فيديو الدرس: حجم المخروط الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم المخروط، ونحل المسائل التي تتضمن مواقف حياتية. سنبدأ بتناول خواص المخروط ونوضح الصيغة المستخدمة لحساب حجمه. في هذا الفيديو، سوف نتناول المخروط المائل والمخروط القائم الذي نجد مثالًا عليه في الشكل الموضح.

المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية وسطح جانبي منحن ينتهي عند رأس أو قمة واحدة. المخروط القائم هو المخروط الذي يقع رأسه أعلى مركز القاعدة الدائرية، أما المخروط المائل، فلا يقع رأسه أعلى مركز القاعدة مباشرة. ارتفاع المخروط هو المسافة الرأسية أو العمودية من الرأس إلى القاعدة. وراسم المخروط هو المسافة من الرأس إلى أي نقطة تقع على محيط القاعدة. وأخيرًا، يكون كل من نصف القطر والارتفاع وراسم المخروط مثلثًا قائم الزاوية داخل المخروط.

بعد أن استرجعنا بعض التعريفات الأساسية للمخروط، دعونا نتابع ونتناول حجمه. حجم أي مخروط يساوي ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروبًا في ﻉ. لننظر إلى هذا المخروط المائل الموضح. بما أن قاعدة أي مخروط دائرية، فإن ‏𝜋‏‎نق تربيع يشير إلى مساحة القاعدة. نحن نعلم أن مساحة الدائرة تساوي ‏𝜋‏‎ مضروبًا في نصف القطر تربيع. يشير الحرف ﻉ إلى الارتفاع العمودي، كما هو موضح. لعلنا نتذكر أن الارتفاع هو المسافة الرأسية من الرأس إلى القاعدة. وبما أن هذا المخروط مائل، فلن يقع الارتفاع عند مركز الدائرة في هذا الشكل.

هيا نتناول مثالًا ارتفاع المخروط فيه يساوي ١٢ سنتيمترًا، ونصف قطر القاعدة يساوي أربعة سنتيمترات. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة لدينا، نجد أن حجم المخروط يساوي ثلثًا مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في أربعة تربيع مضروبًا في ١٢. وبما أن الضرب عملية إبدالية، يمكننا إجراء هذه العملية الحسابية بأي ترتيب. ثلث مضروب في ١٢ أو ثلث العدد ١٢ يساوي أربعة. وأربعة تربيع يساوي ١‏𝜋‏‎. هذا يعني أن الحجم يساوي أربعة مضروبًا في ١٦ مضروبًا في ‏𝜋‏‎. يمكن تبسيط ذلك لنحصل على ٦٤‏𝜋‏‎. يقاس الحجم بالوحدات المكعبة. إذن، حجم هذا المخروط يساوي ٦٤‏𝜋‏‎ سنتيمترًا مكعبًا.

سنتناول الآن بعض الأمثلة المحددة التي تتضمن إيجاد حجم المخروط.

أوجد حجم مخروط قطره ١٠٫٥ وارتفاعه ١١٫٣. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لنبدأ برسم المخروط. علمنا من المعطيات أن قطر القاعدة الدائرية يساوي ١٠٫٥. وارتفاع المخروط يساوي ١١٫٣. وهو المسافة العمودية من الرأس إلى القاعدة. لاحظ أن السؤال لم يوضح إذا ما كان هذا المخروط قائمًا أو مائلًا، لكن هذا لا يهم؛ لأن لدينا الارتفاع العمودي. وعند استخدام الارتفاع العمودي، نطبق صيغة الحجم بالطريقة نفسها على كلتا الحالتين.

لحساب حجم أي مخروط، نستخدم الصيغة ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروب في ﻉ، حيث نق هو نصف قطر القاعدة الدائرية. نحن نعلم أن نصف قطر الدائرة يساوي طول قطرها مقسومًا على اثنين، وعلمنا أن طول القطر هنا يساوي ١٠٫٥. إذن، نصف القطر يساوي نصفًا مضروبًا في ١٠٫٥. وهذا يساوي ٥٫٢٥. يمكننا الآن التعويض بقيمتي نصف القطر والارتفاع في الصيغة.

حجم المخروط يساوي ثلثًا مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في ٥٫٢٥ تربيع مضروبًا في ١١٫٣. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٢‏𝜋‏‎٫١٥‏𝜋‏‎٢ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. وبما أن العدد المحدد للتقريب هو ستة، نقرب لأعلى، فنحصل على الإجابة ٣٢‏𝜋‏‎٫١‏𝜋‏‎. يقاس الحجم بالوحدات المكعبة. ونظرًا لأنه لا توجد وحدة طول معطاة للقطر أو الارتفاع، فإن الحجم يساوي ٣٢‏𝜋‏‎٫١‏𝜋‏‎ وحدة مكعبة.

