فيديو الدرس: التحويل بين الراديان والدرجات الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحول الراديان إلى درجات، والعكس. هيا نبدأ بمعرفة ما هو الراديان.

كما هو الحال بالضبط مع الدرجات، الراديان هو وحدة قياس للزوايا. ويعرف الراديان بأنه الزاوية التي تتكون عند مركز الدائرة بواسطة قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. لنر كيف يبدو ذلك. لنفترض أن هذه دائرة مركزها ﻭ، وهذا هو نصف قطر الدائرة الذي يمكننا تسميته نق. لنقل بعد ذلك إننا رسمنا خطًّا آخر بنفس طول نصف القطر نق، ثم طويناه للداخل حتى صار يقع على محيط الدائرة. هكذا سيكون شكله. ونعلم أن طول الجانب الآخر من هذا القطاع سيساوي أيضًا الطول نق. وسيكون قياس الزاوية التي تكونت في هذا القطاع راديان واحدًا. والسؤال الذي نريد الإجابة عنه في هذا الفيديو هو ما إذا كان بإمكاننا إيجاد قياس هذه الزاوية المحسوبة بالراديان بالدرجات.

دعونا نتذكر هنا حقيقة أخرى علينا معرفتها بشأن الدوائر. وهي أن المسافة الخارجية الممتدة حول الدائرة بالكامل هي المحيط. ويمكننا إيجاد محيط الدائرة بضرب اثنين في ‏𝜋‏ في نصف القطر. ثمة سؤال منطقي يمكننا طرحه هنا، وهو: ما عدد الأقواس ذات الأطوال نق التي نحتاج إليها لنكون هذا المحيط؟ والإجابة هي أن اثنين ‏𝜋‏ من هذه الأقواس سيكونان محيط الدائرة. يمكننا التحقق من ذلك بتذكر أن ‏𝜋‏ يساوي تقريبًا ٣٫١٤. هذا يعني أن اثنين ‏𝜋‏ يساوي ٦٫٢٨ تقريبًا.

إذا رسمنا قوسًا آخر طوله نق، فسيبدو هكذا، وإذا رسمنا واحدًا آخر فسيكون هكذا، ونستمر في ذلك حتى نلاحظ أن لدينا ستة أقواس بنفس الطول زائد هذا الجزء الصغير المتبقي. وعندما نفكر في أن هذه الزاوية الكاملة عند مركز الدائرة تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان، نتذكر حقيقة أخرى نعرفها عن الزوايا المتكونة في دائرة. وهذه الحقيقة هي أن مجموع قياسات الزوايا المتكونة في دائرة أو عند نقطة معينة يساوي ٣٦٠ درجة. وبذلك يمكننا القول إن اثنين ‏𝜋‏ راديان يساوي ٣٦٠ درجة. معرفة هذه الحقيقة ستساعدنا على التحويل بين الراديان والدرجات، والعكس.

لاحظ أننا إذا قسمنا طرفي صيغة التحويل هذه على اثنين، فسنتوصل إلى حقيقة أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. وهذا قد يفيدنا للغاية؛ لأننا نعلم أن مجموع الزوايا في نصف الدائرة يساوي ١٨٠ درجة، وكذلك على الخط المستقيم وفي المثلث. يمكننا أيضًا قسمة طرفي هذه المعادلة الثانية على اثنين لنحصل على ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة، التي هي بالطبع زاوية قائمة. يمكن أن تساعدنا معرفة صيغ التحويل الثلاثة المختلفة هذه في التحويل بين الراديان والدرجات. لكننا في الحقيقة لا نحتاج سوى إلى تذكر إحداها فقط؛ لأن معرفة معادلة واحدة ستسمح لنا باشتقاق المعادلتين الأخريين.

لنلق نظرة الآن على بعض الأسئلة. في السؤال الأول، سنحول عدة زوايا معطاة بالدرجات إلى زوايا بالراديان.

حول قياسات الزوايا الآتية من الدرجات إلى الراديان. اكتب إجاباتك بدلالة ‏𝜋‏ في أبسط صورة. ‏٩٠ درجة و٣٠ درجة و٥٥ درجة.

