فيديو: حساب عدد درجات الحرية لغاز مثالي

غاز مثالي درجة حرارته تساوي درجة حرارة الغرفة، وضغطه 0.802 ضغط جوي، وحجمه 13.00L. ضغط الغاز أديباتيكيًّا في عملية شبه ساكنة حتى أصبح ضغطه 3.610 ضغط جوي، وحجمه 5.27L. ما عدد درجات الحرية للغاز؟

٠٤:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

غاز مثالي درجة حرارته تساوي درجة حرارة الغرفة، وضغطه تمنية واتنين من الألف ضغط جوي، وحجمه تلتاشر لتر. ضغط الغاز أديباتيكيًّا في عملية شبه ساكنة حتى أصبح ضغطه تلاتة وستمية وعشرة من الألف ضغط جوي، وحجمه خمسة وسبعة وعشرين من المية لتر. ما عدد درجات الحرية للغاز؟

ففيه عندنا غاز درجة حرارته بتساوي درجة حرارة الغرفة، اللي هي خمسة وعشرين درجة مئوية. وضغطه بيساوي تمنمية واتنين من الألف ضغط جوي. وحجمه بيساوي تلتاشر لتر. والغاز ده اتضغط أديباتيكيًّا في عملية شبه ساكنة، لحدّ ما أصبح ضغطه تلاتة وستمية وعشرة من الألف ضغط جوي، وحجمه أصبح خمسة وسبعة وعشرين من المية لتر. والمطلوب منّنا إن إحنا نعرف عدد درجات الحرية للغاز ده.

ودرجات الحرية دي بتعبّر عن الطرق اللي ممكن تكتسب بها جزيئات الغاز طاقة حركة. يعني مثلًا لو إحنا عندنا جزيء مكوّن من ذرتين. هنلاقي إن الجزيء ده متاح له يتحرك حركة خطية في اتجاه 𝑥 وفي اتجاه 𝑦 وفي اتجاه 𝑧. فده معناه إنه ممكن يكتسب طاقة حركة خطية في التلات اتجاهات دول. وعشان كده بنقول إن عدد درجات الحرية الخطية للغاز ده بتساوي تلاتة.

وطريقة تانية ممكن الجزيء ده يكتسب بيه طاقة حركة، إنه يدور حوالين المحور 𝑥. فده هيديله طاقة حركة دورانية. وبرضو ممكن الجزيء يدور حوالين المحور 𝑧. إنما لو جينا نبصّ للدوران حوالين المحور 𝑦، هنلاقيه بيعتمد على نصف قطر الذرة. وده قيمته بتبقى صغيرة جدًّا، فبنهمل طاقة الحركة الدورانية حوالين المحور 𝑦. وده معناه إن عدد درجات الحرية للحركة الدورانية بتساوي اتنين.

وآخر طريقة ممكن يكتسب بيها الجزيء ده طاقة حركة، إن ذراته تكون بتهتز حوالين بعض. وبنعتبر دي طاقة حركة مختلفة عن طاقة الحركة الخطية؛ لأن مش شرط في حالة الاهتزاز تكون الذرات بتتحرك في نفس الاتجاه. فبنعبّر عنها بطريقة مختلفة عن طاقة الحركة الخطية، اللي هي طاقة الحركة بتاعة الاهتزاز. وبما إن في الحالة دي ما فيش غير اتجاه واحد ممكن يحصل فيه اهتزاز لذرات الجزيء اللي هو الاتجاه 𝑦. فهنلاقي إن درجات حرية الاهتزاز بتساوي واحد.

وبكده يبقى درجات الحرية للغاز كلها هي مجموع التلات أرقام دول. فهنلاقي إن درجات الحرية لغاز عنده ذرتين بيساوي ستة. ولكن الغاز اللي إحنا عايزين نعرف درجات الحرية بتاعته ما نعرفش عدد ذراته بكام. ولكن اللي نعرفه إن هو ضُغِط أديباتيكيًّا. ففي حالة الضغط الأديباتيكي، بنلاقي إن حاصل ضرب الضغط في الحجم أُسّ النسبة ما بين السعتين الحراريتين، دايمًا بيكون رقم ثابت. فده معناه إن الضغط في الحالة الأولى مضروب في الحجم في الحالة الأولى أُس 𝛾. بيساوي الضغط في الحالة التانية في الحجم في الحالة التانية أُس 𝛾. وميزة المعادلة دي إن ما فيهاش غير مجهول واحد وهو الـ 𝛾. والـ 𝛾 هي النسبة ما بين السعة الحرارية عند ثبوت الضغط، والسعة الحرارية عند ثبوت الحجم.

