فيديو الدرس: تطبيقات على التوزيع الطبيعي الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق التوزيع الطبيعي في المواقف الحياتية. العديد من المتغيرات المتصلة في عالم الواقع يتبع تقريبًا التوزيع الطبيعي. على سبيل المثال، من المتوقع أن تتبع الأطوال والأوزان، التي يتم تجميعها من عينات غير منحازة، توزيعًا طبيعيًّا.

ينبغي أن نكون بالفعل على دراية بالنظرية المرتبطة بالتوزيع الطبيعي. إذا كان ﺱ متغيرًا عشوائيًّا يتبع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎 أو تباين 𝜎 تربيع. ويتعين أن نكون على دراية بالمنحنى المميز الذي يتخذ شكل الجرس لتوزيع الاحتمال لمتغير عشوائي طبيعي. نتذكر على وجه التحديد أنه متماثل حول متوسط التوزيع 𝜇. نعلم أيضًا أنه يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي لحساب النسبة المئوية لنقاط البيانات من التوزيع الواقعة ضمن نطاق معين.

على سبيل المثال، تمثل المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع بين القيمتين ﺃ وﺏ احتمال أن متغيرًا عشوائيًّا مأخوذًا من هذا التوزيع يقع بين ﺃ وﺏ، أي احتمال أن ﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ ولكن أصغر من أو يساوي ﺏ. والآن، من المهم أن تتذكر هنا أن المتغيرات التي تتبع توزيعًا طبيعيًّا هي متغيرات عشوائية متصلة. إذن، احتمال أن يكون ﺱ في الواقع مساويًا لأي قيمة محددة هو صفر. لذا، لا داعي للقلق بشأن ما إذا كنا نستخدم المتباينات الضعيفة أو التامة لنهايات الفترة. ويمكننا التأكد من أن احتمال أن يكون ﺱ، على سبيل المثال، أصغر من ﺏ هو احتمال أن يكون ﺱ أصغر من أو يساوي ﺏ.

ويتعين أن نكون أيضًا على دراية بالتوزيع الطبيعي المعياري، الذي متوسطه صفر، وانحرافه المعياري واحد. إذا كان ﺱ متغيرًا عشوائيًّا يتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه 𝜇 وانحرافه المعياري 𝜎، فإن ﺹ الذي يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎 هو متغير عشوائي طبيعي. يمكننا تحويل قيمة مرصودة ﺱ للمتغير العشوائي ﺱ إلى مقياس معياري بتطبيق الصيغة ﻱ يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. وهذه القيمة المعيارية تعرف بدرجة ﻱ. يمكننا بعد ذلك استخدام الجداول الإحصائية لتحديد الاحتمالات المرتبطة بدرجات ﻱ معيارية محددة.

الجداول التي سنستخدمها في هذا الفيديو هي جداول تناظر المساحة بين صفر ودرجة ﻱ معيارية موجبة. أي إنه يمكننا البحث عن احتمالات على صورة احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، لكنه أقل من أو يساوي قيمة صغيرة موجبة ما، ويرمز إليها بـ ﻱ. يمكننا بعد ذلك استخدام تماثل التوزيع الطبيعي وخصائص أخرى لإيجاد الاحتمالات المرتبطة بمناطق أخرى، كما سنرى خلال الأمثلة. إن المسائل التي سنركز عليها في هذا الفيديو ستكون جميعها تطبيقات من واقع الحياة للمهارات التي راجعناها للتو. في المسألة الأولى، سنرى كيف يمكننا تقدير احتمال من توزيع طبيعي في مواقف حياتية.

متوسط وزن محصول التفاح يساوي ١٠٥ جرامات والانحراف المعياري يساوي ثلاثة جرامات. من المفترض أن التوزيع الطبيعي هو نموذج ملائم لهذه البيانات. ما الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة اختيرت عشوائيًّا من المحصول أقل من ١٠٥ جرامات؟

هيا نستخدم المتغير العشوائي ﺱ لنرمز إلى وزن تفاحة. نعلم من معطيات السؤال أن التوزيع الطبيعي ملائم لـ ﺱ. ومتوسطه هو ١٠٥ جرامات. وانحرافه المعياري هو ثلاثة جرامات. المطلوب منا إيجاد احتمال أن يكون وزن تفاحة اختيرت عشوائيًّا أقل من ١٠٥ جرامات. بترميز الاحتمال، نحن نبحث عن احتمال أن يكون ﺱ أصغر من ١٠٥.

