فيديو السؤال: إيجاد تكامل مقلوب دالة مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل قتا تربيع سالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، نبدأ بملاحظة أن زاوية الدالة المثلثية على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏ. يمكننا إعادة كتابة سالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة في صورة سالب ثمانية أسباع ﺱ زائد سبعة أسباع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ثمانية أسباع ﺱ زائد واحد. سنجري الآن التكامل بالتعويض بافتراض أن ﻉ يساوي سالب ثمانية أسباع ﺱ زائد واحد.

بإجراء الاشتقاق، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية أسباع، وهو ما يمكن إعادة ترتيبه بحيث ﺩﺱ يساوي سالب سبعة أثمان ﺩﻉ. بالتعويض عن سالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة بـ ﻉ، وعن ﺩﺱ بسالب سبعة أثمان ﺩﻉ، يصبح لدينا تكامل قتا تربيع ﻉ مضروبًا في سالب سبعة أثمان ﺩﻉ. يمكننا الآن أخذ الثابت سالب سبعة أثمان عاملًا مشتركًا، فنحصل على سالب سبعة أثمان مضروبًا في تكامل قتا تربيع ﻉ ﺩﻉ.

بعد ذلك، نتذكر النتيجة القياسية للتكامل غير المحدد لمربع دالة قاطع التمام. تكامل قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ظتا ﺱ زائد ﺙ. بتطبيق ذلك على هذه المسألة، نحصل على سالب سالب سبعة أثمان ظتا ﻉ زائد ﺙ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سبعة أثمان ظتا ﻉ زائد ﺙ. أخيرًا، يمكننا التعويض عن ﻉ بسالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة، لنجد أن تكامل قتا تربيع سالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي سبعة أثمان ظتا سالب ثمانية ﺱ زائد سبعة على سبعة زائد ﺙ.