نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل متجهًا في الفضاء باستخدام نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد. سنبدأ بالنظر إلى متجهات الوحدة في اتجاه المحاور ﺱ وﺹ وﻉ. وننتقل بعد ذلك إلى إيجاد مركبات أي متجه يصل بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. وسنفعل ذلك جبريًّا وبيانيًّا.
أوجد متجه الوحدة في اتجاه المحور ﺹ.
نتذكر هنا أن مقدار متجه الوحدة يساوي واحدًا. لننظر إلى النظام الإحداثي الثلاثي الأبعاد أو الشبكة التي مركزها أو نقطة أصلها ﻭ. عرفنا من معطيات السؤال أن المتجه يتحرك في اتجاه المحور ﺹ. وهذا يعني أن مركبتي ﺱ وﻉ يجب أن تساويا صفرًا. ولكي يكون مقدار المتجه مساويًا لواحد، لا بد أن تساوي مركبة ﺹ واحدًا أيضًا. إذن متجه الوحدة في اتجاه المحور ﺹ يساوي صفرًا، واحدًا، صفرًا.
يمكننا التحقق من أن المقدار يساوي واحدًا من خلال إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات المنفردة. يعني هذا الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد واحد تربيع زائد صفر تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لواحد. وبما أن المقدار يجب أن يكون موجبًا، فهذا يساوي واحدًا. يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد متجه الوحدة في اتجاه المحورين ﺱ وﻉ.
متجه الوحدة في اتجاه المحور ﺱ هو واحد، صفر، صفر. مركبة ﺱ له تساوي واحدًا، ومركبتا ﺹ وﻉ تساويان صفرًا. وقد عرفنا للتو أن متجه الوحدة في اتجاه المحور ﺹ هو صفر، واحد، صفر. وأخيرًا، متجه الوحدة في اتجاه المحور ﻉ هو صفر، صفر، واحد. هذه المرة، مركبة ﻉ تساوي واحدًا، ومركبتا ﺱ وﺹ تساويان صفرًا.
سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها إيجاد متجه يصل بين نقطتين معلومتين.
أي من الآتي يساوي المتجه ﺃﺏ؟ هل هو (أ) ﺃ زائد ﺏ، أم (ب) ﺃ ناقص ﺏ، أم (ج) ﺏ ناقص ﺃ أم (د) ﺃ في ﺏ؟
لنبدأ بالنظر إلى النقطتين ﺃ وﺏ في شبكة إحداثية ثنائية الأبعاد. ينقلنا المتجه ﺃ من نقطة الأصل ﻭ إلى النقطة ﺃ. وبالمثل، ينقلنا المتجه ﺏ من نقطة الأصل إلى النقطة ﺏ. علينا معرفة كيف يمكننا أن ننتقل من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ. إحدى طرق فعل ذلك هي التحرك عبر نقطة الأصل ﻭ. يعني هذا أن المتجه ﺃﺏ يساوي المتجه ﺃﻭ زائد المتجه ﻭﺏ. وبما أن المتجه ﻭﺃ يساوي ﺃ، فإن المتجه ﺃﻭ يساوي سالب ﺃ؛ حيث إنه يتجه في الاتجاه المعاكس، ولكن له المقدار نفسه. المتجه ﻭﺏ يساوي ﺏ. ويمكن إعادة كتابة سالب ﺃ زائد ﺏ على صورة ﺏ ناقص ﺃ. يعني هذا أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج). المتجه ﺃﺏ يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ.
سنستخدم الآن هذه القاعدة لإيجاد متجه يصل بين نقطتين معلومتين.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي ستة، واحدًا، أربعة، والمتجه ﺏ يساوي ثلاثة، واحدًا، اثنين، فأوجد المتجه ﺃﺏ.
نتذكر هنا القاعدة العامة التي تنص على أنه عند إيجاد متجه يصل بين نقطتين، يكون المتجه ﺃﺏ مساويًا للمتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ. في هذا السؤال، نريد طرح المتجه ستة، واحد، أربعة من المتجه ثلاثة، واحد، اثنين. عند طرح المتجهات، نطرح المركبات المتناظرة. في هذا السؤال، علينا طرح ستة من ثلاثة. وهذا يعطينا سالب ثلاثة. وواحد ناقص واحد يساوي صفرًا. وأخيرًا، اثنان ناقص أربعة يساوي سالب اثنين. مركبة ﺱ تساوي سالب ثلاثة، ومركبة ﺹ تساوي صفرًا، ومركبة ﻉ تساوي سالب اثنين. إذن المتجه ﺃﺏ يساوي سالب ثلاثة، صفرًا، سالب اثنين.
في السؤال التالي، علينا إيجاد متجه الموضع لنقطة ما بمعلومية المتجه الذي يربطها بنقطة أخرى.
إذا كان ﺃﺏ يساوي سالب واحد، سالب ثلاثة، صفرًا، والمتجه ﺃ يساوي سالب أربعة، سالب خمسة، سالب خمسة، فأوجد المتجه ﺏ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.
