نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنستخدم صورة متجهي الوحدة الأساسيين 𝑖 و𝑗 للتعبير عن المتجهات، وسنجمع المتجهات ونطرحها بهذه الصورة، كما سنوجد مركبتي المتجه بمعلومية المقدار والاتجاه، وسنوجد كذلك المقدار والاتجاه بمعلومية مركبتي المتجه.
أولًا، نراجع سريعًا صورة متجهي الوحدة الأساسيين 𝑖 و𝑗 ومثالين سريعين حول كيفية استخدامهما. 𝑖 متجه وحدة طوله واحد في اتجاه المحور 𝑥 الموجب، ويمكننا كتابته بالصورة: مركبة 𝑥 تساوي واحدًا ومركبة 𝑦 تساوي صفرًا. أما 𝑗، فهو متجه وحدة في اتجاه المحور 𝑦 الموجب ويمكننا كتابته بالصورة: مركبة 𝑥 تساوي صفرًا ومركبة 𝑦 تساوي موجب واحد. فلنتابع إذن ونستخدمهما.
يمكنك ربط أي عدد من وحدات المتجهين 𝑖 و𝑗 معًا. إذن، ربطنا هنا ثلاث وحدات من المتجه 𝑖 ووحدتين من المتجه 𝑗، وهذا ينقلنا من النقطة 𝐴 إلى النقطة 𝐵، لنحصل على المتجه الناتج 𝐴𝐵. ولأننا ربطنا ثلاث وحدات من المتجه 𝑖 ووحدتين من المتجه 𝑗، فإن 𝐴𝐵 يساوي ثلاثة 𝑖 زائد اثنين 𝑗 فحسب، وهو ما يمكننا بالتأكيد كتابته أيضًا بهذه الصورة: ثلاثة، اثنان.
والآن، يمكننا كذلك جمع المتجهات وطرحها بالصورة 𝑖 و𝑗 من خلال التعامل مع مركبتي 𝑖 و𝑗 كل على حدة، ولنتناول مثالين على ذلك. المتجه 𝐴𝐵 يساوي ثلاثة 𝑖 متبوعًا بسالب أربعة 𝑗. ومن ثم، يمكننا كتابة ذلك بالصورة 𝐴𝐵 يساوي ثلاثة 𝑖 ناقص أربعة 𝑗. و𝐶𝐷 يساوي سالب خمسة 𝑖 متبوعًا بسالب خمسة 𝑗، ويمكننا كتابة ذلك بالصورة 𝐶𝐷 يساوي سالب خمسة 𝑖 ناقص خمسة 𝑗.
حسنًا! لنقل إننا نريد إيجاد ناتج 𝐴𝐵 زائد 𝐶𝐷. إذن، نكتب 𝐴𝐵 ثم نضيف 𝐶𝐷. أولًا، نكتب هذه المتجهات: ثلاثة 𝑖 ناقص أربعة 𝑗 زائد سالب خمسة 𝑖 ناقص خمسة 𝑗. نحدد بعد ذلك مركبتي 𝑖 ونرتبهما، ثم نحدد مركبتي 𝑗 على حدة ونحل ذلك. في البداية، بالنسبة إلى مركبتي 𝑖، لدينا ثلاثة 𝑖 ثم نضيف سالب خمسة 𝑖، وهذا يماثل طرح خمسة 𝑖. بالنسبة إلى مركبتي 𝑗، لدينا سالب أربعة 𝑗 ثم نضيف سالب خمسة 𝑗، وهذا يماثل طرح خمسة 𝑗. إذن نحصل على مركبتي 𝑖 هنا ومركبتي 𝑗 هنا. يمكننا ببساطة إيجاد قيمة هذه الحدود. ثلاثة 𝑖 ناقص خمسة 𝑖 يساوي سالب اثنين 𝑖، وسالب أربعة 𝑗 ناقص خمسة 𝑗 يساوي سالب تسعة 𝑗. إذن هذه هي الإجابة: 𝐴𝐵 زائد 𝐶𝐷 يساوي سالب اثنين 𝑖 ناقص تسعة 𝑗.
حسنًا، لنفكر الآن في 𝐴𝐵 ناقص 𝐶𝐷. مرة أخرى، نكتب المتجهات. لدينا ثلاثة 𝑖 ناقص أربعة 𝑗 ناقص سالب خمسة 𝑖 ناقص خمسة 𝑗. يمكننا الآن حل ذلك. نفكر في حدي 𝑖 أولًا. يجب أن نكون حذرين للغاية لأننا نطرح سالب خمسة 𝑖. إذن ثلاثة 𝑖 ناقص سالب خمسة 𝑖 يعني أننا نضيف خمسة 𝑖. نفكر الآن في حدي 𝑗، وهما سالب أربعة 𝑗 ناقص سالب خمسة 𝑗. من الواضح أن طرح سالب خمسة 𝑗 مرة أخرى يعني أننا نضيف خمسة 𝑗. إذن يمكننا الآن حل هذين الجزأين. ثلاثة 𝑖 زائد خمسة 𝑖 يساوي ثمانية 𝑖، وسالب أربعة 𝑗 زائد خمسة 𝑗 يساوي زائد واحد 𝑗، ومن ثم لسنا بحاجة إلى كتابة الواحد لأننا نكتب زائد 𝑗. إذن هذه هي الإجابة: 𝐴𝐵 ناقص 𝐶𝐷 يساوي ثمانية 𝑖 زائد 𝑗.
