فيديو السؤال: قابلية الدالة للاشتقاق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. أوجد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين لـ ﺩﻫ مقسومًا على ﻫ. أوجد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار لـ ﺩﻫ مقسومًا على ﻫ. ماذا يمكنك أن تستنتج عن مشتقة الدالة ﺩﺱ عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا؟

لدينا في السؤال الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. وأول ما يطلبه السؤال منا هو إيجاد قيمة هذه النهاية. وهي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين لـ ﺩﻫ مقسومًا على ﻫ. نحن نعلم بالطبع أن ﺩﻫ يساوي القيمة المطلقة لـ ﻫ. وبما أننا نوجد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليمين، فإن قيم ﻫ ستكون أكبر من صفر بالتأكيد. وإذا كانت قيم ﻫ أكبر من صفر، فإن هذا يعني أن قيم ﻫ موجبة. وهو ما يعني بدوره أن القيمة المطلقة لـ ﻫ تساوي ﻫ. إذن، هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين لـ ﻫ مقسومًا على ﻫ.

بعد ذلك، نحذف العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام. وسيعطينا هذا دالة جديدة تساوي ﻫ مقسومًا على ﻫ في كل موضع إلا عند ﻫ يساوي صفرًا. وهذا يعني أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين ستكون نفسها النهاية من جهة اليمين. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين للثابت واحد، ونحن نعلم أن هذه النهاية تساوي واحدًا. بذلك نكون قد أوجدنا قيمة النهاية الأولى؛ إنها تساوي واحدًا.

يمكننا إجراء خطوات مشابهة لإيجاد قيمة النهاية الثانية، وهي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار لـ ﺩﻫ مقسومًا على ﻫ. مرة أخرى، ﺩﻫ يساوي القيمة المطلقة لـ ﻫ. وبما أننا نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار، فإن قيم ﻫ ستكون أقل من صفر بالتأكيد. وبما أن قيم ﻫ أقل من صفر هذه المرة، فإن قيم ﻫ ستكون سالبة. وهذا يوضح لنا أن القيمة المطلقة لـ ﻫ تساوي سالب ﻫ. ومن ثم، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار لسالب ﻫ مقسومًا على ﻫ.

مرة أخرى، نحذف العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار لسالب واحد، وسالب واحد هذا ثابت. إذن، قيمة هذه النهاية هي سالب واحد. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة النهاية الثانية، إنها تساوي سالب واحد.

الجزء الأخير من هذا السؤال يطلب منا أن نستنتج شيئًا ما عن مشتقة الدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا. دعونا نبدأ إجابة ذلك باسترجاع تعريف مشتقة الدالة عند نقطة. لعلنا نتذكر أن مشتقة دالة ما ﺭﺱ عند النقطة ﺱ صفر تعرف بأنها النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لقيمة ﺭ عند ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص قيمة ﺭ عند ﺱ صفر مقسومًا على ﻫ، إذا كانت هذه النهاية موجودة.

نحن نريد إيجاد مشتقة الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا. إذن، سنجعل ﺭﺱ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، وﺱ صفر يساوي صفرًا. بالتعويض بذلك في تعريف المشتقة، نحصل على مشتقة القيمة المطلقة لـ ﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا. وهي تعرف بأنها النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للقيمة المطلقة لصفر زائد ﻫ ناقص القيمة المطلقة لصفر مقسومًا على ﻫ، إذا كانت هذه النهاية موجودة. يمكننا تبسيط هذه النهاية. أولًا، صفر زائد ﻫ يساوي ﻫ. لدينا بعد ذلك القيمة المطلقة لصفر، والتي تساوي صفرًا.

إذن، مشتقة القيمة المطلقة لـ ﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للقيمة المطلقة لـ ﻫ مقسومًا على ﻫ إذا كانت هذه النهاية موجودة. لكن، تذكر ما وجدناه في أول جزأين من هذا السؤال. ففي الجزء الأول، وجدنا أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين للقيمة المطلقة لـ ﻫ مقسومًا على ﻫ تساوي واحدًا. بينما في الجزء الثاني، وجدنا أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار للقيمة المطلقة لـ ﻫ مقسومًا على ﻫ تساوي سالب واحد. ما يعني أن النهايتين اليسرى واليمنى غير متساويتين. وهذا يعني أن هذه النهاية غير موجودة.

إذا كانت هذه النهاية غير موجودة، فإن هذا يعني أن مشتقة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا غير موجودة أيضًا. ومن ثم، بالنسبة إلى الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، نستنتج أن مشتقة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا غير موجودة؛ لأن النهايتين من جهة اليسار ومن جهة اليمين لمشتقتها عند هذه النقطة غير متساويتين.