نتذكر هنا أنه عند إيجاد متجه يصل بين نقطتين، فإن المتجه ﺃﺏ يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ. إذا افترضنا أن مركبات المتجه ﺏ هي ﺱ، ﺹ، ﻉ، فإن سالب واحد، سالب ثلاثة، صفرًا يساوي ﺱ، ﺹ، ﻉ ناقص سالب أربعة، سالب خمسة، سالب خمسة. وبإضافة المتجه ﺃ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على سالب واحد، سالب ثلاثة، صفر زائد سالب أربعة، سالب خمسة، سالب خمسة يساوي ﺱ، ﺹ، ﻉ.
عند جمع المتجهات وطرحها، يمكننا النظر إلى كل مركبة على حدة. يعني هذا أن ﺱ يساوي سالب واحد زائد سالب أربعة. وهذا يساوي سالب واحد ناقص أربعة، وهو ما يساوي سالب خمسة. ﺹ يساوي سالب ثلاثة زائد سالب خمسة. وهذا يساوي سالب ثمانية. وأخيرًا، ﻉ يساوي سالب خمسة. إذن المتجه ﺏ يساوي سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب خمسة.
مطلوب منا كتابة المتجه ﺏ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. وهذا يعني أن علينا كتابته على صورة: ﺱﺱ زائد ﺹﺹ زائد ﻉﻉ. إذن المتجه ﺏ يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ ناقص خمسة ﻉ.
في السؤال التالي، سنوجد مركبات متجه موضع ثلاثي الأبعاد ممثل بيانيًّا.
باستخدام التمثيل البياني، اكتب المتجه ﺃ بدلالة مركباته.
بما أن لدينا شبكة إحداثية ثلاثية الأبعاد، فإن المتجه ﺃ سيكون له ثلاث مركبات، وهي ﺱ وﺹ وﻉ. وبالتحرك على المحور ﺱ، نجد أن مركبة ﺱ تساوي اثنين. ومركبة ﺹ تساوي ثلاثة. وأخيرًا، مركبة ﻉ تساوي أربعة. يعني هذا أن المتجه ﺃ يساوي اثنين، ثلاثة، أربعة. المتجه ﺃ بدلالة مركباته هو إزاحة النقطة ﺃ من نقطة الأصل في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ.
في السؤال الأخير، سنوجد مركبات متجه ثلاثي الأبعاد ممثل بيانيًّا أيضًا.
أوجد المتجه ﺃﺯ باستخدام التمثيل البياني.
إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي تذكر أنه يمكننا إيجاد المتجه ﺃﺏ بطرح المتجه ﺃ من المتجه ﺏ. هذا يعني أنه في هذا السؤال، علينا طرح المتجه ﺃ من المتجه ﺯ. المتجه ﺃ هو إزاحة النقطة ﺃ من نقطة الأصل. ومركبة ﺱ للمتجه تساوي واحدًا، ومركبة ﺹ تساوي واحدًا، ومركبة ﻉ تساوي صفرًا. يعني هذا أن المتجه ﺃ يساوي واحدًا، واحدًا، صفرًا. وبالنسبة للمتجه ﺯ، مركبة ﺱ تساوي أربعة، ومركبة ﺹ تساوي أربعة، ومركبة ﻉ تساوي ثلاثة. يعني هذا أن المتجه ﺯ يساوي أربعة، أربعة، ثلاثة.
لحساب المتجه ﺃﺯ، علينا طرح واحد، واحد، صفر من أربعة، أربعة، ثلاثة. عند طرح المتجهات، نطرح كل مركبة على حدة. أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. وعند طرح مركبتي ﺹ، نحصل أيضًا على ثلاثة. ينطبق الأمر نفسه على مركبتي ﻉ؛ حيث ثلاثة ناقص صفر يساوي ثلاثة. إذن المتجه ﺃﺯ يساوي ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة.
لدينا هنا طريقة بديلة، وهي أن نلاحظ أن لدينا مكعبًا طول ضلعه يساوي ثلاثة. والرأسان ﺃ وﺯ ركنان متقابلان في المكعب. يعني هذا أن علينا التحرك بمقدار ثلاث وحدات في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ للانتقال من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺯ. وهذا يؤكد أن المتجه ﺃﺯ يساوي ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة.
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. عرفنا في السؤال الأول أن مقدار متجه الوحدة يساوي واحدًا. يمكن كتابة أي متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد بدلالة مركباته الثلاث إما بين قوسين دائريين ﺱ، ﺹ، ﻉ وإما في صورة: ﺱﺱ زائد ﺹﺹ زائد ﻉﻉ. المتجه الذي يصل بين النقطتين ﺃ وﺏ في الفضاء الثلاثي الأبعاد يكتب على صورة المتجه ﺃﺏ. وهذا يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ. يمكننا إذن حساب مركبات المتجه ﺃﺏ بمعلومية إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ.
عرفنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة مجهولة باستخدام إحداثيات نقطة معلومة ومركبات متجه معلوم. وأخيرًا، عرفنا في السؤالين الأخيرين أنه يمكننا إيجاد مركبات متجه ثلاثي الأبعاد ممثل بيانيًّا.
