فيديو السؤال: إيجاد جميع المجاهيل في مثلث قائم الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بمعلومية الشكل الآتي، أوجد قياس الزاويتين ﺃﺟﺏ، ‏ﺏﺃﺟ وطول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

سنبدأ حل هذا السؤال بحساب قياس الزاوية ﺃﺟﺏ باستخدام معرفتنا بالنسب المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية. نحن نعلم أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إحدى طرق تذكر هذه النسب الثلاث المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية.

دعونا الآن نعرف كيف يمكننا استخدام هذه النسب لحل الجزء الأول من السؤال. الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، يسمى الوتر. والضلع الذي يقابل الزاوية التي نريد إيجاد قياسها هو الضلع المقابل. وأخيرًا الضلع الذي يجاور كلًّا من الزاوية التي نريد إيجاد قياسها والزاوية القائمة يسمى الضلع المجاور. في هذا السؤال لدينا قيمتا طولي الضلع المقابل والضلع المجاور. لذا سنستخدم نسبة الظل. بالتعويض بالقيمتين لدينا، نحصل على ظا 𝜃 يساوي ثمانية أتساع.

بحساب الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، نحصل على 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لـ ثمانية أتساع. وبالتأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، يمكننا إدخال ذلك لنحصل على 𝜃 تساوي ٤١٫٦٣٣٥ وهكذا مع توالي الأرقام. عند التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٤١٫٦٣ درجة. يمكننا استخدام نسبة الظل مرة أخرى لحساب قياس الزاوية ﺏﺃﺟ، المسماة 𝛼 في الشكل. لكن هذه المرة تم تبديل موضع كل من الضلع المقابل والضلع المجاور. ‏ظا 𝛼 يساوي تسعة على ثمانية. بحساب الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، نجد أن قياس 𝛼 يساوي ٤٨٫٣٦٦٤ وهكذا مع توالي الأرقام. إذن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٤٨٫٣٧ درجة.

توجد طريقة بديلة للحل هنا، وهي معرفة أن قياس 𝛼 يساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃؛ لأن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. يعني هذا أنه كان بإمكاننا أيضًا حساب قياس الزاوية ﺏﺃﺟ بطرح ٤١٫٦٣ من ٩٠.

يطلب منا الجزء الأخير من هذا السؤال حساب طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. وهي تمثل وتر المثلث. يمكننا حساب ذلك باستخدام النسب المثلثية مرة أخرى. يمكننا بدلًا من ذلك استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ﻉ تربيع، حيث ﻉ طول وتر المثلث، وﺱ وﺹ طولا الضلعين الآخرين.

في هذا السؤال، لدينا ﺃﺏ تربيع زائد ﺏﺟ تربيع يساوي ﺃﺟ تربيع. الطرف الأيمن يساوي ثمانية تربيع زائد تسعة تربيع، وهو ما يساوي ١٤٥. يمكننا بعد ذلك حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، حيث ﺃﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤٥. وبما أن الإجابة يجب أن تكون قيمة موجبة، فإن ﺃﺟ يساوي ١٢٫٠٤١٥ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن هذا يساوي ١٢٫٠٤ وحدة طول. وعليه، الإجابات الثلاث لهذا السؤال هي ٤١٫٦٣ درجة، و٤٨٫٣٧ درجة، و ١٢٫٠٤.