سنتناول الآن مثالًا لدينا فيه ارتفاع المخروط ومحيط قاعدته.

أوجد، لأقرب جزء من عشرة، حجم مخروط قائم يبلغ ارتفاعه ١٠‏𝜋‏‎ سنتيمترات، إذا كان محيط قاعدته ٣١٨ سنتيمترًا. ‏‏𝜋‏‎ يساوي ٢٢ على سبعة.

بما أننا نتعامل مع مخروط قائم، فإننا نعلم أن الرأس يقع مباشرة أعلى مركز القاعدة الدائرية. هذا يعني أن الارتفاع ونصف القطر يكونان زاوية قائمة أو يتعامدان أحدهما على الآخر. علمنا أن هذه المسافة العمودية أو الارتفاع العمودي يساوي ١٠‏𝜋‏‎ سنتيمترات. كما علمنا أيضًا أن محيط القاعدة، أي محيط القاعدة الدائرية، يساوي ٣١٨ سنتيمترًا. لعلنا نتذكر أن حجم المخروط ﺡ يساوي ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروبًا في ﻉ. ولحساب هذه القيمة، علينا أولًا إيجاد نصف قطر القاعدة الدائرية.

محيط أي دائرة يساوي اثنين ‏𝜋‏‎نق. وفي هذا السؤال، نعلم أن المحيط يساوي ٣١٨ سنتيمترًا. إذن، ٣١٨ يساوي اثنين ‏𝜋‏‎نق. بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ١٥٩ يساوي ‏𝜋‏‎ مضروبًا في نق. يمكننا هنا التعويض عن ‏𝜋‏‎ بـ ٢٢ على سبعة. لكننا سنقسم ببساطة طرفي المعادلة على ‏𝜋‏‎، فنحصل على نق يساوي ١٥٩ على ‏𝜋‏‎. ومن ثم، نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط يساوي ١٥٩ على ‏𝜋‏‎ سنتيمتر.

يمكننا الآن التعويض بقيمتي ﻉ ونق في صيغة الحجم. ‏ﺡ يساوي ثلثًا مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في ١٥٩ على ‏𝜋‏‎ الكل تربيع مضروبًا في ١٠‏𝜋‏‎. وبالتعويض بقيمة ‏𝜋‏‎ وكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٨٤٢١٩٫٧٢٧ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. وهذا يماثل التقريب لأقرب منزلة عشرية، وهو ما يعطينا الحجم ٢٨٤٢١٩٫٧ سنتيمترًا مكعبًا. لاحظ أن وحدة الحجم ستكون دائمًا وحدة مكعبة.

يتضمن المثال التالي حساب نصف قطر قاعدة مخروط بمعلومية ارتفاعه وحجمه.

مخروط ارتفاعه العمودي ٩٢ بوصة وحجمه ٤٢٠‏𝜋‏‎ بوصة مكعبة. أوجد نصف قطر المخروط، وقرب إجابتك لأقرب بوصة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر صيغة حساب حجم المخروط. وهو يساوي ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروبًا في ﻉ، حيث نق هو نصف قطر القاعدة الدائرية وﻉ هو المسافة العمودية من رأس المخروط إلى القاعدة. في هذا السؤال لدينا كل من الارتفاع والحجم، ومطلوب منا حساب نصف القطر. لكي نفعل ذلك، سنبدأ بإعادة ترتيب الصيغة ﺡ يساوي ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع ﻉ لنجعل نق المتغير التابع.

نبدأ بضرب طرفي المعادلة في ثلاثة بحيث يكون ثلاثة ﺡ يساوي ‏𝜋‏‎نق تربيع ﻉ. بعد ذلك، نقسم الطرفين على ‏𝜋‏‎ﻉ بحيث يصبح نق تربيع يساوي ثلاثة ﺡ مقسومًا على ‏𝜋‏‎ﻉ. وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وبما أن نصف القطر يجب أن يكون موجبًا، فإن نق يساوي الجذر التربيعي لثلاثة ﺡ مقسومًا على ‏𝜋‏‎ﻉ. يمكننا الآن التعويض عن ﺡ بـ ٤٢٠‏𝜋‏‎، وعن ﻉ بـ ٩٢. ثلاثة مضروبًا في ٤٢٠‏𝜋‏‎ يساوي ١٢‏𝜋‏‎٠‏𝜋‏‎، و‏𝜋‏‎ مضروبًا في ٩٢ يساوي ٩٢‏𝜋‏‎. يمكننا قسمة كل من البسط والمقام تحت الجذر التربيعي على ‏𝜋‏‎. وبما أن العددين ١٢‏𝜋‏‎٠ و٩٢ يقبلان القسمة على أربعة، فإن نق يساوي الجذر التربيعي لـ ٣١٥ على ٢٣. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٫٧٠٠٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

نظرًا لأنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب بوصة، فعلينا النظر إلى الرقم الموجود في خانة الأجزاء من عشرة. نستنتج إذن أن المخروط الذي ارتفاعه العمودي ٩٢ بوصة وحجمه ٤٢٠‏𝜋‏‎ بوصة مكعبة، سيكون نصف قطره أربع بوصات مقربًا لأقرب بوصة. يمكننا التحقق من هذه الإجابة بالتعويض بقيمة نق في الصيغة الأصلية.

