فيديو: حل نظام من معادلتين خطيتين جبريًّا

سوزان فائق

يوضح الفيديو الطريقة الجبرية لحل نظام يتكوَّن من معادلتين، باستخدام طريقتَيِ الحذف والتعويض، وأمثلة توضيحية.

٠٩:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حل نظام من معادلتين خطيتين جبريًّا. هنتكلّم إزّاي هنحل باستخدام التعويض، أو باستخدام الحذف. الطريقة الأولى، اللي هي باستخدام التعويض، هتبقى تلات خطوات. أول خطوة، بنحل المعادلة لإيجاد إحدى المتغيرات، بمعلومية المتغيّر الآخر.

يعني لو عندنا معادلتين، هنجيب الـ ص في طرف، والـ س في طرف التاني. وناخد القيمة بتاعة الـ ص دي، اللي إحنا طلعناها الصيغة دي. وهنحطّها في معادلة تانية. وهي دي الخطوة التانية، اللي هي التعويض بالصيغة الناتجة في المعادلة التانية، ونوجد قيمة المتغيّر. وبعد كده بيبقى عندنا معادلة في متغيّر واحد بس. نحلّه ونجيب قيمته، اللي هي الخطوة التالتة. هنعوّض بقيمته الناتجة، لإيجاد قيمة المتغيّر الآخر، في أيٍّ من المعادلتين.

ناخد مثال على الكلام ده. المثال بيقول: يمتلك أحمد شركة دعم فني للحاسبات الآلية. ويتوقع تكلفة تشغيل الشركة ص يساوي تمنية وأربعين س زائد خمسمية. حيث س هي عدد العملاء، وَ ص تكلفة التشغيل. وأيضًا توقع إن دخل الشركة ص هيساوي خمسة وستين س ناقص مية خمسة وأربعين. اوجد عدد العملاء التي يكون فيها الدخل مساويًا للتكلفة.

يعني المعادلات اللي عندنا ص تساوي تمنية وأربعين س زائد خمسمية. وَ ص يساوي خمسة وستين س ناقص مية خمسة وأربعين. عايز قيمة الـ س هتبقى كام، لمّا الـ ص تبقى متساوية. يعني إحنا عايزين نجيب قيمة الـ س، لمّا الـ ص تكون متساوية. يعني هنحل المعادلتين دول. أول خطوة عندنا بنجيب قيمة المتغيّر، بمعلومية المتغيّر الآخر. يعني بنخلّي الـ ص في طرف، والـ س في الطرف التاني.

لو جينا بصّينا على المعادلتين دول، هنلاقي إن المعادلتين الـ ص في طرف، والـ س في الطرف التاني. يعني ممكن ناخد أيّ من المعادلتين، ونعوّض بيها في المعادلة التانية. يبقى إحنا هناخد أول خطوة: ص تساوي تمنية وأربعين س زائد خمسمية. هناخد القيمة دي، نعوّض بيها في المعادلة التانية. وهنيجي للخطوة التانية، اللي هي تمنية وأربعين س زائد خمسمية. هنساويها بالخمسة وستين س ناقص مية خمسة وأربعين.

هنحل لإيجاد قيمة المتغيّر س. هنطرح تمنية وأربعين س من طرفَي المعادلة، عشان نخلّي السينات كلها في طرف واحد. وهنجمع مية خمسة وأربعين في المعادلة، عشان نخلّي الحدّ المطلق في طرف واحد. هتبقى المعادلة بالشكل التاني. تبقى خمسة وستين س ناقص تمنية وأربعين س، تساوي خمسمية زائد مية خمسة وأربعين. يعني سبعتاشر س هتساوي ستمية خمسة وأربعين. يعني الـ س تقريبًا هتساوي سبعة وتلاتين وتسعة من عشرة. يبقى عدد العملا هيساوي تقريبًا تمنية وتلاتين عميل، لمّا يكون الدخل مساوي للتكلفة.

لو ادّى لنا قيمة عدد العملا مثلًا، وقالنا عدد العملا يساوي ستين، يعني الـ س تساوي ستين. اوجد قيمة الـ ص في المعادلتين، يعني هات الدخل وهات التكلفة. هناخد قيمة الـ س، ونعوّض فيها في المعادلة الأولانية، وفي المعادلة التانية. ونوجد قيم الـ ص، اللي هي الدخل أو التكلفة. نقلب الصفحة، وهنشوف إزّاي هنستخدم الحل، باستخدام الحذف.

طريقة الحل باستخدام الحذف، بتبقى بنخلّي معامل إحدى المتغيرات متساوي، أو معكوس المعامل نفس المتغيّر في المعادلتين. يعني بنخلّي مثلًا الـ س معاملها في المعادلتين؛ يا إمّا نفس الإشارة، أو عكس إشارة المعامل التاني. تاني خطوة بنجمع المعادلتين، أو بنطرحهم، عشان نحذف إحدى المتغيرات. ونحل المعادلة للمتغير اللي باقي، نوجد قيمته. وناخد القيمة دي، نعوّض بيها بالقيمة بتاعته اللي إحنا جِبناها، بإيجاد قيمة المتغيّر الآخر.

ناخد مثال على الكلام ده. مثال بيقول: حل النظام الآتي: خمسة س زائد تلاتة ص يساوي سالب تسعتاشر. تمنية س زائد تلاتة ص يساوي سالب خمسة وعشرين. أول خطوة عندنا، نخلّي معامل إحدى المتغيرات متساوي في المعادلتين، أو عكس إشارته.

