فيديو الدرس: مثلث القوى الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة باتزان جسيم تحت تأثير ثلاث قوى متلاقية في نقطة باستخدام محصلة القوى أو طريقة مثلث القوى.

لعلنا نتذكر أنه عندما تؤثر قوتان أو أكثر على جسم جاسئ، ولا يتحرك الجسم بعجلة في أي اتجاه، تكون القوى في حالة اتزان. هذا لا يعني بالضرورة أن الجسم في حالة سكون. قد يتحرك الجسم أيضًا بسرعة ثابتة.

لنأخذ، على سبيل المثال، قوتين لهما المقدار نفسه تؤثران على جسم في اتجاهين متضادين ولكن على طول خط العمل نفسه. هاتان القوتان في حالة اتزان، وسيظل الجسم في حالة سكون أو سيستمر في الحركة بسرعة ثابتة. لنفترض أن لدينا زوجًا مختلفًا من القوى يؤثر على جسم جاسئ. لكي يكون هذا الجسم في حالة اتزان، يجب أن تؤثر قوة ثالثة على الجسم أيضًا، وهي مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه لمحصلة هاتين القوتين.

إذا عرفنا قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين ﺃ وﺏ، يمكننا حساب مقدار المحصلة باستخدام هذه الصيغة. دعونا نطبق ذلك على مثال سريع جدًّا. لنفترض أن مقدار ﺃ يساوي خمسة نيوتن، ومقدار ﺏ يساوي أربعة نيوتن. إذا كان الجسم في حالة اتزان، يمكننا حساب مقدار القوة ﻕ بإيجاد مقدار محصلة كل من ﺃ وﺏ. هذا يساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد أربعة تربيع زائد اثنين في خمسة في أربعة في جتا ٧٠ درجة. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٧٫٨٤ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ٦٫٩١٦ تقريبًا. هذا يعني أن مقدار القوة ﻕ يساوي ٦٫٩٢ نيوتن لأقرب منزلتين عشريتين.

دعونا نزد الصعوبة من خلال أول مثال كامل.

استخدم الشكل الآتي لإيجاد الشد في ﺟﺏ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لعلنا نتذكر أنه إذا كان لدينا زوج من القوى يؤثر على جسم جاسئ، وهذا الجسم في حالة اتزان، فلا بد أن تؤثر قوة ثالثة ﻕ على الجسم، وهي مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه لمحصلة هاتين القوتين. في هذه الحالة، القوتان هما قوتا الشد اللتان مقداراهما ﺵ واحد وﺵ اثنان. القوة الثالثة هي القوة المؤثرة لأسفل التي مقدارها ١٠ نيوتن، وهذا يعني أن مقدار المحصلة 𝑅 يجب أن يساوي ١٠ نيوتن أيضًا.

لذلك، إذا عرفنا قياس الزاوية المحصورة بين القوتين، التي سنسميها 𝜃، يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد مقدار المحصلة. بالتعويض بالمعطيات التي لدينا عن هذا النظام، نحصل على: ١٠ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺵ واحد تربيع زائد ﺵ اثنين تربيع زائد اثنين في ﺵ واحد في ﺵ اثنين جتا 𝜃.

بما أن المثلث في هذه الحالة متساوي الأضلاع، فإن ﺵ واحدًا وﺵ اثنين متساويان. إذن يمكننا التعويض عن هاتين القيمتين بـ ﺵ، وتربيع الطرفين، والبدء في إيجاد قيمة الطرف الأيسر. يمكننا الآن التحليل بأخذ اثنين ﺵ تربيع عاملًا مشتركًا؛ وعليه فإن ١٠٠ يساوي اثنين ﺵ تربيع في واحد زائد جتا 𝜃. بجعل ﺵ تربيع المتغير التابع من خلال قسمة البسط والمقام على اثنين في واحد زائد جتا 𝜃، نحصل على: ﺵ تربيع يساوي ٥٠ على واحد زائد جتا 𝜃.

بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 باستخدام أطوال أضلاع المثلث. نسمي هذا المثلث كما هو موضح. ويصبح لدينا ٥٠ تربيع يساوي ٣٠ تربيع زائد ٣٠ تربيع ناقص اثنين في ٣٠ في ٣٠ جتا 𝜃. وبذلك نحصل على: ٢٥٠٠ يساوي ١٨٠٠ ناقص ١٨٠٠ جتا 𝜃، ويمكننا إعادة الترتيب لإيجاد أن جتا 𝜃 يساوي سالب سبعة على ١٨. لنعوض بذلك في التعبير السابق. هذا يساوي ﺵ تربيع يساوي ٥٠ على واحد زائد سالب سبعة على ١٨؛ وهو ما يساوي ٩٠٠ على ١١.

أخيرًا، نعلم أن مقدار الشد في ﺟﺏ يساوي ﺵ واحدًا، وهو ما يساوي ﺵ، لذلك علينا فقط حساب الجذر التربيعي. الجذر التربيعي لـ ٩٠٠ على ١١ يساوي ٩٫٠٤٥٣. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٩٫٠٥؛ إذن الشد في ﺟﺏ يساوي ٩٫٠٥ نيوتن.

عندما يكون جسم جاسئ في حالة اتزان تحت تأثير ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة ما، يمكننا تحليل النظام باستخدام مثلث القوى. دعونا نفكر في القوى باعتبارها متجهات، ونمثلها باستخدام أسهم تتناسب أطوالها طرديًّا مع مقدارها. بما أن النظام في حالة اتزان، فإن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. بعد ذلك، يمكن تمثيل جمع القوى بوضع رأس كل سهم عند ذيل السهم الذي يليه، كما هو موضح هنا. دعونا نعرف هذا تعريفًا منهجيًّا. متجهات القوى الثلاثة التي تكون مثلثًا؛ حيث تكون اتجاهات جميع القوى إما في اتجاه دوران عقارب الساعة، وإما في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول المثلث، تساوي محصلتها صفرًا؛ ومن ثم تكون القوى في حالة اتزان. دعونا نوضح ذلك في المثال الآتي.

تؤثر ثلاث قوى مستوية ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة على جسم في حالة اتزان. يكون مثلث القوى مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. إذا كان مقدار ﻕ واحد يساوي خمسة نيوتن، ومقدار ﻕ اثنين يساوي ١٣ نيوتن، فأوجد مقدار ﻕ ثلاثة.

بما أن الجسم في حالة اتزان، فإننا نعلم أن المجموع الاتجاهي للقوى الثلاث لا بد أن يساوي صفرًا. نعلم أيضًا أن هذا يعني أنه يمكننا تمثيل النظام في صورة مثلث؛ حيث تتناسب أطوال أضلاع المثلث طرديًّا مع مقادير هذه القوى. هذا يعني أنه يمكننا التعامل مع مقداري القوتين كما لو كانا طولين، واستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد المقدار الناقص. هذا يعني أن خمسة تربيع زائد مقدار ﻕ ثلاثة تربيع يساوي ١٣ تربيع. بطرح خمسة تربيع من كلا الطرفين، نجد أن مقدار ﻕ ثلاثة تربيع يساوي ١٤٤.

أخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي الموجب. تذكر أننا لا نحتاج إلى جذر سالب لأن المقدار، حسب تعريفه، قيمة موجبة. مقدار هذه القوة يساوي ١٢ نيوتن. وبذلك نكون قد أوجدنا مقدار ﻕ ثلاثة.

تمكنا من تطبيق نظرية فيثاغورس هنا لأن القوى تتناسب طرديًّا مع أطوال أضلاع المثلث. وهذا يسمح لنا بتكوين معادلة نعرفها بأنها قاعدة مثلث القوى. النسبة بين مقدار ﻕ واحد والطول ﺃﺏ تساوي النسبة بين مقدار ﻕ اثنين والطول ﺏﺟ، التي تساوي بدورها النسبة بين مقدار ﻕ ثلاثة وﺃﺟ.