في هذا السؤال، لدينا ثلاث زوايا مختلفة بالدرجات، وعلينا تحويل وحدة قياس هذه الزوايا إلى وحدة مختلفة، وهي الراديان. إحدى صيغ التحويل الأساسية التي يمكننا تذكرها لنحول من القياس بالدرجات إلى الراديان هي ١٨٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ راديان. لنر كيف سيساعدنا ذلك في الإجابة عن السؤال المطلوب منا فيه إيجاد عدد الراديان في الزاوية التي قياسها ٩٠ درجة. حسنًا، يمكننا أن نلاحظ أنه للانتقال من ١٨٠ درجة إلى ٩٠ درجة، يجب أن نقسم على اثنين. وبالتالي، يجب أن يكون قياس الراديان مقسومًا على اثنين أيضًا. ‏‏𝜋‏ مقسومًا على اثنين يمكن كتابته على الصورة ‏𝜋‏ على اثنين. إذن، الإجابة هي ‏𝜋‏ على اثنين راديان.

لاحظ أن هذه الإجابة معطاة بدلالة ‏𝜋‏، وأنها في أبسط صورة. يعطى قياس الزوايا بالراديان على هذه الصورة في أغلب الأحيان، لكن يمكننا بالطبع استخدام الآلة الحاسبة لتحويله إلى عدد عشري إذا لزم الأمر.

لنر الآن كيف يمكننا تحويل الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. يمكننا استخدام صيغة التحويل نفسها التي تنص على أن ١٨٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ راديان. لكن لاحظ هذه المرة أننا عندما ننتقل من ١٨٠ درجة إلى ٣٠ درجة، نقسم على ستة. إذن في الطرف الأيسر، علينا أيضًا القسمة على ستة. وبذلك، يمكننا الإجابة بأن ٣٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ على ستة راديان. مرة أخرى، هذه الإجابة بدلالة ‏𝜋‏ وفي أبسط صورة.

حسنًا، هيا نلق نظرة على هذا الجزء الأخير. هذه المرة، سنحاول تحويل ٥٥ درجة إلى راديان. لعلنا ندرك بالفعل أن ذلك لن يكون ببساطة ما سبق؛ لأن ٥٥ درجة ليست عاملًا لقيمة الزاوية ١٨٠ درجة. لذا بدلًا من الانتقال مباشرة من ١٨٠ درجة إلى ٥٥ درجة، سيكون من الأفضل إيجاد الخطوة الناقصة بينهما. لعل أفضل طريقة نتبعها هنا هي التفكير في كيفية تحويل درجة واحدة، لكن ثمة طرقًا أخرى. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد عدد الراديان في خمس درجات.

لكن لنفترض أننا سنستخدم الدرجة الواحدة. وهذه المرة للانتقال من ١٨٠ إلى درجة واحدة، يجب أن نقسم على ١٨٠. بقسمة القيمة التي لدينا بالراديان على ١٨٠، نحصل على ‏𝜋‏ على ١٨٠ راديان. والآن، علينا التفكير في كيفية الانتقال من درجة واحدة إلى ٥٥ درجة. ويكون ذلك عن طريق الضرب في ٥٥. علينا فعل ذلك لكلا طرفي المعادلة. وبدلًا من ترك الناتج في صورة ٥٥‏𝜋‏ على ١٨٠، يمكننا حذف العامل المشترك خمسة. ومن ثم، سنجد أن ٥٥ درجة تساوي ١١‏𝜋‏ على ٣٦ راديان. وبذلك نكون قد حولنا كل هذه الزوايا المعطاة بالدرجات إلى راديان.

في السؤال التالي، سنتعلم كيف نحول زاوية بالراديان إلى زاوية بالدرجات.

حول قياس الزاوية ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان إلى قياس بالدرجات.

