تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الهندسة الكروية

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو تعريف الهندسة الكروية، والفرق بين خواص الهندسة الإقليدية والهندسة الكروية.

٠٧:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الهندسة الكروية. وإيه الفرق بينها وبين الهندسة الإقليدية.

في الهندسة الكروية اللي هي بندرس فيها السطح الثنائي البُعد للكرة. في الهندسة الإقليدية اللي هي الهندسة العادية اللي إحنا بنستخدمها. بيبقى المستوى هو سطح مستوي، عبارة عن نقط تمتد إلى ما لا نهاية. لكن في الهندسة الكروية اللي هي بنسميها الهندسة على سطح كرة، بيبقى المستوى عبارة عن كرة.

هنقارن ما بين الخط في المستوى في الهندسة الإقليدية، والخط في المستوى في الهندسة الكروية، بالشكل ده.

زي ما إحنا شايفين. المستوى في الهندسة الكروية هيبقى عبارة عن كرة هنسميها ك. لكن المستوى في الهندسة الإقليدية هيبقى عندنا مستوى بالشكل ده، اللي هو سطح مستوي هنسميه س. الخط في الهندسة الكروية بيبقى عبارة عن الدايرة العظمى اللي هي ل. والنقطة الـ أ هي النقطة العادية اللي هي نقطة أ. في الهندسة الإقليدية الخط بيبقى المستقيم اللي قدامنا ده ل. والنقطة اللي هي النقطة أ. الدايرة العظمى دي بتمُرّ بأقطاب الكرة. والمستوى بتاعها ده بيمُرّ بمركز الكرة دي اللي هي الدايرة العظمى.

نقلب الصفحة وناخد مثال في الهندسة الكروية.

المثال بيقول: اوجد خطين يمران بالنقطة ج.

النقطة ج اللي هي دي، عايزين نشوف خطين بيمُرّوا بها. عندنا هنا لو أخدنا الـ د للـ أ ده خط. الخط التاني الـ و للـ ب. يبقى الخط الأولاني هيبقى د أ، وهنعمله بالشكل ده. والخط التاني هيبقى و ب، وهنعمله بالشكل ده. يبقى دول الخطين اللي بيمُرّوا بالـ ج.

تاني جزئية بيقول لنا اوجد قطعة خطية تحتوي على الـ أ. عايزين قطعة خطية بتحتوي على الـ أ. ممكن نقولها اللي هي ج هـ. يبقى ج هـ. يبقى هي القطعة الخطية دي اللي بتحتوي على الـ أ.

عايز مثلث. المثلث هيبقى تلات نقط. هنشوف فين المثلث اللي عندنا. عندنا مثلث اللي هو ده، ده شكل مثلث على السطح الكروي عبارة عن ج أ ب. ج أ ب. وهنرمز له برمز المثلث العادي.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان.

في المثال بيقول: في الشكل المرسوم حدِّد ما إذا كان ل يمثّل خط في الهندسة الكروية أم لا، علمًا بأنه لا يمر بأقطاب الكرة.

طبعًا الـ ل مش خط؛ لأنه لا يمثّل دايرة عظمى؛ لأنه ما بيمرش بأقطاب الكرة. يبقى الإجابة بتاعتنا هتبقى ل لا يمثّل خط في الهندسة الكروية؛ لأنه لا يمثّل دائرة عظمى تمُرُّ بمركز الكرة.

يبقى كده عرفنا إمتى بيكون الخط بنقول عليه خط في الهندسة الكروية. وإيه المثلث شكله بيبقى عامل إزّاي في الهندسة الكروية. إمتى النقطة بنعرف نعرّفها إذا كانت على الخط بيبقى شكلها عامل إزّاي.

دلوقتي هنتكلّم على مقارنة ما بين الهندسة الإقليدية والهندسة الكروية. نقلب الصفحة ونتكلم عنها.