في الشكل التالي، ثلاث قوى مقاديرها ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة نيوتن متلاقية في نقطة. خطوط عمل القوى موازية لأضلاع المثلث القائم. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة.

دعونا نتذكر أنه عندما تكون القوى الثلاث في حالة اتزان، فإن مقادير القوى تتناسب طرديًّا مع أطوال أضلاع المثلث. لنبدأ بإيجاد طول الضلع الثالث. يمكننا تسمية رءوس المثلث كما هو موضح، وهذا يعني أننا نريد إيجاد طول الوتر، ﺏﺟ. لنستخدم نظرية فيثاغورس؛ إذن ﺏﺟ تربيع يساوي ٨٧ تربيع زائد ٢٠٨٫٨ تربيع. هذا يعطينا: ﺏﺟ تربيع يساوي ٥١١٦٦٫٤٤. بحساب الجذر التربيعي الموجب، نحصل على طول ﺏﺟ الذي يساوي ٢٢٦٫٢ سنتيمترًا.

بما أن المثلث في حالة اتزان، نعلم أن النسب بين القوى وأطوال الأضلاع الموازية لها متساوية. ومن ثم، يمكننا قول إن النسبة بين قوتين لا بد أن تساوي النسبة بين طولي الضلعين المناظرين لهما أيضًا. بما أن ﺃﺏ يساوي ٨٧ سنتيمترًا وﺃﺟ يساوي ٢٠٨٫٨ سنتيمترات، يمكننا قسمتهما لنحصل على خمسة على ١٢. بطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد النسبة بين ﻕ واحد وﻕ ثلاثة بقسمة ﺃﺏ على ﺏﺟ. هذا يعطينا: ﻕ واحد على ﻕ ثلاثة يساوي خمسة على ١٣. بما أن البسط هو نفسه في كل كسر، يمكننا إيجاد النسبة المطلوبة. نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة هي: خمسة إلى ١٢ إلى ١٣.

بالطبع، لا يقتصر تطبيق هذه العملية على المثلثات القائمة الزاوية فقط. يمكننا استخدام عملية مماثلة عند التعامل مع المثلثات غير القائمة. لنر كيف يبدو ذلك.

يقع جسم تحت تأثير ثلاث قوى مقاديرها ﻕ واحد، ﻕ اثنان، ٣٦ نيوتن، وهي تؤثر على الجسم في اتجاه ﺃﺏ، ﺏﺟ، ﺟﺃ على الترتيب؛ حيث المثلث ﺃﺏﺟ مثلث فيه ﺃﺏ يساوي أربعة سنتيمترات، ﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات، ﺃﺟ يساوي ستة سنتيمترات. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد ﻕ واحد، ﻕ اثنين.

دعونا نتذكر أنه لكي يكون نظام القوى في حالة اتزان، يجب أن تساوي القوة المحصلة صفرًا. هذا يعني أن مقدار القوة في المثلث يجب أن يكون بنفس نسبة أطوال أضلاع المثلث. لذا دعونا نرسم ذلك. لدينا مثلث متساوي الساقين، طول أحد أضلاعه أربعة سنتيمترات وطول كل من الضلعين الآخرين ستة سنتيمترات. يمكننا تتبع مخطط القوى المناظر من خلال رسمه على المثلث؛ حيث النسبة بين ﻕ واحد وطول الضلع ﺃﺏ تساوي النسبة بين ﻕ اثنين وطول الضلع ﺏﺟ، التي تساوي بدورها النسبة بين القوة التي مقدارها ٣٦ نيوتن وطول الضلع الثالث.