حسنًا! ننتقل الآن إلى جزء أكثر أهمية قليلًا. إذا كان لدينا متجه بصورة مقداره واتجاهه، فيمكننا تغييره إلى صورة 𝑖 و𝑗. لدينا المتجه 𝐴𝐵، الذي يساوي طوله أو مقداره 10 وحدات واتجاهه 120 درجة. يمكننا تعريف الاتجاه بأنه المسافة التي علينا التحرك بها في عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه المحور الموجب للمحاذاة مع المتجه. إذن فهذا هو الدوران هنا. تخيل أننا بدأنا بمتجه يشير إلى ذلك الاتجاه. ما المسافة التي يجب تدوير المتجه بها حول نقطة الأصل هذه لمحاذاته هنا؟ في هذه الحالة، تكون المسافة 120 درجة. ما نحاول إيجاده بعد ذلك هو مركبة 𝑖 هذه هنا. يتضح أنه للانتقال من 𝐴 إلى 𝐵، فإننا نتحرك يسارًا على هذا التمثيل البياني. إذن هذا الاتجاه هنا أو هذا السهم الأخضر هو مركبة 𝑖 في الاتجاه السالب. إذن سيكون العدد سالبًا. وعلينا إيجاد عرض ذلك. وسيكون الارتفاع هو مركبة 𝑗. وهذا ما نبحث عنه. ما يجب عليك ملاحظته هنا أنه لدينا مثلث قائم الزاوية، ووتر هذا المثلث يساوي 10 وارتفاعه هو مركبة 𝑗 للمتجه، والعرض هو مركبة 𝑖 للمتجه.
لنبدأ إذن ونوجد مركبة 𝑖. مركبة 𝑖، أي العرض، هي إسقاط الوتر على الضلع السفلي للمثلث. وطريقة إيجاد ذلك هي ضرب قيمة المقدار، وهي 10، في cos الزاوية، وهنا 𝜃 تساوي 120 درجة، و 120 درجة تعني أن cos120 درجة يعطينا عددًا سالبًا. يعني هذا تلقائيًّا أن اتجاه مركبة 𝑖 هو الاتجاه السالب. هذا يعطينا 10 في cos120 درجة وهو ما يساوي سالب نصف، وذلك يعطينا الحل سالب خمسة. إذن مركبة 𝑖 تساوي سالب خمسة، ما سيساوي سالب خمسة 𝑖.
مركبة 𝑗 هي إسقاط الوتر الذي طوله 10 على ارتفاع المثلث. إذن هذا يساوي المقدار البالغ 10 في sin 𝜃، أي sin120. وsin120 يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن مركبة 𝑗، أي ارتفاع المثلث، تساوي 10 في جذر ثلاثة على اثنين، ما يساوي خمسة جذر ثلاثة.
إذن عند تحويل تلك الصورة من المقدار والاتجاه، يكون مقدار 𝐴𝐵 هو 10 وحدات والاتجاه 120 درجة، وهذا يساوي سالب خمسة 𝑖 زائد خمسة جذر ثلاثة 𝑗. إذن استخدام هاتين الصيغتين، اللتين توجدان الجيب وجيب التمام على أساس الزاوية، يراعي إشارتي الموجب والسالب. الأمر بسيط، فقط عوض عن هذا في الصيغتين لتحصل على المركبات.
لننظر إلى الصورة العامة لذلك. إذا كان لدينا المتجه 𝑉 بالمقدار 𝑉، كما نرى هنا، والاتجاه 𝜃، في صورته 𝑖 و𝑗، يمكننا كتابة ما يلي: المتجه 𝑉 هو مقدار المتجه 𝑉 في cos 𝜃 𝑖 ثم مقدار المتجه 𝑉 في sin 𝜃 𝑗.
تصبح الأمور أكثر تعقيدًا نوعًا ما عند التعامل في الاتجاه الآخر. نفترض أن لدينا الصيغة 𝑖 و𝑗، ونريد تحويلها مرة أخرى إلى المقدار والاتجاه. فلنلق نظرة على مثال لذلك. لنقل إننا لدينا المتجه 𝑉 يساوي ثمانية 𝑖 ناقص ستة 𝑗، وهو غير مرسوم بدقة 100 بالمائة ولكن لدينا فكرة أساسية عامة عنه، وعلينا إيجاد مقدار المتجه 𝑉 واتجاهه. يمكننا الآن إيجاد مقدار المتجه 𝑉 بسهولة باستخدام نظرية فيثاغورس. ولكن لإيجاد قيمة الزاوية 𝜃، سأتوخى الحذر نوعًا ما لأن الحلول التي سنحصل عليها من الآلة الحاسبة مختلفة لحد ما.
