فيديو السؤال: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة في الصورة الجبرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي سالب ثمانية ﺕ، فأوجد الجذور التربيعية للعدد ﻉ دون تحويله إلى الصورة المثلثية.

بما أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي للعدد المركب ﻉ يساوي سالب ثمانية ﺕ، فسنعطي لهذا الجذر التربيعي الصيغة ﻭ يساوي ﺱ زائد ﺕﺹ؛ بحيث يكون ﺱ هو الجزء الحقيقي، وﺹ هو معامل الجزء التخيلي للجذر التربيعي. إذا كان ﻭ هو الجذر التربيعي لـ ﻉ، فإن ﻭ تربيع يساوي ﻉ، أي سالب ثمانية ﺕ. وبما أن ﻭ يساوي ﺱ زائد ﺕﺹ، إذن ﺱ زائد ﺕﺹ تربيع يساوي سالب ثمانية ﺕ. إذا فككنا الطرف الأيمن، فسيصبح لدينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺕﺱﺹ ناقص ﺹ تربيع يساوي سالب ثمانية ﺕ. وبمقارنة الجزء الحقيقي والتخيلي في الطرف الأيمن، نجد أن ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا، واثنين ﺱﺹ يساوي سالب ثمانية.

وتوضح المعادلة الثانية أن ﺱﺹ يساوي سالب ثمانية على اثنين؛ مما يساوي سالب أربعة. ويخبرنا هذا أن إشارتي ﺱ وﺹ غير متماثلتين. أي إنه إذا كانت إشارة ﺱ موجبة، فلا بد أن تكون إشارة ﺹ سالبة، والعكس صحيح. نتذكر الآن أنه بالنسبة إلى العدد المركب ﻉ، الذي يساوي ﺃ زائد ﺕﺏ، فإن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ويعني هذا أن مقياس ﻉ تربيع هو ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وبتطبيق ذلك على الجذر التربيعي ﻭ، حيث ﻭ يساوي ﺱ زائد ﺕﺹ، نجد أن مقياس ﻭ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. ولا بد أن يساوي هذا مقياس العدد المركب الأصلي ﻉ يساوي سالب ثمانية ﺕ. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد سالب ثمانية تربيع، أي ثمانية، إذن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ثمانية.

والآن، لدينا معادلتان يمكننا حلهما لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. وهما ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا، وﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ثمانية. سنفرغ بعض المساحة ونبدأ، فنسمي المعادلة الأولى المعادلة واحد، وهي ﺱ تربيع ناقص ﺹ تربيع يساوي صفرًا. والمعادلة اثنان هي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ثمانية. بجمع المعادلتين واحد واثنين، نحصل على اثنين ﺱ تربيع يساوي ثمانية. ويعني هذا أن ﺱ تربيع يساوي أربعة، وعليه، ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين.

تخبرنا المعادلة واحد أن ﺱ تربيع يساوي ﺹ تربيع، لذا إذا كان ﺱ موجب أو سالب اثنين، فإن قيم ﺹ المناظرة لها ستكون سالب أو موجب اثنين. تذكر أن الجذور التربيعية هي ﻭ يساوي ﺱ زائد ﺕﺹ، وباستخدام قيمتي ﺱ وﺹ اللتين أوجدناهما، فإن الجذرين التربيعيين لـ ﻉ، الذي يساوي سالب ثمانية ﺕ، هما اثنان ناقص اثنين ﺕ وسالب اثنين زائد اثنين ﺕ.