حسنًا، قبل أن ننتقل إلى محاولة تحويل هذه القيمة إلى درجة ﻱ معيارية، دعونا نتوقف قليلًا ونفكر في ذلك. القيمة ١٠٥ جرامات هي قيمة معنوية في هذا التوزيع. في الواقع، إنها المتوسط. نحن نعلم أن التوزيع الطبيعي متماثل حول المتوسط. إذن، هذا التوزيع الطبيعي متماثل حول القيمة ١٠٥. إذن، فالاحتمال الذي نريده، أي احتمال أن يكون ﺱ أصغر من ١٠٥، هو احتمال وجود قيمة مرصودة في النصف السفلي من التوزيع. وبدون إجراء أي عمليات حسابية، يمكننا القول إن هذا الاحتمال يساوي ٠٫٥ أو ٥٠ بالمائة.

والآن يمكننا بالطبع إجراء العملية الحسابية بطريقة منهجية لحساب درجة ﻱ معيارية، ثم استخدام جداول الاحتمال للتوزيع الطبيعي المعياري. لكن إذا تصرفنا بذكاء حيال الأمر، ولاحظنا معنوية هذه القيمة ١٠٥ لهذا التوزيع، فلن نحتاج إلى ذلك. نستنتج أن الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة اختيرت عشوائيًّا من المحصول أقل من ١٠٥ جرامات هو ٥٠ بالمائة.

لنتناول الآن مثالًا آخر على حساب احتمال لتطبيق من واقع الحياة يتبع التوزيع الطبيعي.

الرواتب الشهرية للعاملين في أحد المصانع موزعة طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات إسترلينية، وانحراف معياري مقداره ١٠ جنيهات إسترلينية. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعامل راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا.

سنبدأ باستخدام المتغير العشوائي ﺱ لنرمز إلى الرواتب الشهرية. علمنا من السؤال أن هذه الرواتب تتبع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات. علمنا أيضًا أن الانحراف المعياري مقداره ١٠ جنيهات.

والمطلوب هو تحديد احتمال أن يكون راتب العامل المختار عشوائيًّا ما بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا. هذا هو احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١٨٤، وأقل من أو يساوي ٢٣٣. لنفكر فقط في الشكل الذي سيبدو عليه هذا بدلالة المساحة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي. نعرف أن هذا التوزيع الطبيعي متماثل حول هذا المتوسط ٢١٠. و١٨٤ أصغر من ٢١٠، إذن، هذه القيمة تقع في النصف السفلي من التوزيع، بينما ٢٣٣ أكبر من ٢١٠، إذن هذه القيمة تقع في النصف العلوي. الاحتمال الذي نبحث عنه يناظر المساحة بين هاتين القيمتين.

لإيجاد هذين الاحتمالين، علينا أولًا تحويل قيمتي ١٨٤ و٢٣٣ إلى قيمتين معياريتين من التوزيع الطبيعي المعياري باستخدام الصيغة: ﻱ يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. للقيمة ١٨٤، لدينا ﻱ يساوي ١٨٤ ناقص ٢١٠ الكل على ١٠، وهو ما يساوي سالب ٢٫٦. وللقيمة ٢٣٣، ﻱ يساوي ٢٣٣ ناقص ٢١٠ على ١٠، وهو ما يساوي ٢٫٣. إذن، على المقياس المعياري، المساحة التي نبحث عنها تقع بين القيمتين سالب ٢٫٦ و٢٫٣. احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ١٨٤ ولكن أقل من أو يساوي ٢٣٣ هو نفسه احتمال أن يكون المتغير العشوائي الطبيعي المعياري ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٢٫٦ وأقل من أو يساوي ٢٫٣.

فالمنطقة التي نبحث عنها تتكون من مساحتين على كلا جانبي المتوسط؛ لذا علينا التفكير في أفضل طريقة لإيجادها. المساحة الموجودة على يمين المتوسط، أي احتمال أن يكون ﺹ بين صفر و٢٫٣، هي في الصورة الصحيحة بحيث يمكننا أن نحسبها باستخدام الجداول الإحصائية. ولذا، سنفعل ذلك بعد قليل. لكن ماذا عن المساحة على يسار المتوسط؟ هذا هو احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٢٫٦ وأقل من أو يساوي صفرًا.

