ زائد ثمانية بالتأكيد هو أحد عوامل ﻡﺱ وﻥﺱ. إذن، كل من البسط والمقام في الدالة ﺩﺱ لهما العامل المشترك ﺱ زائد ثمانية.
يمكننا هنا إخراج العامل المشترك ثلاثة من البسط لنحصل على ثلاثة في ﺱ زائد ثمانية. ونحن نعلم أن ﺱ زائد ثمانية يقسم المقدار التربيعي في المقام وفقًا لنظرية العوامل. وبما أن معامل ﺱ تربيع في الدالة التربيعية هو خمسة، فلا بد أن يكون للعامل الثاني حد رئيسي يساوي خمسة ﺱ. وبالمثل، نلاحظ أن ثمانية في سالب ستة يساوي سالب ٤٨.
وإذا حذفنا العامل المشترك ﺱ زائد ثمانية من البسط والمقام، فسنحصل على ثلاثة على خمسة ﺱ ناقص ستة. وجدير بالملاحظة أن ثلاثة على خمسة ﺱ ناقص ستة يساوي الدالة ﺩﺱ عند جميع النقاط إلا عندما يكون ﺱ يساوي سالب ثمانية. وذلك لأن الدالة ﺩﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي سالب ثمانية. فقد أعطتنا صفرًا على صفر، وهذه صيغة غير معينة.
لكن تذكر أنه عندما نحسب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من قيمة ما، فلا يعنينا ما يحدث عندما يكون ﺱ يساوي هذه القيمة. إننا لا يعنينا سوى ما يحدث عندما يقترب ﺱ من هذه القيمة. بعبارة أخرى، سنفترض أن لدينا دالتان — ﺩﺱ وﺭﺱ — متساويتان حول القيمة التي لدينا، وهي ﺱ يساوي ﺃ، ونعلم أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺭﺱ تساوي ﻝ. في هذه الحالة، نستنتج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي ﻝ أيضًا.
ونحن نعلم أن الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة على خمسة ﺱ ناقص ستة عند جميع النقاط، إلا عندما يكون ﺱ يساوي سالب ثمانية. إذن، نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية لثلاثة مقسومًا على خمسة ﺱ ناقص ستة.
وفي الواقع، هذه دالة كسرية ومقامها عند سالب ثمانية لا يساوي صفرًا. وعليه، يمكننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام التعويض المباشر. إذن، باستخدام التعويض المباشر، نجد أن النهاية تساوي ثلاثة مقسومًا على خمسة في سالب ثمانية ناقص ستة، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على سالب ثلاثة على ٤٦.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية لثلاثة ﺱ زائد ٢٤ الكل مقسوم على خمسة ﺱ تربيع زائد ٣٤ﺱ ناقص ٤٨ تساوي سالب ثلاثة على ٤٦.