ينبغي أن نتذكر هنا أن الراديان هو وحدة قياس للزوايا، بالضبط مثل الدرجات. والراديان هو الزاوية التي تتكون عند مركز دائرة بواسطة قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. لكن للتحويل بين الراديان والدرجات، علينا أن نتذكر إحدى صيغ التحويل الأساسية. فيمكننا أن نتذكر إما أن اثنين ‏𝜋‏ راديان يساوي ٣٦٠ درجة أو أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. بتذكر أي من هاتين الصيغتين، يمكننا تحويل قيمة ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان.

لنفترض أننا سنستخدم صيغة التحويل التي تنص على أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. في هذه الحالة، سيكون علينا أن نسأل أنفسنا كيف يمكننا الانتقال من ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏ على ثلاثة. حسنًا، يمكننا فعل ذلك بالقسمة على ثلاثة. ومن ثم علينا أخذ القيمة ١٨٠ درجة وقسمتها على ثلاثة أيضًا، وهو ما يعطينا ٦٠ درجة. وهذا هو القياس بالدرجات للزاوية التي قياسها ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان.

سنتناول الآن سؤالًا علينا التحويل فيه بين الراديان والدرجات في سياق مسألة معينة.

أوجد قيمة زاويتين بالدرجات إذا كان مجموعهما ٧٤ درجة، والفرق بينهما ‏𝜋‏ على ستة راديان. قرب إجابتك لأقرب درجة.

في هذا السؤال، تشير المعطيات إلى وجود زاويتين. ونعلم أن مجموعهما يساوي ٧٤ درجة والفرق بينهما هو ‏𝜋‏ على ستة راديان. عندما نجيب عن سؤال مثل هذا، علينا استخدام مهارات رياضية مختلفة. فنحتاج إلى استخدام بعض الطرق الجبرية لحل هذه المسألة. ونحتاج أيضًا إلى معرفة كيفية التحويل بين قياسات الزوايا بالدرجات والراديان.

لنبدأ بافتراض أن الزاويتين تسميان ﺱ وﺹ. وبما أننا نعلم أن مجموعهما يساوي ٧٤ درجة، يمكننا القول إن ﺱ زائد ﺹ يساوي ٧٤ درجة. بعد ذلك، نعلم أن الفرق بينهما هو ‏𝜋‏ على ستة راديان. تذكر أن الفرق يعني الطرح، لذا يمكننا كتابة ﺱ ناقص ﺹ يساوي ‏𝜋‏ على ستة راديان.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا معادلتان بهما قيمتان مجهولتان، يمكننا البدء في حلهما. لكن المشكلة هي أن أحد هذين القياسين بالدرجات والآخر بالراديان. يمكننا إذن إيجاد قيمة هاتين الزاويتين إما بالدرجات أو بالراديان. لكن إذا ألقينا نظرة على السؤال، فسنجد أن علينا إعطاء الإجابة النهائية بالدرجات؛ لذا فمن المنطقي أن نحسب قياس الزاويتين بالدرجات.

دعونا إذن نأخذ هذا القياس، ‏𝜋‏ على ستة راديان، ونكتبه بالدرجات. لكي نفعل ذلك، علينا أن نتذكر إحدى صيغ التحويل المهمة بين الراديان والدرجات. ‏‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. يفضل بعض الناس استخدام الصيغة اثنين ‏𝜋‏ راديان يساوي ٣٦٠ درجة. لكن أيًّا منهما سيمكننا من تحويل هاتين الزاويتين. إذا استخدمنا حقيقة أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة وأن القيمة التي لدينا، ‏𝜋‏ على ستة راديان، أصغر من ذلك ست مرات؛ فهذا يعني أن قياس الزاوية بالدرجات يجب أن يكون بدوره أصغر ست مرات من ١٨٠ درجة، أي إنه سيكون ٣٠ درجة.