حسنًا، علينا أن نتذكر تماثل التوزيع الطبيعي. احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٢٫٦ وأقل من أو يساوي صفرًا هو نفسه احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، ولكن أقل من أو يساوي ٢٫٦. وهذا احتمال في الصورة الصحيحة بحيث يمكننا البحث عنه في الجداول الإحصائية. إذن، سنوجد الاحتمالين المرتبطين بدرجتي ﻱ المعياريتين، وهما ٢٫٦ و٢٫٣، ثم نجمعهما معًا. ها هي الجداول الإحصائية التي تحتوي درجات ﻱ المعيارية نفسها في العمود الأول ثم قيم المنزلة العشرية الثانية في الصف العلوي.

إذا دققنا النظر، فسنجد أن الاحتمال المرتبط بدرجة ﻱ المعيارية ٢٫٦ هو٠٫٤٩٥٣، وتذكر أنه باستخدام التماثل هو نفسه احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ٢٫٦ وأقل من أو يساوي صفرًا. ونجد أن الاحتمال المرتبط بدرجة ﻱ المعيارية ٢٫٣ هو٠٫٤٨٩٣. جمع هاتين القيمتين يعطينا ٠٫٩٨٤٦. لذا يمكننا استنتاج أن احتمال الاختيار عشوائيًّا لعامل يتراوح راتبه بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا هو٠٫٩٨٤٦.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا. في هذه المسألة، أحد بارامتري التوزيع الطبيعي مجهول. ومطلوب منا حسابه باستخدام المعلومات الأخرى المعطاة في السؤال.

أطوال عينة من الزهور موزعة حسب التوزيع الطبيعي الذي متوسطه 𝜇 وانحرافه المعياري ١٢ سنتيمترًا. إذا علم أن أطوال ١٠٫٥٦ بالمائة من هذه الزهور أقل من ٤٧ سنتيمترًا، فأوجد 𝜇.

نعرف من المعطيات أن أطوال هذه العينة من الزهور تتبع توزيعًا طبيعيًّا. من المعطيات لدينا الانحراف المعياري؛ وهو١٢ سنتيمترًا. لكن ليس لدينا المتوسط. هيا نستخدم المتغير العشوائي ﺱ لتمثيل طول الزهرة. يمكننا القول بعد ذلك إن ﺱ تتبع توزيعًا طبيعيًّا 𝜇، ١٢ تربيع. المعلومة الأخرى المعطاة في السؤال هي أن ١٠٫٥٦ بالمائة من هذه العينة من الزهور أقصر من ٤٧ سنتيمترًا. بترميز الاحتمال، يمكننا كتابة أن احتمال أن يكون ﺱ أقل من ٤٧ هو٠٫١٠٥٦.

لنفكر فيما يعنيه هذا بدلالة المساحات أسفل المنحنى الطبيعي. وبما أن هذا الاحتمال أقل من ٠٫٥، فهذا يعني أن القيمة ٤٧ تقع في النصف السفلي من التوزيع. وهذا الاحتمال ٠٫١٠٥٦ يناظر المساحة على يسار القيمة ٤٧ تحت منحنى التوزيع الطبيعي. والآن، كان يمكننا إيجاد هذا الاحتمال بحساب درجة ﻱ المعيارية للقيمة المرصودة ٤٧، ثم باستخدام الجداول الإحصائية. سنحاول الآن إجراء هذه العملية ولكن بطريقة عكسية.

نتذكر أن صيغة حساب درجة ﻱ المعيارية لقيمة مرصودة ﺱ هي ﻱ يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. بما أن هذه القيمة ٤٧ تقع في النصف السفلي من التوزيع، فستكون درجة ﻱ المعيارية المرتبطة بها سالبة. لكن تذكر أنه لا يمكننا إيجاد درجات ﻱ المعيارية السالبة في الجداول الإحصائية. يمكننا إيجاد الدرجات الموجبة فقط. إذا فكرنا بدلًا من ذلك في سالب درجة ﻱ المعيارية هذه، فسنجد أنها قيمة موجبة؛ لأن سالبًا مضروبًا في سالب يعطينا قيمة موجبة.

