فيديو الدرس: تكامل الدوال ذات القيمة المتجهة الرياضيات • التعليم العالي

نسخة الفيديو النصية

الدالة ذات القيم المتجهة، أو الدالة المتجهة، هي دالة مجالها هو مجموعة من الأعداد الحقيقية ومداها مجموعة من المتجهات. عادة، نولي اهتمامًا أكبر للدوال المتجهة ‪𝐫‬‏، التي تكون قيمها متجهات ثلاثية الأبعاد. في هذا الفيديو، سنتناول كيفية الاستعانة بفهمنا للتفاضل والتكامل لمساعدتنا في إيجاد قيمة التكاملات المحددة وغير المحددة للدوال المتجهة في بعدين أو ثلاثة. لذا من المهم أن تكون على دراية تامة بكيفية اشتقاق أنواع الدوال المختلفة، بما في ذلك الدوال الكثيرة الحدود والدوال المثلثية والدوال الأسية، وتطبيق قواعد التكامل المختلفة.

يمكن تعريف التكامل المحدد لدالة متجهة متصلة ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بطريقة مماثلة تمامًا لتعريف الدوال ذات القيم الحقيقية فيما عدا أن التكامل في هذه الحالة متجه. لذا، يمكننا القول إن التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ يساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لمجموع ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡 𝐢‬‏ ستار في ‪𝛥𝑡‬‏ لقيم ‪𝐢‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏. بعد ذلك، يمكننا التعبير عن تكامل ‪𝐫‬‏ بدلالة تكامل مركباتها ‪𝑓‬‏ و‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏ كما هو موضح. وحينئذ، عند استخدام تعريف التكامل في صورة نهاية مجاميع ريمان، فسنلاحظ أنه يمكننا التعبير عن التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ في صورة التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡 𝐢‬‏. زائد التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡 𝐣‬‏. زائد التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡 𝐤‬‏. هذا رائع، لأنه يعني أنه يمكننا ببساطة إيجاد قيمة تكامل دالة متجهة من خلال إيجاد تكامل كل مركبة من مركباتها.

يمكننا أيضًا توسيع نطاق جزء من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لتشمل الدوال المتجهة المتصلة، بحيث يكون التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ هو المشتقة العكسية ‪𝐑‬‏ (بحرف كبير) عند ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝐑‬‏ عند ‪𝑎‬‏. لذا من المؤكد أن الأمر ليس معقدًا. فكل ما علينا فعله هو إيجاد تكامل كل مركبة من مركبات الدالة بالطريقة المعتادة. دعونا نر كيف يبدو ذلك.

احسب التكامل غير المحدد لأربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝑡‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝐣‬‏ زائد أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب ناقص خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝐤‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

هذه دالة ذات قيم متجهة. وهي تأخذ العدد الحقيقي ‪𝑡‬‏. وتنتج متجه موضع. ولإيجاد تكامل دالة ذات قيم متجهة، ما علينا سوى إيجاد تكامل كل مركبة بالطريقة المعتادة. إذن، سنوجد تكامل المركبة ‪𝐢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. وهي أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع. ثم نوجد تكامل المركبة ‪𝐣‬‏. وهي أربعة ‪𝑡‬‏ تربيع ناقص خمسة. ونوجد تكامل المركبة ‪𝐤‬‏، والتي تساوي أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب ناقص خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع زائد ثلاثة، وذلك بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. وهي دوال كثيرة الحدود. ونحن نعلم أنه لإيجاد تكامل أحد حدود دالة كثيرة الحدود أسه لا يساوي سالب واحد، نزيد الأس بمقدار واحد ونقسم على هذا العدد. هذا يعني أن تكامل أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب يساوي أربعة ‪𝑡‬‏ أس أربعة على أربعة. عند إيجاد تكامل ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع، نحصل على ثلاثة ‪𝑡‬‏ تكعيب على ثلاثة. هذا تكامل غير محدد بالطبع. لذا يجب أن يكون لدينا ثابت التكامل ‪𝑎‬‏. عند التبسيط بالكامل، نحصل على ‪𝑡‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ‪𝑎‬‏.

وبالمثل، عند إيجاد تكامل أربعة ‪𝑡‬‏ تربيع، نحصل على أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب على ثلاثة. تكامل سالب خمسة يساوي سالب خمسة ‪𝑡‬‏. بعد ذلك، نريد هنا ثابتًا آخر للتكامل ‪𝑏‬‏. في المركبة الأخيرة، عند إيجاد تكامل أربعة ‪𝑡‬‏ تكعيب، نحصل مرة أخرى على أربعة ‪𝑡‬‏ أس أربعة على أربعة. تكامل سالب خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع يساوي سالب خمسة ‪𝑡‬‏ تكعيب على ثلاثة. وتكامل ثلاثة يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏. دعونا الآن نجعل ثابت التكامل الأخير ‪𝑐‬‏. يمكن تبسيط هذا كما هو موضح.