الآن، وبعد أن عرفنا أن قيمة ‏𝜋‏ على ستة راديان تساوي ٣٠ درجة، يمكننا القول إن ﺱ ناقص ﺹ يساوي ٣٠ درجة. يمكننا الآن حل نظام المعادلتين هذا بالتعويض أو الحذف. إذا اخترنا استخدام طريقة الحذف وحاولنا حذف المتغير ﺹ، يمكننا جمع المعادلة الأولى والمعادلة الثانية معًا. بجمع قيمتي ﺱ سنحصل على اثنين ﺱ. وﺹ ناقص ﺹ يساوي صفرًا. و ٧٤ درجة زائد ٣٠ درجة يساوي ١٠٤ درجات.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺱ بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين. فنجد أن ﺱ يساوي ٥٢ درجة. سنأخذ بعد ذلك قيمة ﺱ هذه ونعوض بها في المعادلة الأولى أو الثانية. باستخدام المعادلة الأولى، نجد أنه بما أن ﺱ يساوي ٥٢ درجة، فإن ٥٢ درجة زائد ﺹ يساوي ٧٤ درجة. وبطرح ٥٢ درجة من كلا الطرفين، نحصل على ﺹ يساوي ٢٢ درجة. وعليه، يمكننا الإجابة عن السؤال بقول إن قياسي الزاويتين هما ٥٢ درجة و٢٢ درجة. وبما أنهما يمثلان قيمة كلية بالفعل، فلا نحتاج للتقريب لأقرب درجة.

وبالطبع، من المفيد دائمًا أن نتأكد من أن إجابتنا صحيحة. بمراجعة ما فعلناه أثناء الحل، نجد أننا استخدمنا المعادلة ﺱ زائد ﺹ يساوي ٧٤ درجة، لذا هيا نتأكد من أننا إذا طرحنا الزاويتين، فسنحصل على ٣٠ درجة. إذا طرحنا ٢٢ درجة من ٥٢ درجة، فسنحصل بالفعل على ٣٠ درجة، وهذا يؤكد أن قياسي الزاويتين هما ٥٢ درجة و٢٢ درجة.

في السؤال الأخير، سنحل مسألة تتعلق بإيجاد قياس زاويا بالراديان وبالدرجات داخل مثلث.

قياسا زاويتين في مثلث هما ٥٥ درجة وسبعة ‏𝜋‏ على ١٨ راديان. أوجد قيمة الزاوية الثالثة بوحدة راديان بدلالة ‏𝜋‏.

في هذا السؤال، لدينا مثلث. ونعلم أن إحدى زواياه قياسها ٥٥ درجة. والزاوية الأخرى سبعة ‏𝜋‏ على ١٨ راديان. علينا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث. ومطلوب منا إعطاء الإجابة بالراديان.

أول مشكلة نلاحظها في هذه المسألة هنا هي أن قياس إحدى الزاويتين معطى بالدرجات، والآخر معطى بالراديان. قد يختلط الأمر علينا قليلًا ونعتقد أن الراديان هو شيء يخص الدوائر فقط. لكن تذكر أن الراديان كالدرجات؛ فهو ببساطة وحدة لقياس الزوايا. ما نريد فعله في هذا السؤال هو التأكد من أن جميع الزوايا معطاة بوحدة القياس نفسها. فيمكننا تغييرها جميعًا إلى درجات، أو إلى راديان. لكن ينبغي أن نلاحظ أن السؤال يطلب منا أن تكون الزاوية بالراديان في النهاية؛ لذا من المنطقي أن نغير القيمة بالدرجات إلى قيمة بالراديان.

عندما يتعلق الأمر بالتحويل بين الدرجات والراديان، يمكننا تذكر صيغتي تحويل شائعتين، وهما أن ١٨٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ راديان و٣٦٠ درجة تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان. وتذكر صيغة واحدة منهما فقط سيسمح لنا بتحويل أي قياس بالدرجات إلى قياس بالراديان. دعونا نختر هنا صيغة التحويل ١٨٠ درجة يساوي ‏𝜋‏ راديان، ونستخدمها لتحويل ٥٥ درجة إلى قيمة بالراديان. إذا أخذنا هذه الخطوة الوسيطة لإيجاد قياس درجة واحدة، فسنلاحظ أنه لكي ننتقل من ١٨٠ إلى واحد، علينا أن نقسم على ١٨٠.

