نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة اثنين في قا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 زائد ثمانية في ظتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، إذا كان أربعة في ظا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة؛ حيث تقع 𝜃 في الفترة المفتوحة بين 𝜋 على اثنين و𝜋.
لنبدأ بتصور الموضع الذي ستكون فيه 𝜃 باعتبارها زاوية في الوضع القياسي. نتذكر أن 𝜋 على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة و𝜋 راديان يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم، فإن 𝜃 تقع في الربع الثاني. علمنا من المعطيات أن أربعة في ظا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة. لذا، يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ظا 𝜃. نفعل ذلك بقسمة طرفي المعادلة على أربعة. ونتيجة لذلك، نحصل على ظا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة على أربعة. نتذكر أنه إذا كانت لدينا نقطة إحداثياتها ﺱ، ﺹ تقع على الضلع النهائي للزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، فإن ظل الزاوية يساوي ﺹ على ﺱ. بمعلومية هذا، يمكننا إيجاد الإحداثيات الدقيقة للنقطة التي يمر بها الضلع النهائي لـ 𝜃 في الربع الثاني.
نعلم أنه في الربع الثاني، تكون جميع قيم ﺱ سالبة وجميع قيم ﺹ موجبة. وهذا يعني بالنسبة للحالة التي لدينا أن ﺱ يساوي سالب أربعة وﺹ يساوي موجب ثلاثة. إذن، نحدد النقطة سالب أربعة، ثلاثة على المستوى الإحداثي ﺱﺹ. تشير 𝜃 إلى أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، ما يعني أن ضلعها الابتدائي هو الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وأن الشعاع المار بالنقطة سالب أربعة، ثلاثة هو الضلع النهائي لـ 𝜃.
الآن، نرسم مثلثًا قائم الزاوية وتره هو القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطة الأصل والنقطة سالب أربعة، ثلاثة. يصنع الوتر زاوية حادة مع الجزء السالب للمحور ﺱ، والتي نسميها 𝛼. تشير 𝛼 إلى الزاوية المرجعية، وتعني الزاوية الحادة التي تكونت بين الضلع النهائي والمحور ﺱ. على عكس 𝜃، تقع 𝛼 داخل المثلث القائم الزاوية. طول الضلع المقابل للزاوية 𝛼 يساوي ثلاثة، وطول الضلع المجاور لها يساوي أربعة. لكن سنشير للضلع المجاور بالقيمة سالب أربعة؛ لأن قيمة ﺱ تكون دائمًا سالبة في الربع الثاني. يجب أن يكون ظا 𝛼 مساويًا لـ ظا 𝜃، ما دمنا نأخذ في الاعتبار مكان الربع الموجود فيه المثلث.
للتأكد من استخدامنا للإشارة الصحيحة، نرجع إلى مخطط الإشارات للدوال المثلثية. يساعدنا مخطط الإشارات على تذكر الدوال المثلثية التي تكون موجبة في كل ربع. في الربع الأول، تكون جميع الدوال المثلثية موجبة. في الربع الثاني، تكون دالة الجيب ومقلوبها فقط موجبين. ومن ثم، يكون للظل قيمة سالبة. في الربع الثالث، تكون دالة الظل ومقلوبها فقط موجبين. في الربع الرابع، تكون دالة جيب التمام ومقلوبها فقط موجبين. ومن ثم يكون للظل قيمة سالبة.
في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد قيمة اثنين في قا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 زائد ثمانية في ظتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، وذلك باستخدام الحقائق التي أوضحناها الآن على الشكل. سيكون من المفيد في هذه المرحلة أن نتذكر تعريفي دالتي القاطع وظل تمام الزاوية بدلالة الإحداثيات. نتذكر أن القاطع هو مقلوب دالة جيب التمام، وظل تمام الزاوية هو مقلوب دالة الظل. بما أن ظا يساوي ﺹ على ﺱ، فإن ظتا يساوي ﺱ على ﺹ. وبما أن جتا يساوي ﺱ على ﺭ، فإن قا يساوي ﺭ على ﺱ. لدينا قيمتا ﺱ وﺹ المعنيتان؛ لذا نستنتج أن ظتا 𝜃 يساوي سالب أربعة على ثلاثة. لكن ما زال علينا إيجاد ﺭ لكي نتمكن من إيجاد قيمة كل من جتا 𝜃 أو قا 𝜃.
