فيديو السؤال: تحديد إشارة الدوال التربيعية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

حدد أين تكون إشارة الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ موجبة.

حسنًا، إذا أردنا تحديد أين تكون إشارة الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ موجبة، فإن ما علينا فعله هو تكوين متباينة. وهذه المتباينة هي ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ أكبر من صفر. حسنًا، إذا أردنا حل متباينة كهذه، أول ما علينا فعله هو أن نساويها بالصفر. وعلينا فعل ذلك لأن ما نحاول إيجاده هو القيم الحرجة. وهذا لأن لدينا متباينة تربيعية.

حسنًا، إذا كان ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ يساوي صفرًا، فتوجد طريقتان لإيجاد القيم الحرجة. أولًا، يمكننا إيجاد الحلول عن طريق التحليل. فبالتحليل، نجد أن ما لدينا هنا هو فرق بين مربعين. وكما نلاحظ أن ٤٠٠ يساوي ٢٠ تربيع، فما سنحصل عليه هو ﺱ زائد ٢٠ مضروبًا في ﺱ ناقص ٢٠. ومن ثم، فمن ذلك، إذا أردنا إيجاد قيم ﺱ، فإننا نساوي ما بداخل كل قوسين بصفر. نفعل ذلك لأنه إذا كان أحد هذين العاملين يساوي صفرًا، فإننا نضرب فيما بداخل القوسين الآخرين. لا يهم ما هي قيمته. فإن الإجابة ستكون صفرًا.

إذن، إذا كان ﺱ زائد ٢٠ يساوي صفرًا، فهذا يعني أننا نعلم أن ﺱ يساوي سالب ٢٠. وإذا كان لدينا ﺱ ناقص ٢٠ يساوي صفرًا، عندئذ نعلم أن ﺱ سيساوي ٢٠. والطريقة الثانية التي كان بإمكاننا استخدامها هي إضافة ٤٠٠ إلى كلا طرفي المعادلة. وكان بإمكاننا إضافة ﺱ تربيع يساوي ٤٠٠، ثم أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. وهذا سيعطينا الإجابة نفسها؛ لأننا سنحصل بالفعل على ﺱ يساوي موجب أو سالب ٢٠.

حسنًا، رائع، لقد حصلنا على القيم الحرجة، ماذا نفعل إذن؟ كيف يمكننا أن نحدد أين تكون إشارة الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ موجبة؟ حسنًا، لمساعدة أنفسنا، يمكننا رسم شكل توضيحي. وما فعلته هنا هو أنني رسمت شكلًا توضيحيًّا. بذلك أكون قد أوضحت أن الدالة تشبه قطعًا مكافئًا على شكل حرف U. وهذا لأن لدينا حد ﺱ تربيع وهو موجب. كما أوضحت أن المنحنى يقطع المحور ﺱ عند سالب ٢٠، وموجب ٢٠. وذلك لأن هذه هي القيم الحرجة. وما أوضحته أيضًا هو النقطة التي يقطع عندها المنحى المحور ﺹ. وهذا ليس ضروريًّا بوجه عام. لكنني فعلت ذلك فقط لتوضيح الأمر. ونوجد ذلك عن طريق التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا. وإذا فعلنا ذلك في الدالة لدينا، فسنحصل على صفر ناقص ٤٠٠ يساوي قيمة د ﺱ. إذن، قيمة د ﺱ تساوي سالب ٤٠٠.

والآن يمكننا استخدام ذلك لمساعدتنا في حل المتباينة لأننا نبحث عن المنطقة التي تكون فيها قيمة الدالة ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ أكبر من صفر. ومن ثم، ما نريده هو كل الأجزاء التي تقع أعلى المحور ﺱ. وإذا أردنا إعادة كتابة ذلك باستخدام ترميز المتباينة، يمكننا القول إن ﺱ أصغر من سالب ٢٠ أو ﺱ أكبر من ٢٠. لكن إذا أوضحنا ذلك باستخدام ترميز الفترة، يمكننا القول إننا حددنا الفترة التي تكون فيها إشارة الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٤٠٠ موجبة. وهي موجبة عند جميع الأعداد الحقيقية باستثناء بعض القيم. وقد كتبنا ذلك على الصورة ﺡ ثم ناقص. ومن ثم، نكتب الفترة بين سالب ٢٠ و٢٠. ونحن نستخدم قوسي فترة مغلقة لتوضيح أنها تتضمن سالب ٢٠ و٢٠. ذلك لأن هذه القيم لن تكون صحيحة، كما أوضحنا في المتباينة.

وبذلك نكون قد انتهينا من حل المسألة والمتباينة وحصلنا على الإجابة بصورتين.