تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لحل المسائل في ثلاثة أبعاد.

١٦:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لحل المسائل في ثلاثة أبعاد. لا بد أننا على دراية بالفعل بنظرية فيثاغورس في بعدين التي تصف العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية. لذا دعونا نبدأ بتلخيص هذه النظرية.

في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. لذا إذا كان لدينا هذا المثلث القائم الزاوية الموجود بالأسفل وسمينا الوتر ﺟ شرطة، وهو الضلع الأطول، وسمينا الضلعين القصيرين ﺃ شرطة وﺏ شرطة، فإنه وفقًا لنظرية فيثاغورس، يمكننا القول إن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع. وكما سنرى في هذا الفيديو يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين على أشكال ثلاثية الأبعاد.

يمكننا فعل ذلك بإيجاد شرائح أو مقاطع عرضية ثنائية الأبعاد للشكل الثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإيجاد طول أحد أقطار الأوجه. لكن علينا أن ننتبه عند فعل ذلك. على سبيل المثال إذا أردنا إيجاد طول قطر هذا الفضاء، فعلينا أولًا إيجاد طول قطر هذا الوجه لتطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين.

في هذا الفيديو سنرى كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين على أشكال مختلفة ثلاثية الأبعاد تشمل المخاريط والأهرامات. لكن دعونا نبدأ بمثال نطبق فيه نظرية فيثاغورس عند تناول مكعب.

إذا كان ﺃﺏﺟﺩﻫﻭﺯﺡ مكعبًا طول حرفه ستة جذر اثنين سنتيمتر، ﺱ منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فأوجد مساحة المستطيل ﺩﺱﺹﻫ.

علمنا أن هذا الشكل الثلاثي الأبعاد مكعب طول حرفه ستة جذر اثنين سنتيمتر. وهذا يعني أن كلًّا من الطول والعرض والارتفاع يساوي ستة جذر اثنين سنتيمتر. نلاحظ أن لدينا هذه القطعة المستقيمة الإضافية ﺱﺹ، حيث علمنا أن ﺱ هو منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. تمثل القطعة المستقيمة ﺱﺹ أحد أضلاع المستطيل ﺩﺱﺹﻫ، الذي علينا حساب مساحته.

يمكننا أن نتذكر أن مساحة المستطيل تساوي الطول مضروبًا في العرض. ومن ثم لإيجاد مساحة ﺩﺱﺹﻫ، يمكننا أن نحسب ﺩﺱ مضروبًا في ﺱﺹ. الآن من السهل نسبيًّا إيجاد طول ﺱﺹ. وذلك لأننا نعلم أن ارتفاع المكعب يساوي ستة جذر اثنين سنتيمتر، ومن ثم فإن طول ﺱﺹ يساوي أيضًا ستة جذر اثنين سنتيمتر. أما طول ﺩﺱ، فسيتطلب بعض العمليات الحسابية.

لنتناول رسمًا ثنائي الأبعاد لقاعدة المكعب التي تشكل مربعًا. يمكننا أيضًا إضافة القطعة المستقيمة ﺱﺩ إلى الرسم. إذا كان ﺱ هو منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فإن طول القطعة المستقيمة ﺃﺱ يساوي نصف ستة جذر اثنين سنتيمتر، وهو ما يساوي ثلاثة جذر اثنين سنتيمتر. يمكننا الآن استخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية ﺩﺃﺱ لإيجاد طول القطعة المستقيمة ﺩﺱ.

تذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في كل مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. بتطبيق هذه النظرية على المثلث ﺩﺃﺱ، نلاحظ أن ﺩﺱ هو الوتر. إذن نحصل على ﺃﺱ تربيع زائد ﺃﺩ تربيع يساوي ﺩﺱ تربيع. بالتعويض بقيم الأطوال نحصل على ثلاثة جذر اثنين تربيع زائد ستة جذر اثنين تربيع يساوي ﺩﺱ تربيع. وبتبسيط هذا نحصل على ٩٠ يساوي ﺩﺱ تربيع. يمكننا بعد ذلك إيجاد طول ﺩﺱ بإيجاد الجذر التربيعي لكلا الطرفين. بما أنه يمكن كتابة جذر ٩٠ على صورة جذر تسعة في جذر ١٠، إذن نجد أن ﺩﺱ يساوي ثلاثة جذر ١٠ سنتيمتر.

