نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺱ أس أربعة ناقص ٨١ مقسومًا على ﺱ تكعيب ناقص ٢٧.
نلاحظ هنا أن السؤال يطلب منا حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لخارج قسمة كثيرتي حدود. ونطلق على هذه دوال كسرية. نحن نعلم أنه يمكننا محاولة إيجاد قيمة الدوال الكسرية باستخدام التعويض المباشر. عند التعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على ثلاثة أس أربعة ناقص ٨١ مقسومًا على ثلاثة تكعيب ناقص ٢٧. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على صفر مقسومًا على صفر. هذه صيغة غير معينة. وهذا يخبرنا أنه لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية مباشرة باستخدام التعويض. لذا، سيكون علينا أن نجرب طريقة مختلفة لإيجاد قيمة هذه النهاية.
هناك طرق مختلفة لإيجاد قيمة هذه النهاية. وأسهل طريقة هي ملاحظة أن الدالة الكسرية تساوي ﺱ أس أربعة ناقص ثلاثة أس أربعة مقسومًا على ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة تكعيب. وفي الواقع، هناك طريقة قياسية لإيجاد قيم النهايات على هذه الصورة. يمكننا حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ، وتساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. ويمكننا هنا ملاحظة أننا أعدنا كتابة الدالة الكسرية على هذه الصورة؛ حيث ﻥ يساوي أربعة، وﻡ يساوي ثلاثة، وﺃ يساوي ثلاثة.
إذن، باستخدام هذه النتيجة وقيم ﺃ وﻥ وﻡ، نجد أن النهاية تساوي أربعة أثلاث في ثلاثة أس أربعة ناقص ثلاثة. ويمكننا تبسيط ذلك. ثلاثة أس أربعة ناقص ثلاثة يساوي ثلاثة أس واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. وأربعة أثلاث في ثلاثة يساوي أربعة. وهذه هي أسهل طريقة لتوضيح أن النهاية المعطاة في المسألة تساوي أربعة.
يمكننا أيضًا إيجاد قيمة النهاية المعطاة باستخدام نظرية العوامل الخطية. عندما استخدمنا التعويض المباشر لمحاولة إيجاد قيمة هذه النهاية، رأينا أنه عند التعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة في كثيرة الحدود بالبسط وكثيرة الحدود بالمقام، وجدنا أننا حصلنا على صفر في كل من البسط والمقام. وتخبرنا نظرية العوامل الخطية أنه إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي ثلاثة في كثيرة الحدود ونتج عن ذلك صفر، فإن ﺱ ناقص ثلاثة يجب أن يكون عاملًا لكثيرة الحدود هذه.
لذا، يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية عن طريق إخراج العامل ﺱ ناقص ثلاثة. هذا يعني أننا سنأخذ العامل ﺱ ناقص ثلاثة من كثيرة الحدود في البسط وكثيرة الحدود في المقام. هناك طرق مختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القسمة الجبرية. لكن هناك طريقة أبسط لإخراج العامل ﺱ ناقص ثلاثة من البسط.
نلاحظ أن البسط هنا هو فرق بين مربعين. ونجد أن ﺱ أس أربعة يساوي ﺱ تربيع تربيع، و٨١ يساوي تسعة تربيع. ونحن نعرف أنه يمكننا تحليل الفرق بين المربعين؛ ﺏ تربيع ناقص ﺟ تربيع، على الصورة ﺏ ناقص ﺟ مضروبًا في ﺏ زائد ﺟ. إذن، يمكننا تحليل البسط إلى ﺱ تربيع ناقص تسعة في ﺱ تربيع زائد تسعة. وبعد ذلك، يمكننا مجددًا ملاحظة أن ﺱ تربيع ناقص تسعة هو فرق بين مربعين؛ لأن تسعة يساوي ثلاثة تربيع. ومن ثم، بإمكاننا تحليل ذلك باستخدام الفرق بين مربعين مرة أخرى. ومن ثم، نحصل على ﺱ تربيع ناقص تسعة يساوي ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة.
