فيديو السؤال: إيجاد صيغة محيط مثلث باستخدام قاعدة الجيب الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ﺃﺏﺟ مثلث أضلاعه ﺃﺏ يساوي جـ شرطة، ﺃﺟ يساوي ب شرطة، ﺏﺟ يساوي أ شرطة. إذا كان محيط المثلث ﺃﺏﺟ يساوي ﺡ، فأي العلاقات الموضحة يمكننا استخدامها لكتابة المحيط بدلالة جيب الزوايا باستخدام قاعدة الجيب؟ هل خيار الإجابة (أ) ﺡ يساوي جا الزاوية ﺃ زائد جا الزاوية ﺏ زائد جا الزاوية ﺟ الكل مقسوم على جا الزاوية ﺃ؟ أم خيار الإجابة (ب) ﺡ يساوي أ شرطة في جا ﺃ زائد جا ﺏ زائد جا ﺟ الكل مقسوم على جا ﺃ؟ أم الخيار (ج) المحيط يساوي ب شرطة في جا ﺃ زائد جا ﺏ زائد جا ﺟ الكل مقسوم على جا ﺃ؟ أم الخيار (د) المحيط يساوي جـ شرطة في جا ﺃ زائد جا ﺏ زائد جا ﺟ الكل مقسوم على جا ﺃ؟ أم الخيار (هـ) المحيط يساوي أ شرطة في حاصل ضرب جا ﺃ في جا ﺏ في جا ﺟ على جا ﺃ؟

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن مثلث. لذا، يمكننا البدء برسم صورة لهذا المثلث. أولًا، سنسمي رءوس المثلث ﺃ، ﺏ، ﺟ. بعد ذلك، يمكننا تسمية أطوال أضلاع المثلث. تجدر الإشارة أيضًا هنا إلى أن ﺃ، ﺏ، ﺟ لا تمثل رءوس المثلث فحسب، بل تمثل أيضًا الزوايا الداخلية عند هذه الرءوس للمثلث. لكن هذه المعلومات ليست كافية لنكمل. ويمكن أن يكون هذا، في الواقع، أي مثلث محتمل.

علينا إيجاد تعبير عن محيط هذا المثلث. تذكر أن هذا سيساوي مجموع جميع أطوال الأضلاع التي تكون المثلث. إذن، سنبدأ بالمعادلة التالية: المحيط يساوي مجموع أطوال أضلاع المثلث. إذن، ﺡ سيساوي أ شرطة زائد ب شرطة زائد جـ شرطة. تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد تعبير عن المحيط بدلالة جيب زوايا المثلث، وعلمنا أن علينا فعل ذلك باستخدام قاعدة الجيب.

لذا، دعونا نبدأ بتذكر قاعدة الجيب أو قانون الجيب. تخبرنا إحدى صيغ هذا القانون بأنه إذا كانت أ شرطة، وب شرطة، وجـ شرطة أطوال أضلاع، في مثلث، مقابلة للزوايا ﺃ، وﺏ، وﺟ على الترتيب، فإن أ شرطة على جا ﺃ يساوي ب شرطة على جا ﺏ يساوي جـ شرطة على جا ﺟ. وبما أننا علمنا من السؤال أن ﺃﺏﺟ يمثل مثلثًا، إذن لا بد أن ينطبق قانون الجيب على هذا المثلث.

في الواقع، يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا بها استخدام قانون الجيب لإعادة كتابة المحيط. علينا تحديد أي واحد منهم سنستخدمه. ولفعل ذلك، علينا إلقاء نظرة على الإجابات. يمكننا أن نلاحظ أنه يوجد شيء مشترك بين جميع الإجابات. في مقام الكسر، لدينا جا الزاوية ﺃ. وهذا يعني أنه عندما نعيد كتابة المحيط، علينا أن نضع جا ﺃ في المقام. ومن ثم، عندما نعيد كتابة معادلة المحيط، نريد إعادة كتابة أ شرطة، وب شرطة، وجـ شرطة بدلالة جا ﺃ.

في الواقع توجد بضعة طرق مختلفة لإجراء ذلك. لنبدأ بالجزأين الأولين من هذه المعادلة. وهذا يعني أ شرطة على جا ﺃ يساوي ب شرطة على جا ﺏ. نريد استخدام ذلك لإيجاد تعبير عن ب شرطة بدلالة جا ﺃ. حسنًا، يمكننا فقط إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ب شرطة في طرف بمفرده. علينا فقط ضرب الطرفين في جا ﺏ. فنحصل على ب شرطة يساوي أ شرطة في جا ﺏ مقسومًا على جا ﺃ.

والأهم من ذلك، هو أن يكون جا ﺃ في مقام هذا التعبير. يمكننا التعويض بذلك في معادلة المحيط ﺡ. بالطبع، سنحتاج إلى فعل الشيء نفسه تمامًا مع جـ شرطة. لكن هذه المرة سنحتاج إلى استخدام حقيقة أن أ شرطة على جا ﺃ يساوي جـ شرطة على جا ﺟ.

ومثلما فعلنا من قبل، نريد استخدام هذه المعادلة لإيجاد مقدار يعبر عن الطول جـ شرطة. ولفعل ذلك، سنضرب كلا الطرفين في جا ﺟ. وهذا يعطينا جـ شرطة يساوي أ شرطة في جا ﺟ الكل مقسومًا على جا ﺃ. ومرة أخرى، سنعوض بذلك في معادلة المحيط ﺡ.

لكن يبدو الآن أننا نواجه مشكلة. لا يمكننا فعل الشيء نفسه تمامًا لإيجاد تعبير عن أ شرطة. وبدلًا من ذلك، علينا فقط أن نلاحظ أننا نريد كتابة أ شرطة بحيث يكون مقامه جا ﺃ. وإحدى طرق فعل ذلك هي كتابة أ شرطة على صورة كسر بهذه الصورة مباشرة. سنكتبه على صورة أ شرطة في جا ﺃ مقسومًا على جا ﺃ. ومن ثم، نكون قد أوجدنا التعبير التالي عن محيط المثلث ﺡ.

وقبل أن نتابع، ثمة أمر مثير للاهتمام بشأن جا ﺃ يجدر بنا الإشارة إليه. تذكر أننا علمنا من السؤال أن ﺃﺏﺟ يكون مثلثًا. ويعني هذا تحديدًا أن قياس الزاوية ﺃ لا يساوي صفرًا، ولا يساوي ١٨٠ درجة. بل يساوي قيمة زاوية بين هاتين القيمتين. ومن المفيد معرفة ذلك لأنه يعني أن جا ﺃ لا يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، لا نقسم على صفر في هذا التعبير.

في الواقع، يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنخرج العامل المشترك للضلع أ شرطة من هذا التعبير. بعد ذلك، سنكتب هذا التعبير على صورة كسر واحد مقسوم على جا ﺃ. يعطينا فعل ذلك محيط المثلث ﺡيساوي أ شرطة في جا ﺃ زائد جا ﺏ زائد جا ﺟ الكل مقسوم على جا ﺃ، وهو ما يمكننا ملاحظة أنه كان الخيار (ب).

ومن ثم، في هذا السؤال، تمكنا من استخدام قاعدة الجيب لإيجاد تعبير عن محيط أي مثلث معطى بمعلومية طول ضلع واحد فقط وجميع قياسات زوايا المثلث. وتمكنا من توضيح أن المحيط ﺡ لهذا المثلث يساوي أ شرطة في جا ﺃ زائد جا ﺏ زائد جا ﺟ الكل مقسومًا على جا الزاوية ﺃ.