لدينا الآن المعلومات الكافية للعودة إلى حساب المساحة. مساحة ﺩﺱﺹﻫ، التي تساوي ﺩﺱ مضروبًا في ﺱﺹ، تساوي ثلاثة جذر ١٠ مضروبًا في ستة جذر اثنين. وهذا يساوي ١٨ جذر ٢٠. يمكننا تبسيط ذلك أكثر من خلال اعتبار أن جذر ٢٠ يساوي جذر أربعة في خمسة. إذن مساحة ﺩﺱﺹﻫ تساوي ٣٦ جذر خمسة. وبما أن هذه مساحة، فستكون الوحدة المستخدمة وحدة مربعة. إذن يمكننا أن نقول إن الإجابة هي أن مساحة المستطيل ﺩﺱﺹﻫ تساوي ٣٦ جذر خمسة سنتيمتر مربع.

في المثال الآتي سنرى كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس عند تناول هرم. لكن أولًا: دعونا نلخص بعض المصطلحات الرئيسية التي نستخدمها عند وصف الأطوال في الهرم.

قمة الهرم تسمى رأس الهرم. الارتفاع العمودي للهرم هو المسافة العمودية بين رأس الهرم وقاعدته، ويكون عموديًّا على أي خط مستقيم يقطعه في قاعدة الهرم. بعد ذلك الارتفاع الجانبي للهرم هو المسافة العمودية من أحد أضلاع قاعدة الهرم إلى رأسه. وأخيرًا: يمثل الحرف الجانبي طول أحد أضلاع المثلثات التي تكون أوجه الهرم. علينا أن ننتبه إلى عدم الخلط بين طول الارتفاع الجانبي وطول الحرف الجانبي.

في المثال الآتي سنرى كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد ارتفاع هرم.

ﺃﺏﺟ هرم منتظم تمثل قاعدته ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٣٢ سنتيمترًا. إذا كان طول الحرف الجانبي للهرم ٨٨ سنتيمترًا، فأوجد ارتفاعه لأقرب جزء من مائة.

لنبدأ حل هذه المسألة برسم الهرم. المعلومات المهمة التي يجب توضيحها على الرسم هي أن ﻡ هو رأس الهرم. وقاعدته هي ﺃﺏﺟ. ونعلم أنها عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع. ولأنه مثلث متساوي الأضلاع، نعلم أن جميع أطوال أضلاع المثلث الذي يمثل القاعدة ستساوي ٣٢ سنتيمترًا. ونظرًا لأن هذا الهرم منتظم، فإن جميع أطوال الحروف الجانبية ستساوي ٨٨ سنتيمترًا.

علينا حساب ارتفاع الهرم، وهو المسافة الرأسية من الرأس ﻡ إلى مركز قاعدة الهرم الذي يمكننا أن نسميه ﺱ. يمكننا توصيل نقطة المركز هذه بأحد رءوس المثلث الذي يمثل القاعدة. لاحظ أنه نظرًا لأن لدينا مثلثًا قائم الزاوية وهو المثلث ﻡﺃﺱ، يمكننا حساب الارتفاع ﻡﺱ إذا عرفنا طول هذه القطعة المستقيمة ﺃﺱ. لذا دعونا نتناول رسمًا ثنائي الأبعاد للمثلث ﺃﺏﺟ الذي يمثل قاعدة الهرم ونرى كيف يمكننا حساب طول ﺃﺱ.