وفقًا لتماثل منحنى التوزيع الطبيعي، المساحة على يسار درجة ﻱ المعيارية هي نفسها المساحة على يمين درجته المعيارية السالبة. إذن، هذه المساحة هنا في النصف العلوي من التوزيع تساوي أيضًا ٠٫١٠٥٦. يمكننا بعد ذلك إيجاد المساحة بين صفر وسالب درجة ﻱ المعيارية، باستخدام حقيقة أن المساحة على كلا جانبي المتوسط تساوي ٠٫٥. إذن، هذه المساحة، المظللة باللون البرتقالي، تساوي ٠٫٣٩٤٤. وفي النهاية، لدينا الاحتمال المناظر لمساحة يمكننا استخدامها في جداول التوزيع الطبيعي الإحصائية. وباستخدام الجداول بطريقة عكسية، يمكننا البحث عن درجة ﻱ المعيارية المرتبطة بالاحتمال ٠٫٣٩٤٤.

لكن تذكر أن ذلك يعطينا سالب درجة ﻱ المعيارية المرتبطة بـ ٤٧. بالتدقيق في الجداول الإحصائية، نجد أن درجة ﻱ المعيارية المرتبطة باحتمال ٠٫٣٩٤٤ هي ١٫٢٥. هذا يعني أن سالب ﻱ يساوي ١٫٢٥، وهو ما يعني أن ﻱ يساوي سالب ١٫٢٥. من الناحية العملية، هذا يعني أن القيمة المرصودة ٤٧ هي ١٫٢٥ انحراف معياري أقل من متوسط التوزيع. لإيجاد المتوسط، نعكس عملية حساب درجة ﻱ المعيارية.

بالتعويض بسالب ١٫٢٥ عن ﻱ، و٤٧ عن ﺱ، و١٢ عن 𝜎، يصبح لدينا سالب ١٫٢٥ يساوي ٤٧ ناقص 𝜇 على ١٢. يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في ١٢ لنحصل على ١٢ مضروبًا في سالب ١٫٢٥ يساوي ٤٧ ناقص 𝜇. و١٢ مضروبًا في سالب ١٫٢٥ يساوي سالب ١٥. يمكننا بعد ذلك طرح ٤٧ من كلا الطرفين لنحصل على سالب ١٥ ناقص ٤٧ يساوي سالب 𝜇، سالب ١٥ ناقص ٤٧ يساوي سالب ٦٢. بقسمة أو ضرب كلا طرفي المعادلة في سالب واحد، يصبح لدينا 𝜇 يساوي ٦٢. أوجدنا إذن أن متوسط هذا التوزيع، الذي نتذكر أنه لأطوال عينة من الزهور، يساوي ٦٢ سنتيمترًا.

هيا نراجع الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. العديد من المتغيرات المتصلة في عالم الواقع تتبع تقريبًا التوزيع الطبيعي. ورأينا أمثلة تتعلق بأوزان ثمار التفاح، ورواتب العمال، وأخيرًا، أطوال الزهور. في المسائل المتعلقة بالتوزيع الطبيعي، نبدأ عادة بتحديد الحرف المستخدم لتمثيل المتغير العشوائي، وعادة ما يكون ﺱ. نذكر بعد ذلك أن ﺱ يتبع توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎 أو تباين 𝜎 تربيع. قد تكون هذه البارامترات معلومة، أو قد يكون أحدها مجهولًا، حسب المسألة.

يمكننا معايرة قيمة مرصودة ﺱ على المتغير العشوائي ﺱ باستخدام الصيغة ﻱ يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. ينتج عن هذا قيمة مرصودة من التوزيع الطبيعي المعياري بمتوسط صفر وانحراف معياري واحد. يمكن تحديد احتمالات التوزيع الطبيعي المعياري باستخدام الجداول الإحصائية أو الآلات الحاسبة العلمية. أعطتنا الجداول التي استخدمناها في هذا الفيديو احتمالات على صورة احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا، ولكن أقل من أو يساوي قيمة موجبة ما يرمز لها بـ ﻱ. ولكن توجد أنواع أخرى من الجداول.

وأخيرًا، يمكننا استخدام تماثل منحنى التوزيع الطبيعي لتحويل الاحتمالات من هذه الجداول إلى احتمالات تناظر مناطق أخرى تحت المنحنى.