إذن رحلتنا من بداية المتجه حتى نهايته هنا يمكن تلخيصها بالقول إننا حصلنا على موجب ثمانية في اتجاه 𝑥 وسالب ستة في اتجاه 𝑦. يكون هذا مثلثًا صغيرًا قائم الزاوية هنا، ونريد إيجاد مقدار 𝑉 وهو وتر هذا المثلث. باستخدام نظرية فيثاغورس، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين. وبالتالي، عندما نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فإننا نحصل على 𝑉، أو مقدار 𝑉، يساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد سالب ستة تربيع. هذا يساوي 64 زائد 36، ما يساوي 100، والجذر التربيعي للعدد 100 هو 10. إذن طول ذلك الخط يساوي 10.
ولإيجاد قياس الزاوية، سنستخدم الصيغة التالية: 𝜃 هي دالة الظل العكسية لمركبة 𝑗 على مركبة 𝑖، وهو ما يعطينا tan ناقص واحد ل ناقص ستة على ثمانية، وعند كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على سالب 36 فصلة عشرية تسعة درجة لأقرب منزلة عشرية. هذه ليست الإجابة التي نبحث عنها؛ لأنك إذا فكرت في ذلك، فستجد أن الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة والسالب في اتجاه عقارب الساعة. إذن ماذا يعطينا هذا، هل يعطينا هذه الزاوية هنا؟ هذه الزاوية تساوي 36 فصلة عشرية تسعة. وهي تكون بالسالب لأنها تتحرك في اتجاه عقارب الساعة، وهذا يعني فعليًّا أن الزاوية تساوي 36 فصلة عشرية تسعة. إذن ماذا يمكننا أن نفعل 360 36 فصلة عشرية تسعة، من 360، نحصل على الزاوية 𝜃، أي الجزء الأزرق الموجود حول النقطة الخارجية بالكامل. وعند إيجاد ذلك، نحصل على 360 ناقص 36 فصلة عشرية تسعة يساوي 323 فصلة عشرية واحد درجة لأقرب منزلة عشرية.
إذن، حصلنا على الحل النهائي، وهو أن المقدار يساوي 10 والاتجاه يساوي 323 فصلة عشرية واحد درجة لأقرب منزلة عشرية. وأعتقد أنه من المهم جدًا في هذه المسائل أن ترسم شكلًا صغيرًا أثناء الحل؛ لأنه من دون ذلك سيختلط عليك الأمر بشأن الزاوية التي تحصل عليها في النهاية. هل علينا جمعها مع شيء؟ هل علينا طرحها من شيء؟ ولكن إذا نظرت إلى ذلك التمثيل البياني، يتضح الحل الذي حصلنا عليه من tan(العملية الحسابية لدالة الظل العكسية)، وتمثيل ذلك في الشكل وما علينا فعله لإيجاد الحل الفعلي بدلالة الاتجاه في عكس عقارب الساعة. آمل أن يكون ذلك واضحًا تمامًا.
لنلخص ما قلناه مرة أخرى. بصفة عامة، إذا كان لدينا متجه 𝑉 بالصيغة 𝑎 𝑖 زائد 𝑏 𝑗، ونحاول إيجاد قيمة الزاوية، اتجاه 𝜃، ومقدار 𝑉 الواقع بين خطين، أي مقدار 𝑉، فهذه هي العملية التي نجريها. يستخدم مقدار 𝑉 نظرية فيثاغورس بالمركبتين 𝑖 و𝑗، ومن ثم نوجد الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع، أي الجذر التربيعي للكل. وهذا يعطينا قيمة المقدار. ولإيجاد الاتجاه، علينا فقط إيجاد دالة الظل العكسية لمركبة 𝑗 على مركبة 𝑖، ولكن تذكر أنه عليك مراجعة التمثيل البياني لمعرفة نوع الزاوية التي تعطيها لك الآلة الحاسبة. إنها في هذه الحالة تلك الزاوية، وهي تعطيك الإجابة الصحيحة ومن ثم فكل شيء سيكون بسيطًا للغاية. ولكن إذا كان لدينا متجه يتجه لأسفل وإلى اليمين، فسيعطيك هذه الزاوية هنا، إذن ستحتاج إلى إجراء هذا التعديل للتأكد من أنها زاوية موجبة ودورانها عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن، هذا كل ما يخص استخدام المتجهات بدلالة 𝑖 و𝑗 وفي صورة مركباتها.
