فيديو السؤال: حل المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمن قوانين اللوغاريتمات والمعادلات التربيعية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل للوغاريتم سالب اثنين ﺱ زائد ٤٨ للأساس ستة يساوي اثنين في لوغاريتم ﺱ للأساس ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

لنكتب هذه المعادلة مرة أخرى. الطرف الأيمن من المعادلة هو لوغاريتم أحد المقادير الجبرية للأساس ستة. والطرف الأيسر نفس الشيء تقريبًا، لكنه يتضمن أيضًا عاملًا جبريًا يلزم التعامل معه وهو العدد اثنان. ولحسن الحظ، لدينا قانون من قوانين اللوغاريتمات يسمح لنا بكتابة الطرف الأيسر من المعادلة على صورة لوغاريتم عدد ما للأساس ستة. وهكذا يكون لدينا ﻥ في لوغاريتم ﺃ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ أس ﻥ للأساس ﺏ.

ويمكنك تخيل ثابت الضرب ﻥ هذا وهو يتحرك ليصبح أسًا لـ ﺃ. وعليه، ففي الطرف الأيسر من المعادلة، سيدخل ثابت الضرب اثنان الذي هو خارج اللوغاريتم إلى داخل اللوغاريتم في صورة أس لـ ﺱ. في حين سيبقى الطرف الأيمن من المعادلة كما هو. إذن أصبح لدينا الآن في كلا طرفي المعادلة لوغاريتم مقدار جبري للأساس ستة. لذا ينبغي أن يكون ما بداخل هذين اللوغاريتمين في كلا الطرفين من المعادلة متساويًا. أي إن سالب اثنين في ﺱ زائد ٤٨ يجب أن يساوي ﺱ تربيع.

بعبارة أخرى، ستة مرفوعة للطرف الأيمن يجب أن تساوي ستة مرفوعة للطرف الأيسر. وفي كلتا الحالتين، سنحصل على هذه المعادلة التربيعية وآمل أن نعرف كيفية حلها. بطرح سالب اثنين ﺱ زائد ٤٨ من كلا الطرفين، نحصل على صفر يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٤٨. يمكننا تبديل الطرفين لكي تبدو الأمور مطابقة للمعتاد؛ وبذلك يكون الصفر في الطرف الأيسر من المعادلة. ويمكننا تحليل المقدار إلى عوامل لنحصل على ﺱ زائد ثمانية في ﺱ ناقص ستة يساوي صفر. إذن ستكون حلول هذه المعادلة التربيعية هي ﺱ يساوي سالب ثمانية وﺱ يساوي ستة.

لكن، بما أننا نتعامل مع معادلة لوغاريتمية، فعلينا أن ننتبه إلى أن حلي المعادلة في شكلها النهائي كلاهما حلان كذلك للمعادلة الأصلية التي تتضمن اللوغاريتمات. لا بد أن يكون الأس في الدالة اللوغاريتمية أكبر من صفر. إذن ينبغي لكل من سالب اثنين ﺱ زائد ٤٨ وﺱ أن يكونا موجبين لكي تكون المعادلة الأصلية منطقية.

لنبدأ أولًا بالتحقق من الحل ﺱ يساوي سالب ثمانية. عند التعويض عن قيمة ﺱ في المعادلة الأصلية بسالب ثمانية، نحصل على لوغاريتم سالب اثنين في سالب ثمانية زائد ٤٨ للأساس ستة يساوي اثنين في لوغاريتم سالب ثمانية للأساس ستة. وبتبسيط هذا المقدار نجد أن لوغاريتم ٦٤ للأساس ستة يساوي اثنين في لوغاريتم سالب ثمانية للأساس ستة.

بالطبع سالب ثمانية أقل من الصفر، وليس من المعقول القول بوجود لوغاريتم ذي قيمة سالبة. ولوغاريتم سالب ثمانية للأساس ستة سيكون العدد الذي يرفع العدد ستة إلى قيمته كأس للحصول على سالب ثمانية. ومن الواضح أنه لا وجود لمثل هذا العدد. ومن ثم فإن سالب ثمانية ليس حلًا للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية المطلوب حلها، على الرغم من كونه أحد حلول المعادلة التربيعية التي حصلنا عليها.

على الجانب الآخر، بعد التعويض عن قيمة ﺱ بستة في المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ثم تبسيط الناتج، نحصل على لوغاريتم ٣٦ للأساس ستة يساوي اثنين في لوغاريتم ستة للأساس ستة. وبما أن ٣٦ وستة كليهما أكبر من الصفر، يكون طرفا المعادلة كلاهما محددًا وذا معنى.

وإذا فكرت في الأمر بنفسك أو استخدمت الآلة الحاسبة، فستجد أن المعادلة صحيحة بالفعل. حيث إن لوغاريتم ٣٦ للأساس ستة يساوي بالفعل اثنين في لوغاريتم ستة للأساس ستة؛ فكلاهما يساوي اثنين. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي ستة هو أحد حلول المعادلة اللوغاريتمية. بل هو الحل الوحيد في واقع الأمر. إذن فمجموعة الحل لهذه المعادلة، وهو ما طلب منا إيجاده في الأساس، هي فقط المجموعة التي تتضمن العدد ستة.