نكتب هذه القيم في الصورة المتجهة. عندئذ نلاحظ أن التكامل يساوي ‪𝑡‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ‪𝑎 𝐢‬‏ زائد أربعة أثلاث ‪𝑡‬‏ تكعيب ناقص خمسة ‪𝑡‬‏ زائد ‪𝑏 𝐣‬‏ زائد ‪𝑡‬‏ أس أربعة ناقص خمسة أثلاث ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ زائد ‪𝑐 𝐤‬‏. لاحظ أن كلًا من هذه المركبات تتضمن ثابتًا خاصًا بها. لذا، يمكننا دمج هذه الثوابت وتكوين متجه ثابت ‪𝐂‬‏. وهذا يعني أن التكامل يساوي ‪𝑡‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب ‪𝐢‬‏ زائد أربعة أثلاث ‪𝑡‬‏ تكعيب ناقص خمسة ‪𝑡 𝐣‬‏ زائد ‪𝑡‬‏ أس أربعة ناقص خمسة أثلاث ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑡 𝐤‬‏ زائد حرف ‪𝐂‬‏ كبير، والذي يمثل متجهًا ثابتًا.

سنتناول الآن كيف تختلف هذه العملية عند إيجاد قيمة تكامل محدد.

أوجد قيمة التكامل المحدد بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة لـ ‪sec 𝑡 tan 𝑡 𝐢‬‏ زائد ‪𝑡‬‏ في ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡 𝐣‬‏ زائد ‪sin‬‏ تربيع لـ اثنين ‪𝑡‬‏ في ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡 𝐤‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

تذكر أنه لإيجاد تكامل دالة ذات قيم متجهة، ما علينا سوى إيجاد التكامل لكل مركبة بالطريقة المعتادة. بما أن هذا التكامل محدد، يمكننا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، والتي تنص على أن التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ يساوي المشتقة العكسية ‪𝐑‬‏ عند ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝐑‬‏ عند ‪𝑎‬‏. إذن، ما سنقوم به في الأساس هو إيجاد تكامل كل مركبة بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ وإيجاد قيمة كل منها على حدة بين الحدين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة.

دعونا نكمل هذه العملية للمركبة ‪𝐢‬‏. هذا يساوي التكامل المحدد بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة لـ ‪sec 𝑡 tan 𝑡‬‏. لعلك تتذكر أن مشتقة ‪sec 𝑡‬‏ تساوي ‪sec 𝑡 tan 𝑡‬‏. هذا يعني أن المشتقة العكسية لـ ‪sec 𝑡 tan 𝑡‬‏ تساوي حتمًا ‪sec 𝑡‬‏. لذا نستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. ونلاحظ أن هذا يساوي ‪sec 𝜋‬‏ على أربعة ناقص ‪sec‬‏ صفر. لكن بالطبع ‪sec 𝑡‬‏ يساوي واحدًا على ‪cos 𝑡‬‏. لذا علينا إيجاد قيمة واحد على ‪cos 𝜋‬‏ على أربعة ناقص واحد على ‪cos‬‏ صفر. هذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين ناقص واحد.

لقد أفرغنا مساحة لكي نوجد قيمة التكامل المحدد بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة لـ ‪𝑡‬‏ في ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. هذه المرة، لدينا حاصل ضرب دالتين. لذا، سنستخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد القيمة. هذا يوضح أن تكامل ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ في ‪𝑣‬‏ ناقص تكامل ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. سنفترض أن ‪𝑢‬‏ تساوي ‪𝑡‬‏. وذلك لأننا نعلم أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي واحدًا. هذا يجعل التكامل الثاني أسهل بكثير. هذا يعني أن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يكون حتمًا ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. بعد ذلك، المشتقة العكسية لـ ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ تعطينا قيمة ‪𝐯‬‏. وهي تساوي نصف ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏.

بالطبع، المتغير الذي نستخدمه هنا هو ‪𝑡‬‏ وليس ‪𝑥‬‏. فيما عدا ذلك، فإن عمليات التعويض مماثلة. لدينا ‪𝑢‬‏ في ‪𝑣‬‏. وهو ما يساوي ‪𝑡‬‏ في نصف ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏، والذي سنوجد قيمته بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة ناقص التكامل المحدد بين هذين الحدين لنصف ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑡‬‏، وهو ما يساوي واحدًا. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. عندئذ، نلاحظ أن علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد بين صفر و‪𝜋‬‏ على أربعة لنصف ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. حسنًا، المشتقة العكسية لنصف ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ تساوي سالب ربع ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. وإذا أردنا، يمكننا تجميع هذه الحدود ثم إيجاد قيمتها بين الحدين صفر و ‪𝜋‬‏ على أربعة. عند التعويض بالحد ‪𝜋‬‏ على أربعة، نحصل على ‪𝜋‬‏ على ثمانية زائد صفر. وعند التعويض بصفر، نحصل على صفر زائد ربع. وبذلك، نحصل على ‪𝜋‬‏ على ثمانية ناقص ربع.