وبهذا، نكون قد حللنا البسط لنجد أن ﺱ أس أربعة ناقص ٨١ يساوي ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ تربيع زائد تسعة. والآن، نريد أن نأخذ العامل ﺱ ناقص ثلاثة خارج القوس في المقام. وهناك طرق مختلفة لإجراء ذلك. سنلاحظ أننا نحتاج إلى عامل خطي مضروب في عامل تربيعي لنحصل على كثيرة الحدود التكعيبية. لكننا لا نعرف معاملات هذا العامل التربيعي. سنطلق على هذه المعاملات ﺃ وﺏ وﺟ.
لإيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ، سنضرب العامل الخطي في العامل التربيعي، ثم نساوي المعاملات الناتجة بمعاملات كثيرة الحدود التكعيبية. سنبدأ بمساواة الحد الثابت. نلاحظ هنا أن الثابت لدينا يساوي سالب ٢٧. وعند ضرب العامل الخطي والعامل التربيعي، نلاحظ أن الثابت سيساوي سالب ثلاثة في ﺟ. إذن، علينا مساواة هذين الثابتين. لدينا سالب ٢٧ يساوي سالب ثلاثة ﺟ. ونقسم كلا الطرفين على سالب ثلاثة، لنجد أن ﺟ يساوي تسعة.
دعونا نفعل الأمر نفسه بمساواة معاملي ﺱ تكعيب. في كثيرة الحدود التكعيبية، معامل ﺱ تكعيب يساوي واحدًا. وعندما نضرب العامل الخطي في العامل التربيعي، نجد أن معامل ﺱ تكعيب يساوي ﺃ في واحد؛ وهذا يساوي ﺃ. ومرة أخرى، سنساوي هذه المعاملات لنجد أن ﺃ يساوي واحدًا.
والآن، علينا إيجاد قيمة ﺏ. وقد يبدو من الصعب تحديد كيفية فعل ذلك؛ حيث يبدو أنه ليس لدينا معاملات أخرى لمقارنتها. لكن، تذكر أنه يمكننا ببساطة إضافة الحد صفر ﺱ تربيع. وهذا لا يغير قيمة كثيرة الحدود التكعيبية.
يمكننا الآن مقارنة معاملات ﺱ تربيع. في كثيرة الحدود التكعيبية، معامل ﺱ تربيع يساوي صفرًا. ويجب أن ننتبه هنا. عند ضرب العامل الخطي في العامل التربيعي، توجد طريقتان نحصل بهما على معاملات ﺱ تربيع. فعند ضرب هذين العاملين، سيكون الحد المتضمن لـ ﺱ تربيع هو ﺏﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ تربيع. لذا، فإن معامل ﺱ تربيع سيكون ﺏ ناقص ثلاثة.
وكما فعلنا من قبل، سنساوي هذين المعاملين. ويصبح لدينا صفر يساوي ﺏ ناقص ثلاثة. ويمكننا إعادة الترتيب فقط لنلاحظ أن ﺏ يساوي ثلاثة. وبذلك، نكون قد حللنا المقام. هذا يعطينا ﺱ تكعيب ناقص ٢٧ يساوي ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد تسعة.
لإيجاد قيمة هذه النهاية، سنحذف العامل المشترك ﺱ ناقص ثلاثة من البسط والمقام. يمكننا فعل ذلك بما أنه لن يغير النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لهذه الدالة. لذا، سنحاول الآن إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ تربيع زائد تسعة مقسومًا على ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد تسعة.
هذه دالة كسرية. لذا يمكننا محاولة إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على ثلاثة زائد ثلاثة في ثلاثة تربيع زائد تسعة مقسومًا على ثلاثة تربيع زائد ثلاثة في ثلاثة زائد تسعة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على أربعة.
إذن، لقد أوضحنا بطريقتين مختلفتين أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺱ أس أربعة ناقص ٨١ مقسومًا على ﺱ تكعيب ناقص ٢٧ تساوي أربعة.