هذا يعني أن علينا فعل الأمر نفسه في الطرف الآخر حيث القيمة بالراديان. ‏‏𝜋‏ مقسومًا على ١٨٠ يمكن كتابته على الصورة ‏𝜋‏ على ١٨٠ راديان. وللتحويل من درجة واحدة إلى ٥٥ درجة، علينا الضرب في ٥٥. بعد ذلك يمكننا تبسيط هذه القيمة في الطرف الأيسر. إذن يمكننا القول إن ٥٥ درجة تساوي ١١‏𝜋‏ على ٣٦ راديان. يمكننا أن نلاحظ بالطبع أنه يوجد طريقة أخرى لحل المسألة. بدلًا من إيجاد درجة واحدة، كان بإمكاننا تحويل خمس درجات إلى راديان. لكي ننتقل من ١٨٠ درجة إلى خمس درجات، كنا سنقسم على ٣٦. ولتحويل خمس درجات إلى ٥٥ درجة، كنا سنحتاج إلى ضرب كلا الطرفين في ١١. أي طريقة من الطريقتين ستعطينا القيمة ١١‏𝜋‏ على ٣٦ راديان.

الآن وبعد أن توصلنا إلى أن قياس هذه الزاوية الذي يبلغ ٥٥ درجة يكافئ ١١‏𝜋‏ على ٣٦ راديان، هيا نر ما إذا كنا نستطيع إيجاد هذه الزاوية الثالثة في المثلث. علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث هو ١٨٠ درجة. وإذا سمينا هذه الزاوية المجهولة في المثلث ﺱ، يمكننا أن نكتب أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث لا بد وأن يساوي ‪…‬‏ يا إلهي! لا يمكن أن نقول ١٨٠ درجة هنا؛ إذ يجب أن تكون القيمة بالراديان. لكننا نعلم بالفعل أن ١٨٠ درجة تساوي ‏𝜋‏ راديان. وبالتالي، يجب أن يكون مجموع قياسات الزوايا الثلاث هو ‏𝜋‏.

علينا الآن إجراء بعض العمليات الحسابية على الكسور. نتذكر أنه عند جمع الكسور، يجب أن يكون لها المقام نفسه. ولكتابة الكسر الثاني بالمقام ٣٦، علينا ضرب البسط والمقام في اثنين. إذن، الكسر الثاني سيكون ١٤‏𝜋‏ على ٣٦. عند جمع الكسور التي لها المقام نفسه، نجمع البسوط. وعليه، سيكون لدينا ٢٥‏𝜋‏ على ٣٦ زائد ﺱ يساوي ‏𝜋‏. لإيجاد قيمة ﺱ، سنطرح ٢٥‏𝜋‏ على ٣٦ من كلا طرفي المعادلة. ولمساعدتنا في الحل، قد يكون من المفيد أن نحذف العامل المشترك ‏𝜋‏. وهكذا، سيصير لدينا ﺱ يساوي ‏𝜋‏ مضروبًا في واحد ناقص ٢٥ على ٣٦.

وباستخدام حقيقة أن القيمة الكلية للعدد واحد تساوي ٣٦ على ٣٦، نجد أن ﺱ يساوي ١١‏𝜋‏ على ٣٦ راديان. وهذه هي إجابتنا بشأن قيمة الزاوية الثالثة في هذا المثلث. وهي معطاة بالراديان بدلالة ‏𝜋‏.

والآن هيا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. تعلمنا أولًا أن الراديان والدرجات هما وحدتا قياس للزوايا. وعرفنا أن الراديان هو الزاوية التي تتكون عند مركز دائرة بواسطة قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. وأخيرًا، تعلمنا أنه يمكننا التحويل بين الدرجات والراديان بتذكر إحدى الصيغ الآتية: اثنان ‏𝜋‏ راديان يساوي ٣٦٠ درجة، أو ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة، أو ‏𝜋‏ على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة. باستخدام أي من هذه الصيغ الثلاثة نتمكن من التحويل بين الدرجات والراديان، والعكس.