والسعة الحرارية عند ثبوت الحجم بتساوي درجات الحرية مقسومة على اتنين في عدد المولات في الثابت العام للغازات. وفي نفس الوقت السعة الحرارية عند ثبوت الضغط بتساوي السعة الحرارية عند ثبوت الحجم زائد 𝑛 𝑅. فلو عوَّضنا بقيمة الـ 𝐶 𝑉 في المعادلة هنا، وبعدين عوَّضنا بقيمة الـ 𝐶 𝑉 والـ 𝐶 𝑃 في معادلة الـ 𝛾. هنلاقي إن الـ 𝛾 بقت بتساوي 𝑓 على اتنين 𝑛 𝑅، زائد 𝑛 𝑅 على 𝑓 على اتنين 𝑛 𝑅. وممكن نوزّع المقام على الرقمين، فهنلاقي إن الـ 𝛾 بقت بالشكل ده. فده هيخلينا نعرف نختصر 𝑓 على اتنين 𝑛 𝑅، مع 𝑓 على اتنين 𝑛 𝑅. وده هيدّينا واحد. وممكن كمان نختصر الـ 𝑛 𝑅 مع الـ 𝑛 𝑅، وهنطلَّع إن الـ 𝛾 بتساوي واحد زائد اتنين على 𝑓. فكده إحنا ممكن نجيب الـ 𝛾 من معادلة الضغط الأديباتيكي، ونعوّض بيها في المعادلة دي، ونطلَّع درجات الحرية.

فلو قسمنا الطرفين معادلة الضغط الأديباتيكي على 𝑃 واحد 𝑉 اتنين أُس 𝛾. هنلاقي إن 𝑉 واحد على 𝑉 اتنين أُس 𝛾 بيساوي 𝑃 اتنين على 𝑃 واحد. وبما إن اللوغاريتم 𝑥 أُس 𝑦 بيساوي 𝑦 في لوغاريتم 𝑥. فإحنا لو أخدنا لوغاريتم طرفين المعادلة هنلاقي إن 𝛾 في لوغاريتم 𝑉 واحد على 𝑉 اتنين، بتساوي لوغاريتم 𝑃 اتنين على 𝑃 واحد. وعلشان نعرف نجيب الـ 𝛾، هنقسم طرفين المعادلة على لوغاريتم 𝑉 واحد على 𝑉 اتنين. وده هيطلَّع لنا في الآخر إن الـ 𝛾 بتساوي لوغاريتم 𝑃 اتنين على 𝑃 واحد، مقسوم على لوغاريتم 𝑉 واحد على 𝑉 اتنين.

وممكن دلوقتي نعوّض مكان الـ 𝛾 بواحد زائد اتنين على 𝑓. وبكده يبقى المعادلة اللي إحنا طلَّعناها دي المجهول الوحيد فيها هو عدد درجات الحرية. فعلشان نجيب الـ 𝑓 هنطرح من طرفين المعادلة واحد. وبعدين هنرفع طرفين المعادلة لأُس سالب واحد. فده هيقلب الطرف الشمال، وهيخليه 𝑓 على اتنين. وبعدين هنضرب طرفين المعادلة في اتنين. وده هيدّينا إن الـ 𝑓 بتساوي اتنين، مضروبة في الطرف اليمين. ولما نعوّض بالقيَم هنلاقي إن عدد درجات الحرية بيساوي اتنين في لوغاريتم 𝑃 اتنين، مقسوم على 𝑃 واحد، مقسومين على لوغاريتم 𝑉 واحد على 𝑉 اتنين. كل ده ناقص واحد. وكل ده أُس سالب واحد.

وجوه اللوغاريتم اللي في البسط، هنلاقي إن إحنا ممكن نختصر الضغط جوي مع الضغط جوي. واللوغاريتم اللي في المقام هنختصر اللتر مع اللتر. ولما نحسب القيم دي هنلاقي إن عدد درجات الحرية بيساوي تلاتة. وبكده نبقى عرفنا إزَّاي نجيب درجات الحرية لغاز يُضغط أديباتيكيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.