نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ هو المتجه ثلاثة، سالب اثنين، وﻡ هو المتجه سالب تسعة، خمسة. ما مركبتا ﺱ زائد ﻡ؟ ما مركبتا ﻡ زائد ﺱ؟
لدينا هنا متجهان هما ﺱ وﻡ، وكما نلاحظ، ينقسم السؤال إلى جزأين. أولًا، علينا إيجاد مركبتي ﺱ زائد ﻡ، ثم علينا إيجاد مركبتي ﻡ زائد ﺱ. وإجابة كلا الجزأين تتضمن جمع متجهين معًا؛ لذا، دعونا نتذكر كيفية فعل ذلك. في الواقع، نحن نعرف عدة طرق مختلفة لجمع أي متجهين معًا. على سبيل المثال، نعرف كيفية فعل ذلك بيانيًّا. فمثلًا، إذا رسمنا المتجه ﺃ وعند نقطة نهاية المتجه ﺃ رسمنا المتجه ﺏ، فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ سيكون هو المتجه الذي يبدأ من نقطة بداية المتجه ﺃ وينتهي عند نقطة نهاية المتجه ﺏ. ولكن، هذه ليست الطريقة الوحيدة لحساب مجموع متجهين. يمكننا أيضًا فعل ذلك باستخدام مركبتي كل منهما.
لعلنا نتذكر أنه يمكن جمع أي متجهين لهما نفس الأبعاد فقط بجمع مركبتي كل منهما معًا. بعبارة أخرى، المتجه ﺱﺱ، ﺱﺹ زائد المتجه ﻡﺱ، ﻡﺹ، سيساوي المتجه ﺱﺱ زائد ﻡﺱ، ﺱﺹ زائد ﻡﺹ. وفي هذا السؤال، ستكون هذه الطريقة أسهل؛ لأن المتجهين لدينا معطيان بالفعل على الصورة الإحداثية. لذا، دعونا نستخدم هذه الطريقة لجمع المتجهين ﺱ وﻡ معًا. علينا جمع المتجه ثلاثة، سالب اثنين والمتجه سالب تسعة، خمسة. ولفعل ذلك، سنجمع قيمة المركبة الأولى لكل من المتجهين معًا، ثم سنجمع قيمة المركبة الثانية لكل من المتجهين معًا. بهذا، يصبح لدينا المتجه ثلاثة زائد سالب تسعة، سالب اثنين زائد خمسة. يمكننا حساب قيمتي هاتين المركبتين. ثلاثة زائد سالب تسعة يساوي سالب ستة، وسالب اثنين زائد خمسة يساوي ثلاثة. ومن ثم، يصبح لدينا المتجه سالب ستة، ثلاثة.
والآن، يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد المتجه ﻡ زائد المتجه ﺱ. لكن هذه المرة، علينا جمع المتجه سالب تسعة، خمسة والمتجه ثلاثة، سالب اثنين. مرة أخرى، سنجمع مركبتي كل من هذين المتجهين معًا. وهذا يعطينا المتجه سالب تسعة زائد ثلاثة، خمسة زائد سالب اثنين. يمكننا حساب قيمتي هاتين المركبتين. سالب تسعة زائد ثلاثة يساوي سالب ستة، وخمسة زائد سالب اثنين يساوي ثلاثة. وهكذا، يصبح لدينا المتجه سالب ستة، ثلاثة. يمكننا التوقف هنا. لكننا نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. لقد أوضحنا للتو أن المتجه ﺱ زائد المتجه ﻡ يساوي المتجه ﻡ زائد المتجه ﺱ. وهناك عدة طرق مختلفة يمكننا من خلالها معرفة سبب صحة ذلك.
إحدى هذه الطرق هي ملاحظة أن جمع الأعداد الحقيقية هو عملية إبدالية. لذا، عند جمع متجهين بترتيب مختلف، فإننا نجمع مركبتي كل منهما معًا. لكننا نجمعها بترتيب مختلف. ويمكننا تغيير هذا الترتيب؛ وعليه، لا يهم الترتيب الذي نجمع به المتجهين. بهذا نكون قد أوضحنا أنه لأي متجهين يمكن جمعهما معًا، فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ يساوي دائمًا المتجه ﺏ زائد المتجه ﺃ. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكننا توضيح ذلك بيانيًّا.
إذا أردنا جمع المتجه ﺏ والمتجه ﺃ في الشكل نفسه، فيمكننا البدء بالمتجه ﺏ بدلًا من ذلك. وعند نقطة نهاية هذا المتجه ﺏ، يمكننا إضافة المتجه ﺃ. وهكذا، نجد أن المتجه ﺏ يوازي المتجه ﺏ، والمتجه ﺃ يوازي المتجه ﺃ، وكلاهما يبدأ وينتهي عند النقطة نفسها. بعبارة أخرى، سنجد أننا كوننا متوازي أضلاع. وقطر متوازي الأضلاع هذا يساوي المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ؛ وأيضًا المتجه ﺏ زائد المتجه ﺃ. وهو ما يعني أن المتجهين متساويان.
إذن، جمع المتجهات عملية إبدالية. وبهذا، نكون قد تمكنا من إيجاد أنه إذا كان ﺱ هو المتجه ثلاثة، سالب اثنين، وﻡ هو المتجه سالب تسعة، خمسة، فإن مركبتي ﺱ زائد ﻡ، ومركبتي ﻡ زائد ﺱ تساويان سالب ستة، ثلاثة. وهو ما يعطينا المتجه سالب ستة، ثلاثة.
