فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة كسرية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل المحدد من صفر إلى ثلاثة لاثنين ﺱ على تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ لأقرب جزء من مائة.

هناك طريقتان للإجابة عن هذا السؤال. الطريقة الأولى هي ملاحظة أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لمقام هذا الكسر، وهو تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع، تساوي أربعة ﺱ. وهذا مضاعف قياسي لبسط الكسر، وهو اثنان ﺱ؛ ما يوضح أنه يمكننا الإجابة عن هذه السؤال باستخدام طريقة التعويض. عندما نستخدم طريقة التكامل بالتعويض، يصبح لدينا متغير جديد. إذن، سنفترض أن ﻉ يساوي تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع، أي مقام الكسر.

لقد عرفنا بالفعل أن مشتقة تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة ﺱ. ومن ثم، يصبح لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ‏ ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن عند إجراء هذه الطريقة، نتعامل معه باعتباره كسرًا. يمكننا إذن قول إن ﺩﻉ يكافئ أربعة ﺱ ﺩﺱ. وإذا أردنا، يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين. وقول إن نصف ﺩﻉ يكافئ اثنين ﺱﺩﺱ. إذن، ما الفائدة من ذلك؟ حسنًا، إذا نظرنا مرة أخرى إلى التكامل الأصلي، فسنجد أن لدينا اثنين ﺱ ﺩﺱ. ولقد عرفنا للتو أن هذا يكافئ نصف ﺩﻉ. كما ذكرنا أيضًا أن تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع يكافئ ﻉ.

نعلم إذن كيفية تغيير كل ما بداخل علامة التكامل ليصبح بدلالة ﻉ بدلًا من أن يكون بدلالة ﺱ. بالتعويض عن واحد على تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بواحد على ﻉ، وعن اثنين ﺱﺩﺱ بنصف ﺩﻉ، يصبح لدينا تكامل واحد على ﻉ في نصف ﺩﻉ. لكن بما أن هذا تكامل محدد، فعلينا تذكر تغيير الحدين من حدين بدلالة ﺱ إلى حدين بدلالة ﻉ. ومن ثم، نستخدم العلاقة التي حددناها بالفعل بين ﺱ وﻉ‏ ‏ﻉ يساوي تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع.

بالنسبة للحد السفلي، أي عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﻉ يساوي تسعة زائد اثنين في صفر تربيع. أي تسعة زائد صفر، وهو ما يساوي تسعة. وبذلك، يكون الحد السفلي للتكامل بدلالة ﻉ هو تسعة. وبالنسبة للحد العلوي، أي عند ﺱ يساوي ثلاثة، فإن ﻉ يساوي تسعة زائد اثنين في ثلاثة تربيع. يصبح لدينا تسعة زائد اثنين في تسعة، أو تسعة زائد ١٨، وهو ما يساوي ٢٧. وبذلك، يكون الحد العلوي للتكامل بدلالة ﻉ هو ٢٧. لدينا الآن التكامل المحدد من تسعة إلى ٢٧ لواحد على ﻉ في نصف ﺩﻉ. يمكننا نقل هذا العامل الثابت، أي نصف، قبل علامة التكامل، إذا أردنا. ويمكننا كتابة واحد على ﻉ على الصورة ﻉ أس سالب واحد إذا كان ذلك يساعدنا، وهو ما يعطينا نصفًا في التكامل من تسعة إلى ٢٧ لـ ﻉ أس سالب واحد بالنسبة إلى ﻉ.

لإجراء هذا التكامل، علينا تذكر أنه عند إيجاد تكامل ﻉ أس سالب واحد بالنسبة إلى ﻉ، يصبح لدينا لوغاريتم طبيعي. إذن، تكامل ﻉ أس سالب واحد يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ. ومن ثم، يصبح التكامل يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ بين القيمتين تسعة و٢٧. بالتعويض بقيمتي الحدين، نحصل على نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ٢٧ ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لتسعة. لكن بما أن ٢٧ وتسعة قيمتان موجبتان، فإن قيمتيهما المطلقتين تساويهما تمامًا. إذن، يمكننا حذف علامتي القيمة المطلقة.

