نسخة الفيديو النصية
أوجد نهاية خمسة على ﺱ أس أربعة زائد ثمانية، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.
إن ﺱ هنا يقترب من ما لا نهاية، بمعنى أن ﺱ يزداد بلا حدود. إذن، ماذا يحدث عندما يزداد ﺱ أكثر فأكثر؟ حسنًا، في حالة القيم الكبيرة جدًا لـ ﺱ، تكون قيمة ﺱ أس أربعة كبيرة جدًا جدًا. ثم حين نقسم الخمسة على هذا الرقم الكبير جدًا جدًا، نحصل على شيء صغير جدًا. وبديهيًا، عندما يزداد ﺱ، فإن خمسة على ﺱ أس أربعة يصير أصغر وأصغر وأقرب إلى الصفر أكثر فأكثر.
على الجانب الآخر، العدد ثمانية هذا لا يتغير. إذ تبقى قيمته كما هي. وبالتالي، من المنطقي الاعتقاد بأن قيمة نهاية الدالة كلها تساوي ثمانية. وبالفعل، هذا صحيح. ويمكننا الاستعانة بمنحنى الدالة لنثبت أنه عندما يزداد ﺱ بلا حدود، تقترب قيمة الدالة من ثمانية. لنبدأ بـ ﺱ يساوي واحدًا. ونلاحظ أن قيمة الدالة، الممثلة بالإحداثي ﺹ لنقطة على المنحنى، تقترب أكثر فأكثر من ثمانية.
في الواقع، سرعان ما يتعذر تمييز منحنى الدالة من الخط الممثل للمعادلة ﺹ يساوي ثمانية. ولكن في الواقع، إذا استطعت تكبير التمثيل البياني، فيمكنك أن ترى أن منحنى الدالة يقع فوق هذا الخط قليلًا. وبالإضافة إلى الطريقة البديهية والطريقة البيانية، توجد طريقة جبرية قد تستريح لاستخدامها أكثر، أو تشعر أنها تتبع القواعد الرياضية أكثر.
نعود إلى النهاية التي نريد إيجاد قيمتها. ونستخدم القاعدة التي تنص على أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي الدالتين، بافتراض وجود كلتيهما. إذن، يمكننا تقسيم النهاية التي نريد إيجاد قيمتها إلى نهايتين. نهاية خمسة على ﺱ أس أربعة، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، ونهاية ثمانية، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. وهذا القانون لا يطبق فقط عندما يكون ﺃ عددًا حقيقيًا يقترب منه ﺱ، وإنما يطبق أيضًا عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية.
ويمكننا الاستعانة بقانون آخر من قوانين النهايات هنا ينص على أن نهاية عدد ثابت مضروبًا في دالة تساوي العدد الثابت مضروبًا في نهاية هذه الدالة. وبالتالي، نهاية خمسة على ﺱ أس أربعة هي خمسة في نهاية واحد على ﺱ أس أربعة. ربما يتضح لك الآن أن قيمة النهاية المميزة بخط أسفلها تساوي صفرًا. لكن يمكننا الاستعانة بقانون آخر من قوانين النهايات، وهو: النهاية الخاصة بدالة مرفوعة لقوة ما هي النهاية الخاصة بالدالة، مرفوعة للقوة هذه.
إذن، يمكننا أن نكتب هذه النهاية بدلالة نهاية دالة المقلوب واحد على ﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. وعلينا هنا أن نستعين بالقاعدة التي تقول: إن واحدًا على ﺱ أس أربعة يساوي واحدًا على ﺱ الكل أس أربعة. لا يمكننا مواصلة هذه العملية إلى الأبد، فيما يخص ربط نهاية الدالة التي نريد إيجاد قيمتها بنهايات أخرى، مثل نهاية دالة المقلوب. ففي النهاية، علينا أن نوجد قيمة بعض النهايات. نستعين هنا بالحقيقة التي تقول: إن نهاية دالة المقلوب واحد على ﺱ، عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي صفرًا. ونهاية الدالة الثابتة ثمانية، عند اقتراب ﺱ من أي قيمة أو ما لا نهاية، تساوي العدد الثابت ثمانية.
ويمكن أن نتخذ قيمتي هاتين النهايتين باعتبارهما قانونين للنهايات بنحو ما. فهما، لحسن الحظ، صحيحتان بديهيًا. ولكن يمكن إثباتهما بدقة باستخدام تعريف النهايات الذي ربما نكون قد تعرضنا له بالفعل أو لا.
الخطوة الأخيرة هي أن نوجد القيمة النهائية. ولقد توصلنا إلى أنها ثمانية، وذلك كما أشرنا من قبل. لعلكم ظننتم أن قيمة هذه النهاية كانت واضحة من البداية. وإذا لم يكن الأمر كذلك، فآمل أن تخلصوا إلى بعض هذه البديهيات أثناء تعلمكم المزيد. ولكن من المهم أن نفهم أنه في هذه الحالة، بديهياتنا يمكن تبريرها بقوانين النهايات، والتي يمكن إثباتها بدقة باستخدام المزيد من التعريفات.
