نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة الدالة ﺭﺱ تساوي اثنين ﺱ أس سالب اثنين باستخدام تعريف المشتقة.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺭﺱ، ومطلوب منا إيجاد مشتقتها باستخدام تعريف المشتقة. للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر أننا نقول: إن الدالة ﺭ قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر، إذا كانت النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺭ عند ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺭﺱ صفر على ﻫ؛ موجودة، وﺱ صفر يقع في مجال ﺭ. يمكننا التعويض عن ﺱ صفر بالمتغير ﺱ لإيجاد الدالة المعرفة بدلالة النهاية، وهو ما يعطينا مشتقة ﺭ. ويشار إلى مشتقة ﺭ بـ ﺭ شرطة ﺱ.
بتطبيق هذا التعريف على الدالة المعطاة ﺭﺱ، نجد أن ﺭ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لاثنين في ﺱ زائد ﻫ أس سالب اثنين ناقص اثنين ﺱ أس سالب اثنين الكل على ﻫ. إذا حاولنا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض، فسنجد أن كلًّا من البسط والمقام يعطينا صفرًا، ومن ثم نحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر. يعني هذا أن علينا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام طريقة مختلفة. يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بإعادة ترتيبها. سنبدأ بإخراج العامل ﻫ من المقام، لكن علينا أن ننتبه؛ لأنه لا بد من أن يظل داخل النهاية.
سنعيد كتابة كل حد في صورة كسر باستخدام قوانين الأسس. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لواحد على ﻫ في اثنين مقسومًا على ﺱ زائد ﻫ الكل تربيع ناقص اثنين على ﺱ تربيع. يمكننا الآن دمج الدالتين الكسريتين باستخدام الضرب التبادلي. ومن ثم، نحصل على المقدار الموضح. يمكننا الآن تجميع البسطين. لكننا نريد فك القوسين في بسط الحد الثاني أولًا. هذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱﻫ زائد اثنين ﻫ تربيع. وبتجميع هذه الحدود، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لواحد على ﻫ في اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱﻫ ناقص اثنين ﻫ تربيع على ﺱ تربيع في ﺱ زائد ﻫ تربيع.
يمكننا الآن التبسيط لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية. بداية، اثنان ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تربيع يساوي صفرًا. بعد ذلك، نلاحظ أن حدين في البسط يحتويان على العامل ﻫ. يمكننا حذف العامل ﻫ من كل من البسط والمقام داخل النهاية؛ لأننا لا نهتم بما يحدث عندما يساوي ﻫ صفرًا، ولكن عندما يقترب ﻫ من صفر فقط. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لسالب أربعة ﺱ ناقص اثنين ﻫ على ﺱ تربيع في ﺱ زائد ﻫ تربيع. وهذه الدالة هي دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. نريد التعويض بـ ﻫ يساوي صفرًا في الدالة لإيجاد قيمة هذه النهاية. هذا يعطينا سالب أربعة ﺱ ناقص اثنين في صفر الكل على ﺱ تربيع في ﺱ زائد صفر تربيع.
يمكننا تبسيط هذا المقدار بملاحظة أن اثنين في صفر يساوي صفرًا، وﺱ زائد صفر يساوي ﺱ فقط. إذن لدينا سالب أربعة ﺱ على ﺱ تربيع في ﺱ تربيع. في هذه المرحلة، نريد حذف العامل المشترك ﺱ من البسط والمقام. ويمكننا فعل ذلك، حيث إن ﺱ يساوي صفرًا لا يقع في مجال ﺭﺱ. إذن، نحن نعلم بالفعل أن ﺭ غير قابلة للاشتقاق عند قيمة ﺱ هذه؛ لأنها غير معرفة هنا. وبذلك نحصل على سالب أربعة على ﺱ تكعيب. يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة ﺭ شرطة ﺱ على الصورة ﺭﺱ نفسها.
ومن ثم، نكون قد أوجدنا أنه إذا كانت ﺭﺱ تساوي اثنين ﺱ أس سالب اثنين، فإن ﺭ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة في ﺱ أس سالب ثلاثة.