تمثل النقطة ﺱ مركز المثلث، وهي النقطة التي تتقاطع عندها متوسطات المثلث الثلاثة. ثمة خاصيتان مهمتان سنحتاج إليهما لحل هذه المسألة. الخاصية الأولى هي أنه في المثلث المتساوي الأضلاع، تكون جميع المتوسطات الثلاثة متساوية في الطول. والخاصية الثانية هي أن مركز المثلث يقسم كل متوسط بنسبة اثنين إلى واحد من الرأس. بناء على هاتين الخاصيتين، يمكننا القول إن ﺃﺱ يساوي ﺏﺱ يساوي ﺟﺱ. وإذا سمينا منتصف ﺏﺟ بالحرف ﺹ، فإنه استنادًا إلى الخاصية الثانية يمكننا القول إن ﺃﺱ يساوي ثلثي ﺃﺹ.

يمكننا الآن إلقاء نظرة فاحصة على المثلث ﺃﺏﺹ. سيكون لهذا المثلث في الواقع زاوية قائمة عند ﺹ؛ لأن المتوسط ﺃﺹ يقسم المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ إلى مثلثين قائمين متطابقين. طول ﺏﺹ يساوي نصف طول ﺏﺟ، إذن ﺏﺹ يساوي ١٦ سنتيمترًا. بما أننا نعلم طولي ضلعين في هذا المثلث القائم الزاوية، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ﺃﺹ. بما أن ﺃﺏ هو الوتر، فسنجد أن ﺃﺹ تربيع زائد ﺏﺹ تربيع يساوي ﺃﺏ تربيع.

بالتعويض بطول ﺏﺹ، الذي يساوي ١٦ سنتيمترًا، وﺃﺏ، الذي يساوي ٣٢ سنتيمترًا، نحصل على ﺃﺹ تربيع زائد ١٦ تربيع يساوي ٣٢ تربيع. وبإعادة الترتيب والتبسيط نجد أن ﺃﺹ تربيع يساوي ٧٦٨. ولإيجاد قيمة ﺃﺹ، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، فنحصل على ١٦ جذر ثلاثة سنتيمتر. ومن ثم نكون توصلنا إلى أن طول المتوسط ﺃﺹ بأكمله يساوي ١٦ جذر ثلاثة سنتيمتر. لكن بالطبع ما يهمنا حقًّا طول القطعة المستقيمة ﺃﺱ.

تذكر أننا لاحظنا بالفعل أن ﺃﺱ يساوي ثلثي ﺃﺹ. إذن ﺃﺱ يساوي ثلثين مضروبًا في ١٦ جذر ثلاثة. وهو ما يساوي ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة سنتيمتر. لكن الآن عندما نعود إلى الهرم، يمكننا أن نلاحظ أن لدينا طولي ضلعين في المثلث ﻡﺃﺱ، ويمكننا إيجاد طول الضلع الثالث ﻡﺱ باستخدام نظرية فيثاغورس.

يمكننا أن نكتب أن ﺃﺱ تربيع زائد ﻡﺱ تربيع يساوي ﺃﻡ تربيع. بالتعويض بقيم الأطوال، نحصل على ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة تربيع زائد ﻡﺱ تربيع يساوي ٨٨ تربيع. بإعادة الترتيب واستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد أن ﻡﺱ تربيع يساوي ٢٢٢٠٨ على ثلاثة. ويمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﻡﺱ بإيجاد الجذر التربيعي. وبما أننا نحتاج إلى أن تكون الإجابة لأقرب جزء من مائة، يمكننا تحويل هذه القيمة إلى عدد عشري. ونظرًا لأن ﻡﺱ يمثل ارتفاع الهرم، فإن الإجابة هي أن ارتفاع الهرم لأقرب جزء من مائة يساوي ٨٦٫٠٤ سنتيمترًا.

في المثال الآتي سنرى كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس عند تناول مخروط.

مخروط دائري قائم، ارتفاعه ٩٠ سنتيمترًا، وطول راسمه ١٠٦ سنتيمترات. أوجد كلًّا من محيط ومساحة قاعدته بدلالة π.

يمكننا البدء برسم هذا المخروط الدائري الذي يبلغ ارتفاعه ٩٠ سنتيمترًا ويبلغ طول راسمه ١٠٦ سنتيمترات. نظرًا لأن هذا مخروط قائم، فإن الارتفاع هو المسافة العمودية من رأس المخروط إلى مركز قاعدته. راسم المخروط هو المسافة من أي نقطة على محيط الدائرة التي تمثل القاعدة إلى الرأس على طول سطح المخروط.