وأخيرًا، سنستخدم قوانين اللوغاريتمات لإعادة كتابة ذلك على الصورة نصف في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٢٧ على تسعة، وبالطبع ٢٧ على تسعة يساوي ثلاثة. ومن ثم، يصبح هذا التكامل يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة. مطلوب منا في السؤال تقريب الناتج لأقرب جزء من مائة. إذن، عند إيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة نحصل على ٠٫٥٤٩٣. وبالتقريب لأقرب جزء من مائة، سيساوي ذلك ٠٫٥٥.

لاحظ أنه بسبب تغييرنا حدي التكامل إلى حدين بدلالة ﻉ بدلًا من حدين بدلالة ﺱ، فلا داعي لعكس خطوة التعويض في النهاية.

حسنًا، هذه طريقة صحيحة تمامًا للإجابة عن هذا السؤال، إنها طريقة التكامل بالتعويض. لكن هناك طريقة أسرع للحل إذا لاحظنا أن الدالة التي سيتم تكاملها مكتوبة بصورة معينة. لقد ذكرنا في بداية السؤال أن بسط هذا الكسر هو مضاعف قياسي لمشتقة المقام. إذن، سيصبح لدينا تكامل لدالة على الصورة ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، مع مراعاة الضرب في ثابت أحيانًا. عرفنا أن هذا التكامل نتج عنه لوغاريتم طبيعي.

وفي الواقع، يمكننا تحديد نتيجة عامة، وهي أنه إذا أجرينا تكاملًا لدالة ما على الصورة ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فإن هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ. إذن، هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لمقام الكسر.

إذا كان التكامل الذي نجريه غير محدد، فإنه يتعين علينا حينئذ إضافة ثابت التكامل ﺙ. لكن بما أننا نتعامل مع تكامل محدد في هذا السؤال، يمكننا تضمين حدي التكامل ﺃ وﺏ. لذا، إذا تمكنا من تحديد أن التكامل من هذا النوع، مع مراعاة الضرب في ثابت أحيانًا، فيمكننا إسراع هذه العملية. لقد ذكرنا من قبل أن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لتسعة زائد اثنين ﺱ تربيع تساوي أربعة ﺱ. بسط الكسر هنا هو اثنان ﺱ. لذا، إذا أردنا أن نجعله يماثل مشتقة المقام، فعلينا الضرب في اثنين، وهو ما يعني أن علينا ضرب التكامل بالكامل في نصف حتى لا نغير قيمته الكلية.

إذن، يمكننا القول إن التكامل من صفر إلى ثلاثة لاثنين ﺱ على تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ يساوي نصفًا في التكامل من صفر إلى ثلاثة لأربعة ﺱ على تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. والآن، أصبح لدينا الدالة ﺩﺱ في المقام ومشتقتها ﺩ شرطة ﺱ في البسط. بتطبيق النتيجة التي حصلنا عليها، يمكننا القول إن هذا يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لتسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بين صفر وثلاثة.

يبدو أن ذلك يختلف تمامًا عن الناتج الذي حصلنا عليه عند استخدام طريقة التكامل بالتعويض. لكن تذكر أننا غيرنا المتغير من ﺱ إلى ﻉ. بالتعويض بحدي هذا التكامل، نحصل على نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لتسعة زائد اثنين في ثلاثة تربيع ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لتسعة زائد اثنين في صفر تربيع.

بالتبسيط، نحصل على نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ٢٧ ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لتسعة. وبما أن كلًّا من العددين تسعة و٢٧ موجبان، فإن قيمتيهما المطلقتين تساويان قيمتيهما نفسيهما. إذن، يصبح لدينا نصف في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٢٧ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لتسعة. والآن، نلاحظ أن هذا يطابق ما حصلنا عليه بالطريقة السابقة. وباستخدام الطريقة نفسها، يمكننا التوصل إلى إجابة دقيقة وهي نصف في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة أو القيمة ٠٫٥٥ لأقرب جزء من مائة.

كلتا الطريقتين صحيحتان على حد سواء. نفترض أننا تمكنا من كتابة الدالة التي سيتم تكاملها على الصورة ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ، وتذكر النتيجة العامة لتكامل هذه الدوال أو النتيجة إذا كانت مضروبة في مضاعفات ثابتة. يعني هذا أن الناتج يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ، أي الدالة الموجودة في المقام، وسنجد عندئذ أن هذا سيسرع من العملية.

إذن، إجابة هذه المسألة هي أن التكامل من صفر إلى ثلاثة لاثنين ﺱ على تسعة زائد اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ لأقرب جزء من مائة يساوي ٠٫٥٥.