إذا كتبنا نسب الضلعين المتساويين في الطول، فسنتمكن من تحديد قيمة مقدار ﻕ اثنين. الطريقة الوحيدة لكي تكون هذه العبارة صحيحة هي إذا كان ﻕ اثنان يساوي ٣٦ نيوتن. وبالمثل، دعونا نقارن النسبة الأولى بنسبة الضلع ﺃﺏ. يمكننا حساب مضاعف أطوال الأضلاع بقسمة أربعة على ستة لنحصل على ثلثين. إذن، علينا أيضًا ضرب ٣٦ في ثلثين لإيجاد قيمة ﻕ واحد. هذا يساوي ٢٤ نيوتن. إذن، ﻕ واحد يساوي ٢٤ نيوتن، وﻕ اثنان يساوي ٣٦ نيوتن.

في المثال الأخير، لنلق نظرة على كيفية تطبيق هذه العملية على نظام يتضمن جسمًا معلقًا.

قضيب منتظم طوله ٥٠ سنتيمترًا ووزنه ١٤٣ نيوتن، معلق تعليقًا حرًّا من طرفيه في السقف بخيطين متعامدين متصلين بالنقطة نفسها في السقف. إذا كان طول أحد الخيطين ٣٠ سنتيمترًا، فأوجد الشد في كلا الخيطين.

لنبدأ برسم هذا النظام. هذا هو القضيب المعلق بخيطين يلتقيان بزاوية قياسها ٩٠ درجة. يمكننا البدء بحساب طول الضلع الثالث في هذا المثلث. لنطلق عليه ﻝ سنتيمتر. سيكون هذا مفيدًا. بما أننا نعلم أن النظام في حالة اتزان، فسنتمكن من إيجاد القوى في النظام. بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس. ‏٥٠ تربيع يساوي ٣٠ تربيع زائد ﻝ تربيع. بطرح ٣٠ من كلا الطرفين، نحصل على: ﻝ تربيع يساوي ٥٠ تربيع ناقص ٣٠ تربيع، وهو ما يساوي ١٦٠٠. وأخيرًا، إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، فسنجد أن ﻝ يساوي ٤٠.

بعد ذلك، نعلم أن القوى المؤثرة هنا هي وزن القضيب والشد في الخيطين. بما أن القوى في حالة اتزان، يمكن رسمها وهي تؤثر على النقطة نفسها. يؤثر وزن القضيب رأسيًّا لأسفل. يمكننا تمثيل الشد في الخيط الذي يبلغ طوله ٤٠ سنتيمترًا بالرمز ﺵ واحد، والشد في الخيط الآخر بالرمز ﺵ اثنين. وهذا يعطينا مثلث القوى المناظر.

أخيرًا، نعلم أن النسبة بين أطوال أضلاع المثلث والقوى المناظرة لها متساوية. وبذلك يصبح لدينا ١٤٣ على ٥٠ يساوي ﺵ واحدًا على ٣٠. يمكننا إيجاد قيمة ﺵ واحد بضرب البسط والمقام في ٣٠، وهو ما يعطينا ٨٥٫٨ نيوتن.

لنكرر ذلك مع ﺵ اثنين. هذه المرة، ١٤٣ على ٥٠ يساوي ﺵ اثنين على ٤٠. وبذلك نجد أن ﺵ اثنين يساوي ١٤٣ على ٥٠ في ٤٠، وهو ما يساوي ١١٤٫٤ نيوتن. إذن، الشد في الخيطين يساوي ٨٥٫٨ نيوتن و ١١٤٫٤ نيوتن.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس.

في هذا الدرس، رأينا أنه عندما يكون جسم جاسئ في حالة اتزان تحت تأثير ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة ما، يمكننا تحليل النظام باستخدام مثلث القوى. وتعلمنا أنه في هذه الحالات، يتناسب مقدار القوى طرديًّا مع أطوال أضلاع المثلث. وهذا يتيح لنا حساب القوى الناقصة والأطوال الناقصة.