دعونا نفرغ بعض المساحة لإيجاد قيمة التكامل المحدد الأخير. هذه المرة، سنستخدم التكامل بالتعويض. سنفترض أن ‪𝑢‬‏ تساوي ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. نحن نعلم أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑡‬‏، أي مشتقة ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏، تساوي اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. وعلى الرغم من أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑡‬‏ ليس كسرًا، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة نصف ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡 d𝑡‬‏. بعد ذلك، يمكننا تغيير الحد. لذا، نستخدم التعويض للقيام بذلك. يكون الحد الأدنى عند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا. وعند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، فإن ‪𝑢‬‏ تساوي ‪sin‬‏ اثنين في صفر، أي صفرًا. عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة، فإن ‪𝑢‬‏ تساوي ‪sin‬‏ اثنين في ‪𝜋‬‏ على أربعة، أي واحدًا.

بعد ذلك نعوض عن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑢‬‏. ‏‏‪‏‬‏كما يمكننا التعويض عن ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ بنصف ‪d𝑢‬‏. بالطبع، علينا التأكد من أننا عوضنا عن حدي التكامل. يمكننا أخذ العامل الثابت، أي النصف، خارج التكامل والتركيز على إيجاد تكامل ‪𝑢‬‏ تربيع نفسها. وينتج عن هذا ‪𝑢‬‏ تكعيب على ثلاثة. عند التعويض بالحدين، نحصل على نصف في واحد تكعيب على ثلاثة ناقص صفر تكعيب على ثلاثة، وهو ما يساوي سدسًا. الآن، بعد أن أوجدنا قيم التكامل لكل مركبة من مركبات الدالة، أصبحنا مستعدين لإعادة كتابة ذلك على الصورة المتجهة. وهي جذر اثنين ناقص واحد ‪𝐢‬‏ زائد ‪𝜋‬‏ على ثمانية ناقص ربع ‪𝐣‬‏ زائد سدس ‪𝐤‬‏.

دعونا نتناول مثالًا على هذه الصورة.

أوجد قيمة التكامل المحدد بين صفر وواحد للجذر التكعيبي لـ ‪𝑡 𝐢‬‏ زائد واحد على ‪𝑡‬‏ زائد واحد ‪𝐣‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑡 𝐤‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

تذكر أنه لإيجاد تكامل دالة ذات قيم متجهة، ما علينا سوى إيجاد التكامل لكل مركبة بالطريقة المعتادة. وبما أن هذا التكامل محدد، يمكننا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل وتطبيقها على دوال متجهة متصلة كما هو موضح. ‏‏‪𝐑‬‏ (بحرف كبير) هنا هي بالطبع المشتقة العكسية لـ ‪𝐫‬‏ (بحرف صغير). إذن، دعونا نوجد التكامل لكل مركبة بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏، ونوجد قيمته بين الحدين صفر وواحد بالطريقة المعتادة. سنبدأ بإيجاد المركبة ‪𝐢‬‏. وهي تساوي الجذر التكعيبي لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. في الواقع، إذا كتبنا الجذر التكعيبي لـ ‪𝑡‬‏ في صورة ‪𝑡‬‏ أس ثلث، فسيصبح الأمر أسهل قليلًا. فعندئذ، نزيد الأس بمقدار واحد ثم نقسم على القيمة الجديدة. وبذلك نحصل على ثلاثة أرباع ‪𝑡‬‏ أس أربعة على ثلاثة. بعد ذلك، عند إيجاد قيمة هذا المقدار بين الحدين صفر وواحد، نحصل على ثلاثة أرباع لواحد أس أربعة على ثلاثة ناقص ثلاثة أرباع لصفر أس أربعة على ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة أرباع.

بعد ذلك، نوجد تكامل مركبة الدالة في اتجاه ‪𝐣‬‏. وهي تساوي واحدًا على واحد زائد ‪𝑡‬‏. يمكننا بعد ذلك الاستعانة بأن التكامل غير المحدد لـ ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑡‬‏ على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ زائد ثابت ما للتكامل ‪𝑐‬‏. حسنًا، واحد يساوي مشتقة واحد زائد ‪𝑡‬‏. إذن، تكامل واحد على واحد زائد ‪𝑡‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد ‪𝑡‬‏. علينا إيجاد قيمة هذا بين صفر وواحد. لاحظ أننا لم نضع ثابت التكامل هنا لأن هذا تكامل محدد. وبالتالي يلغي كل منهما الآخر. وبذلك نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد صفر. لم يعد هناك داع لعلامة القيمة المطلقة؛ لأننا نعلم أن كلًا من واحد زائد واحد وواحد زائد صفر أكبر من صفر. إذن، هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد، وهذا بالطبع يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين فحسب.