هنا هنلاقي إن خمسة س وتمنية ص، مختلفين. تلاتة ص وتلاتة ص، متشابهين. فكده مش محتاجين إن إحنا نغيّر قيمة المعاملات، بإن إحنا مثلًا نضربها في عدد يخلّي الـ ص معاملها متساوي في المعادلتين. فإحنا هناخد المعادلات كده مباشرةً، من غير ما نضرب في أيّ أرقام، أو إن إحنا نغيّر في المعاملات.

تلاتة ص وتلاتة ص، هو نفس المعامل. يبقى كده عايزين نحذفه. علشان نحذفه، يبقى هنطرح المعادلتين. هنطرح المعادلتين من بعض. يبقى خمسة س ناقص تمنية س، هتساوي سالب تلاتة س. وكمان هنطرح تلاتة ص ناقص تلاتة ص، يبقى هيتحذفوا مع بعض. مش هيتبقّى عندنا حاجة. الكلام ده هيساوي سالب تسعتاشر ناقص ناقص خمسة وعشرين. هيبقى سالب تسعتاشر زائد خمسة وعشرين.

ما ننساش إن إحنا بنطرح كل الترمات اللي عندنا: السينات والصادات والحدّ المطلق، في الطرفين. يبقى كده قيمة الـ س هتساوي سالب اتنين. جِبنا قيمة الـ س، نوصل للخطوة التالتة، اللي هي هنعوّض بالقيمة اللي جِبناها، في أيّ معادلة من المعادلتين. لو عوضنا في المعادلة الأولانية. يبقى خمسة، الـ س بسالب اتنين، زائد تلاتة الـ ص اللي إحنا عايزين نجيب قيمتها، هتساوي سالب تسعتاشر. هنحل ونجيب قيمة الـ ص هتساوي سالب تلاتة.

يبقى كده الحل عندنا الزوج المرتب سالب اتنين، وسالب تلاتة. استخدمنا طريقة الحذف لمّا كان معامل الصادات والسينات، لا يساوي واحد أو سالب واحد. في الطريقة الأولانية، لمّا كان الـ ص معاملها واحد، قدرنا نستخدم طريقة التعويض. نقلب الصفحة، وناخذ مثال كمان.

المثال بيقول: حل النظام: خمسة س زائد تلاتة ص يساوي اتنين وخمسين. وخمستاشر س زائد تسعة ص يساوي أربعة وخمسين. هنشوف هنحل النظام ده إزّاي. دلوقتي عندنا معامل الـ س يساوي خمسة في المعادلة الأولانية، وخمستاشر في المعادلة التانية. الـ ص يساوي تلاتة، وتسعة في المعادلة التانية. يعني ما فيش معامل يساوي واحد. يعني مثلًا الـ ص قيمتها … معاملاتها مختلفة. ونفس الكلام بالنسبة للـ س. يبقى مش هنقدر نستخدم طريقة التعويض.

هنبصّ على طريقة الحذف. طريقة الحذف هنا المفروض إنه معامل الـ ص يبقى مساوي، أو معكوس للقيمة بتاعته في المعادلة التانية. يبقى معنى كده إن إحنا ممكن في المعادلتين دول، نقدر نخلّي معامل الـ ص متساوي، أو عكسه في المعادلة التانية. يعني ممكن نضرب المعادلة الأولانية، في معامل مشترك ما بين التلاتة والتسعة. يعني نضرب هنا في تلاتة، علشان تبقى تسعة ص زيّها زيّ المعادلة التانية.

وما ننساش إن إحنا هنضرب التلاتة، في كل ترمات المعادلة. يبقى معنى كده إن المعادلة الأولانية هتبقى بالشكل: خمستاشر س زائد تسعة ص يساوي مية ستة وخمسين. المعادلة التانية هتبقى زيّ ما هي: خمستاشر س زائد تسعة ص يساوي أربعة وخمسين. هنطرح المعادلتين من بعض، علشان نحذف المتغيّر ص.

هتبقى خمستاشر س ناقص خمستاشر س، تساوي صفر. زائد … تسعة ص ناقص تسعة ص، هتبقى صفر. هتساوي … مية ستة وخمسين ناقص أربعة وخمسين، يعني مية واتنين. طبعًا الكلام ده مش صحيح. المية واتنين لا تساوي الصفر. يبقى هنا لا يوجد حل للمعادلتين دول مع بعض. ويبقى النظام ده نظام غير متسق. لو الطرفين للمعادلة كانت قيم متساوية، يبقى معنى كده إن النظام ده نظام غير مستقل، ولكنه متسق.

اتكلمنا في الفيديو ده عن طريقة حل معادلتين خطيتين، باستخدام الحذف، أو التعويض. استخدمنا طريقة التعويض، لمّا كانت معاملات إحدى المتغيرات واحد، أو سالب واحد، في المعادلتين. واستخدمنا طريقة الحذف، لمّا كانوا معاملاتهم؛ يا إمّا نفس الإشارة، أو عكس الإشارة ونفس القيمة. بنستخدم الضرب علشان خاطر نغيّر قيمة المعامل، ونخلّيه متساوي في المعادلتين. الحلول الجبرية بتطلّع لنا حلول دقيقة. فيه أوقات بنستخدم الرسم والجدول، فبيطلّع لنا طرق مش دقيقة أوي كل مرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.