بعض الافتراضات والخصائص الموجودة في الهندسة الإقليدية بتكون صحيحة في الهندسة الكروية. والبعض بيبقى غير صحيح. وفيه البعض كمان بيبقى صحيح لكن بشروط.

نشوف أمثلة على الكلام ده. المثال بيقول: حدّد ما إذا كانت هذه الافتراضات أو الخصائص المستخدمة في الهندسة الإقليدية لها جملة مناظرة في الهندسة الكروية. ولو كانت كذلك اكتب الجملة المناظرة. ولو لم تكن اذكر السبب.

أول جملة عندنا بيقول لنا الخط الواصل بين نقطتين خط وحيد.

يعني في الهندسة الإقليدية أي نقطتين لو رسمنا ما بينهم خط هيبقى خط وحيد. طيب هل الكلام ده سليم في الهندسة الكروية ولّا لأ. ولو كان سليم هنكتب الجملة المناظرة له في الهندسة الكروية. ولو ما كانش هنقول السبب.

في الكرة اللي قدامنا دي، لو عملنا نقطتين. مثلًا نقطة هنا ونقطة في القُطر اللي تحت. كام خط واصل ما بينهم؟ هنلاقي عدد لا نهائي؛ لأن الخط بيبقى الخط اللي هو فيه الدايرة العظمى. فهنلاقي الخط الدايرة العظمى دي، والدايرة العظمى دي، والدواير العظمى هتبقى كتيرة، يبقى عدد لا نهائي من الخطوط. لكن لو أخدنا نقطتين مش أقطاب. يعني مثلًا خدنا نقطة هنا ونقطة هنا. الخط اللي ما بينهم ده هيبقى خط وحيد.

يبقى معنى كده إن الجملة اللي في الهندسة الإقليدية جزء منها سليم بس هو بشرط. يعني هناخد الجزء اللي هو البعض صحيح بشروط. لو كانوا أقطاب يبقى عدد لا نهائي. لكن لو ما كانوش أقطاب هيبقى خط وحيد. يبقى هنكتب: «لو كانت النقطتين أقطاب إذن عدد لا نهائي من الخطوط. لو لم تكن أقطاب يبقى خط وحيد، اللي هو دايرة عظمى وحيدة».

نشوف الجزئية التاني من السؤال. بيقول لنا يوجد خط واحد فقط يمر بنقطة يوازي أي خط.

يعني في الهندسة الإقليدية عندنا لو فيه خط هو مديهولنا كده، ونقطة براه. هيترسم خط واحد بس هيوازي الخط الأصلي ده. هل نفس الكلام ده موجود في الهندسة الكروية. هنشوف.

في الكرة اللي قدامنا دي عندنا النقطة أ والخط ل. فيه خط وحيد بس يوازي؟ طبعًا الألف على دايرة عظمى اللي هي دي، هتتقاطع مع الـ ل. يبقى كده ما فيش توازي. طيب لو رسمنا خط تاني من الـ أ، برضو هيتقاطع مع الـ ل. يبقى ما فيش خطوط هتترسم من الـ أ توازي الـ ل. يبقى «لا يوجد دائرة عظمى تُوازي الخط تمر بنقطة معطاة».

نقلب الصفحة وهنفرّق ما بين الاتنين.

يبقى الخطوط والدوائر العظمى لا تتوازى في الهندسة الكروية. يعني فيه حاجة في الهندسة الإقليدية ما بتتحققش في الهندسة الكروية. علشان كده بنقول إن الهندسة الكروية تبقى تبع الهندسة غير الإقليدية. لو شرط واحد على الأقل بيسقط في الهندسة، يبقى معناها بتطلع برّه الهندسة الإقليدية، وبنعتبرها هندسة غير إقليدية.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إيه هي الهندسة الكروية. الفرق ما بين الخط في الهندسة الإقليدية والهندسة الكروية. النقط. التوازي. إمتى بنقول إن ده خط وده مش خط. وإيه الهندسة الغير إقليدية.