في المثال الأخير، علينا المقارنة بين حجمي مخروط وهرم.

أي من التالي أكبر في الحجم: مخروط قائم نصف قطر قاعدته ٢٥ سنتيمترًا وارتفاعه ٥‏𝜋‏‎ سنتيمترًا، أم هرم رباعي قائم محيط قاعدته ١٧‏𝜋‏‎ سنتيمترًا وارتفاعه ٤٨ سنتيمترًا؟

قبل البدء في حل هذا السؤال، تجدر الإشارة إلى أن صيغة حجم المخروط وصيغة حجم الهرم متشابهتان إلى حد كبير. حجما هذين الشكلين يساويان ثلث مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع. وبما أننا نتعامل مع مخروط قائم وهرم قائم، فسيكون الارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة. عند التعامل مع أي مخروط، فإن حجمه يساوي ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروبًا في ﻉ. هذا لأن مساحة قاعدة المخروط دائرية، ومساحة الدائرة تساوي ‏𝜋‏‎نق تربيع.

عند التعامل مع أي هرم رباعي، فإن حجمه يساوي ثلث ﻝ تربيع مضروبًا في ﻉ؛ حيث ﻝ هو طول كل ضلع في القاعدة المربعة. في هذا السؤال، نصف قطر قاعدة المخروط يساوي ٢٥ سنتيمترًا، وارتفاعه يساوي ٥‏𝜋‏‎ سنتيمترًا. إذن، الحجم ﺡ يساوي ثلثًا مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في ٢٥ تربيع مضروبًا في ٥‏𝜋‏‎. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣‏𝜋‏‎‏𝜋‏‎٥١٫٩١ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب سنتيمتر مكعب، نجد أن حجم المخروط يساوي ٣‏𝜋‏‎‏𝜋‏‎٥٢ سنتيمترًا مكعبًا.

قبل أن نحسب حجم الهرم، علينا إيجاد طول كل ضلع في القاعدة المربعة. نعلم أن محيط القاعدة يساوي ١٧‏𝜋‏‎ سنتيمترًا. إذن، طول الضلع ﻝ يساوي ١٧‏𝜋‏‎ مقسومًا على أربعة. وهذا يساوي ٤٤ سنتيمترًا. ومن ثم، فإن حجم الهرم يساوي ثلثًا مضروبًا في ٤٤ تربيع مضروبًا في ٤٨؛ حيث ٤٨ هو ارتفاع الهرم الرباعي. نفرغ بعض المساحة ثم نكتب هذا على الآلة الحاسبة، فنحصل على ٣٠٩٧‏𝜋‏‎. إذن، حجم الهرم الرباعي يساوي ٣٠٩٧‏𝜋‏‎ سنتيمترًا مكعبًا. وبما أن هذه القيمة أقل من حجم المخروط الذي يساوي ٣‏𝜋‏‎‏𝜋‏‎٥٢ سنتيمترًا مكعبًا، فإن الشكل الأكبر حجمًا هو المخروط.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية وسطح جانبي منحن ينتهي عند رأس أو قمة واحدة. يمكن حساب حجم المخروط باستخدام الصيغة ثلث ‏𝜋‏‎نق تربيع مضروب في ﻉ. والجزء ‏𝜋‏‎نق تربيع من الصيغة يمثل مساحة القاعدة الدائرية، حيث نق هو نصف القطر. وﻉ هو الارتفاع العمودي؛ أي المسافة الرأسية أو العمودية من الرأس إلى القاعدة.

عند التعامل مع مخروط قائم، يمتد هذا الارتفاع من الرأس إلى مركز القاعدة الدائرية. عرفنا أن حجم المخروط يقاس بالوحدات المكعبة، مثل السنتيمترات المكعبة أو الأمتار المكعبة أو البوصات المكعبة. يمكننا استخدام هذه الصيغة ليس لحساب حجم مخروط فحسب، بل أيضًا لحساب نصف قطره أو ارتفاعه إذا كانت المتغيرات الأخرى معطاة. وكما عرفنا في المثال الأخير، يمكننا أيضًا المقارنة بين أحجام الأشكال الثلاثية الأبعاد المختلفة.