نسخة الفيديو النصية
ما سعة العدد المركب سالب ستة؟
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد سعة عدد مركب. وهذا العدد المركب هو سالب ستة. ثمة أمر تجدر الإشارة إليه هنا. قد نكون غير معتادين على اعتبار سالب ستة عددًا مركبًا. لكن، أي عدد حقيقي يمكن اعتباره عددًا مركبًا جزؤه التخيلي يساوي صفرًا. إذن، أي سؤال يمكننا طرحه حول الأعداد المركبة يمكننا طرحه أيضًا حول الأعداد الحقيقية.
في هذا السؤال، نريد إيجاد سعة هذا العدد المركب. دعونا نبدأ بتذكر المقصود بسعة العدد المركب. لعلنا نتذكر أن سعة العدد المركب ﻉ تساوي قيمة ما لـ 𝜃، إذا كانت 𝜃 هي الزاوية التي يصنعها ﻉ مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند. هناك بضعة أمور حول هذا التعريف تجدر الإشارة إليها.
أولًا، سعة العدد المركب هي الزاوية التي يصنعها الشعاع، الذي يصل نقطة الأصل بالنقطة ﻉ، مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي على مخطط أرجاند. بعد ذلك، نقيس هذه الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة لنحصل على قيمة موجبة، وفي اتجاه دوران عقارب الساعة لنحصل على قيمة سالبة. وعادة ما نقيس هذه الزاوية بالراديان. لكن يمكننا أيضًا قياسها بالدرجات. الأمر الأخير الذي تجدر الإشارة إليه هو أن سعة العدد المركب ﻉ ليست الوحيدة. فكما هو الحال مع أي زاوية أخرى نقيسها بهذه الطريقة، يوجد العديد من الزوايا المتكافئة. على سبيل المثال، الزوايا التي قياسها صفر و٣٦٠ درجة و٧٢٠ درجة كلها زوايا متكافئة.
إذن، لإيجاد سعة عدد مركب، سنبدأ بتمثيل ذلك على مخطط أرجاند. تذكر أن المحور الأفقي في مخطط أرجاند يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي منه. وبما أننا نريد إيجاد سعة العدد سالب ستة، وهو عدد حقيقي، فإننا نعرف هاتين القيمتين بالفعل. الجزء الحقيقي من سالب ستة هو نفسه، أي سالب ستة. وبما أن هذا عدد حقيقي، فليس له جزء تخيلي. والجزء التخيلي من سالب ستة هو صفر.
إذن، عند هذه النقطة، نريد أن يكون الجزء التخيلي يساوي صفرًا، والجزء الحقيقي يساوي سالب ستة. فهي تقع على المحور الحقيقي عند النقطة سالب ستة. يمكننا تسمية هذه النقطة، إذا أردنا. فيمكننا أن نسمي العدد المركب ﻉ. لكن هذا ليس ضروريًّا تمامًا. لإيجاد سعة هذا العدد المركب، علينا أن نصله بنقطة الأصل بواسطة شعاع أو قطعة مستقيمة. وسعة العدد المركب لدينا ستكون أي زاوية تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. ولا يهم أي زاوية سنختار. فجميعها يمثل سعة العدد المركب.
سنختار تحديد الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة وجعلها أصغر ما يمكن. عادة ما نستخدم حساب المثلثات لإيجاد سعة عدد مركب. لكن هذا ليس ضروريًّا هنا. يمكننا ملاحظة أن 𝜃 هي الزاوية الموجودة على خط مستقيم. ولأنها تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإننا نعرف أنها ستكون موجبة. إذن، 𝜃 تساوي 𝜋.
بذلك، نجد أن سعة العدد المركب سالب ستة تساوي 𝜋. لكن، تجدر الإشارة هنا إلى شيء ما. هذا ينطبق على أي عدد حقيقي سالب. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد سعة عدد حقيقي ﺃ، وهو عدد سالب، فيمكننا رسم القطعة المستقيمة بالطريقة نفسها واختيار الزاوية 𝜃 نفسها؛ ما يعني أننا أثبتنا نتيجة بالفعل. وهي أن سعة أي عدد حقيقي سالب تساوي 𝜋. ومن ثم، كان بإمكاننا استخدام هذه النتيجة للإجابة عن السؤال مباشرة. بذلك، نكون قد أوضحنا طريقتين مختلفتين لإيجاد سعة العدد المركب سالب ستة. وفي كلتا الطريقتين، أثبتنا أنها تساوي 𝜋.