لاحظ أنه إذا رسمنا نصف قطر الدائرة عند مركز هذا المخروط، يكون نصف القطر والارتفاع العمودي وراسم المخروط مثلثًا قائم الزاوية. ونظرًا لأننا نريد إيجاد محيط هذه القاعدة الدائرية ومساحتها، فإن معرفة نصف القطر أمر مهم للغاية. محيط الدائرة يساوي اثنين في π في نصف القطر، ومساحة الدائرة تساوي نقπ تربيع.

تذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. بالنظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية الثنائي الأبعاد المتكون في المخروط، يمكننا القول إن نق تربيع زائد ٩٠ تربيع يساوي ١٠٦ تربيع، حيث يمثل نق نصف قطر الدائرة. بإعادة الترتيب والحل، وإيجاد الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن نق يساوي ٥٦ سنتيمترًا. نصف قطر الدائرة التي تمثل قاعدة هذا المخروط يساوي ٥٦ سنتيمترًا.

يمكننا إذن إيجاد أن المحيط يساوي اثنين في π في ٥٦، وهو ما يساوي ١١٢π سنتيمترًا. ومن ثم فإن المساحة، التي تساوي π في نصف القطر تربيع، تساوي π في ٥٦ تربيع. ويبسط هذا إلى ٣١٣٦π. تذكر أنه لأن هذه مساحة، فسيكون لدينا وحدة السنتيمتر المربع. يمكننا إذن تقديم الإجابتين، وهما أن محيط قاعدة هذا المخروط، التي تمثل دائرة، يساوي ١١٢π سنتيمترًا ومساحتها تساوي ٣١٣٦π سنتيمترًا مربعًا.

سنرى الآن كيف يمكن تمديد نظرية فيثاغورس في بعدين لتشمل ثلاثة أبعاد.

لنفترض أن لدينا متوازي المستطيلات هذا ﺃﺏﺟﺩﻫﻭﺯﺡ ونريد إيجاد طول القطر ﺩ شرطة، وهو القطعة المستقيمة ﺃﺯ. إذا كانت أبعاد متوازي المستطيلات هي ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، فإنه لإيجاد الطول ﺩ شرطة، علينا أولًا إيجاد الطول ﻫ شرطة، الذي تمثله القطعة المستقيمة ﺃﻭ. بتكوين مثلث قائم الزاوية وتطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين، نعلم أن ﻫ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع. وبالنظر إلى المثلث القائم الزاوية ﺃﻭﺯ، يمكننا القول إن ﺩ شرطة تربيع يساوي ﻫ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع.

لكن بما أننا نعلم أن ﻫ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع، يمكننا إذن دمج هاتين المعادلتين. ومن ثم نجد أن ﺩ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع. وبذلك نكون قد أثبتنا امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. ينص امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد على أنه في متوازي المستطيلات الذي أطوال أضلاعه ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة وقطره الداخلي ﺩ شرطة، يكون ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع يساوي ﺩ شرطة تربيع.

لقد رأينا الآن كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين على مجموعة من الأشكال الثلاثية الأبعاد وكذلك امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية.

لقد رأينا أنه يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس في بعدين على المثلثات القائمة الزاوية الموجودة في أوجه أي جسم ثلاثي الأبعاد، أو على شرائح ثنائية الأبعاد منه. في المخروط يكون نصف قطر القاعدة نق، والارتفاع الرأسي ﻉ، وراسم المخروط ﻝ مثلثًا قائم الزاوية. لذا بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن نق تربيع زائد ﻉ تربيع يساوي ﻝ تربيع. وأخيرًا رأينا امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد، الذي ينص على أنه في متوازي المستطيلات الذي أطوال أضلاعه ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة وطول قطره ﺩ شرطة، يكون ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع يساوي ﺩ شرطة تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.