وأخيرًا، نوجد المركبة ‪𝐤‬‏. ‏‏‪‏‬‏هذا يساوي التكامل المحدد بين صفر وواحد لـ ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑡‬‏. تكامل ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑡‬‏. إذن، لدينا سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب واحد ناقص سالب ‪𝑒‬‏ أس صفر، وهو ما يساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب واحد زائد واحد أو واحدًا ناقص واحد على ‪𝑒‬‏. وبهذا نكون قد أوجدنا تكامل كل مركبة من مركبات الدالة بنجاح. لذا دعونا نعد هذه القيم إلى الصورة المتجهة. التكامل المحدد يساوي ثلاثة أرباع ‪𝐢‬‏ زائد اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝐣‬‏ زائد واحد ناقص واحد على ‪𝑒 𝐤‬‏. من المهم إدراك أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة على مسائل القيمة الابتدائية.

حل المعادلة التفاضلية ‪d𝐫‬‏ على ‪d𝑡‬‏ تساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝐢‬‏ زائد خمسة ‪𝑡 𝐣‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝐤‬‏، إذا كانت ‪𝐫‬‏ لصفر تساوي خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص اثنين ‪𝐤‬‏.

تذكر أنه يمكننا البدء بإعادة كتابة المعادلة التفاضلية في صورة ‪d𝐫‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝐢‬‏ زائد خمسة ‪𝑡 𝐣‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪𝐤 d𝑡‬‏. بعد ذلك، يمكننا إيجاد التكامل لطرفي المعادلة. تكامل ‪d𝐫‬‏ هو نفسه تكامل واحد بالنسبة إلى ‪𝐫‬‏. لذا، فهو يساوي ‪𝐫‬‏ زائد ثابت ما للتكامل ‪𝐜‬‏ واحد. في الواقع، يجب أن تكون قيمة ‪𝐜‬‏ واحد قيمة متجهة نظرًا لأن ‪𝐫‬‏ نفسها دالة ذات قيم متجهة. بعد ذلك، نوجد تكامل كل مركبة من مركبات الدالة على حدة. وبذلك نحصل على ‪𝑡‬‏ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ زائد ثابت ما لـ ‪𝐢‬‏، وخمسة ‪𝑡‬‏ تربيع على اثنين زائد ثابت ما لـ ‪𝐣‬‏، و‪𝑡‬‏ تكعيب زائد ثابت إضافي لـ ‪𝐤‬‏. وقد قمت بتجميع كل هذه الثوابت في متجه ثابت واحد، وهو ‪𝐜‬‏ اثنين.

لنطرح الآن ‪𝐜‬‏ واحد من الطرفين. نلاحظ أننا نريد إيجاد قيمة هذا المتجه الثابت ‪𝐜‬‏. لذا يمكننا استخدام حقيقة أن ‪𝐫‬‏ لصفر تساوي خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص اثنين ‪𝐤‬‏ للقيام بهذا. لذا نعوض عن ‪𝐫‬‏ بالقيمة خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص اثنين ‪𝐤‬‏، ونعوض عن ‪𝑡‬‏ بصفر. وبهذا نحصل على خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص اثنين ‪𝐤‬‏ يساوي صفر ‪𝐢‬‏ زائد صفر ‪𝐣‬‏ زائد صفر ‪𝐤‬‏. بالطبع لن نحتاج هذه القيم. لذا، نجد أن ‪𝐜‬‏ يساوي حتمًا خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص اثنين ‪𝐤‬‏. يمكننا التعويض عن ‪𝐜‬‏ بهذا المتجه. بعد ذلك، يمكننا تجميع قيم ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏. عند فعل هذا، نجد أن ‪𝐫‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏ زائد خمسة ‪𝐢‬‏ زائد خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع على اثنين زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ زائد ‪𝑡‬‏ تكعيب ناقص اثنين ‪𝐤‬‏.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد قيمة التكامل لدالة ذات قيم متجهة من خلال إيجاد تكامل كل مركبة من مركباتها. يمكن تطبيق هذه العملية على التكامل المحدد وغير المحدد. يمكننا أيضًا توسيع نطاق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لتشمل الدوال ذات القيم المتجهة، حيث التكامل المحدد بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ لـ ‪𝐫‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ يساوي المشتقة العكسية ‪𝐑‬‏ عند ‪𝑏‬‏ ناقص المشتقة العكسية عند ‪𝑎‏‬‏.