ﺭ هو وتر المثلث الذي يتضمن الزاوية المرجعية. وبما أن لدينا طولي الضلعين الآخرين، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة ﺭ. بعد التعويض بالإحداثيين ﺱ وﺹ والتبسيط، نجد أن ﺭ تربيع يساوي ٢٥. في هذه الحالة، نأخذ الجذر التربيعي الموجب فقط. إذن، نستنتج أن ﺭ يساوي خمسة. تجدر الإشارة هنا إلى أن بإمكاننا تخطي استخدام نظرية فيثاغورس تمامًا، وذلك بأن ندرك أن الأعداد هنا تمثل ثلاثية فيثاغورس الشهيرة؛ ثلاثة، أربعة، خمسة. وبناء على القيمة التي حصلنا عليها، فإن جتا 𝜃 يساوي سالب أربعة على خمسة، وقا 𝜃 يساوي خمسة على سالب أربعة. سنفرغ الآن بعض المساحة لكتابة خطواتنا التالية.
لقد أوجدنا قا 𝜃 وظتا 𝜃. لكن لإيجاد قيمة المقدار المعطى، علينا إيجاد قيمة كل من قا وظتا لاثنين 𝜋 ناقص 𝜃. لنفكر الآن في كيفية مقارنة موضع 𝜃 في الربع الثاني بالنسبة إلى موضع اثنين 𝜋 ناقص 𝜃. نعلم أنه يمكننا إيجاد موضع 𝜃 بالدوران عكس اتجاه عقارب الساعة في الاتجاه الموجب. أما إذا أدرنا 𝜃 في اتجاه عقارب الساعة في الاتجاه السالب، فإن الموضع الذي سنحصل عليه لن يكون موضع سالب 𝜃 فحسب، بل موضع اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 أيضًا. وذلك لأن الزاويا المتكافئة المقيسة بالراديان تحسب بجمع أو طرح أي مضاعف للقيمة اثنين 𝜋. وهناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن الدوران بزاوية اثنين 𝜋 راديان يكافئ الدوران بزاوية ٣٦٠ درجة، أو الدوران دورة كاملة واحدة.
الآن، نرسم المثلث الذي به زاوية مرجعية لتمثيل الزاوية اثنين 𝜋 ناقص 𝜃. يمكننا رسم المثلث الجديد بإجراء انعكاس بسيط للمثلث الأصلي حول المحور ﺱ. هذا المثلث القائم الزاوية الجديد يتضمن أيضًا زاوية مرجعية 𝛼. لكن بما أنه أصبح في الربع الثالث، فإن قيم الإحداثي ﺹ ستكون سالبة. إذن، الإحداثي ﺹ للنقطة التي تقع على الضلع النهائي لاثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب ثلاثة. سنستخدم المثلث البرتقالي لإيجاد قيمة كل من ظتا وقا لاثنين 𝜋 ناقص 𝜃. نستنتج أن ظتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃 يساوي سالب أربعة على سالب ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى موجب أربعة على ثلاثة. وقا اثنان 𝜋 ناقص 𝜃 سيساوي نفس القيمة التي حصلنا عليها من قبل؛ أي خمسة على سالب أربعة.
قبل التعويض بهذه القيم في المقدار الأصلي، من الجيد التحقق من صحة الإشارات بالرجوع إلى مخطط الإشارات. وفقًا لمخطط الإشارات، تكون دالتي الظل وظل تمام الزاوية هما فقط الموجبتين في الربع الثالث. ومن ثم، فمن المنطقي أننا قد أوجدنا ظل تمام الزاوية بقيمة موجبة، وأوجدنا القاطع بقيمة سالبة. سنفرغ الآن بعض المساحة لإيجاد قيمة المقدار المعطى. سنعوض بأربعة أثلاث عن ظتا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃، وبسالب خمسة أرباع عن قا اثنين 𝜋 ناقص 𝜃. ثم نجمع حاصل ضرب اثنين في سالب خمسة على أرباع، وحاصل ضرب ثمانية في أربعة أثلاث. بعد ذلك، لكي نجمع سالب ١٠ على أربعة و٣٢ على ثلاثة، نوحد المقامين على ١٢، ومن ثم نجد أن المجموع يساوي ٩٨ على ١٢. يمكن تبسيط هذا الكسر إلى ٤٩ على ستة، وهذه هي إجابتنا النهائية.
