نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستفيد من فهمنا للنسب في حل المسائل الكلامية. وسوف نبدأ باسترجاع ما نعنيه بكلمة «نسبة» وكيف يمكن استخدامها في الرياضيات.
النسبة توضح المقادير المتناسبة لقيمتين أو أكثر. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ١٢ ولدًا وثماني بنات في أحد الفصول، فيمكننا كتابة نسبة الأولاد إلى البنات على الصورة ١٢ إلى ثمانية؛ حيث نستخدم نقطتين للفصل بين القيمتين. ويمكن تبسيط هذه النسبة عن طريق قسمة كلا الطرفين على أربعة. ١٢ على أربعة يساوي ثلاثة. وثمانية على أربعة يساوي اثنين. هذا يعني أن نسبة الأولاد إلى البنات في أبسط صورة لها هي ثلاثة إلى اثنين. يمكن استخدام هذه النسبة المبسطة لإيجاد الكسر الذي يمثل عدد الأولاد والكسر الذي يمثل عدد البنات من إجمالي عدد الطلاب في الفصل. ثلاثة أجزاء من إجمالي خمسة أجزاء يمثل عدد الأولاد. ومن ثم، ثلاثة أخماس الفصل من الأولاد. وبما أن عدد البنات يمثله جزءان، فإن خمسي الفصل من البنات.
في هذا الفيديو، سوف نستخدم النسب لحل مسائل تتضمن الضرب في كمية قياسية، والنسب المتكافئة، وتوزيع كمية ما، ومسائل وصفات الطعام.
إذا كانت تكلفة سبعة كتب ١٤ جنيهًا مصريًّا، فاستخدم جدول النسب لإيجاد تكلفة ثمانية كتب.
في هذه المسألة، علينا النظر إلى عدد الكتب والتكلفة. سنفترض أن كل الكتب متساوية التكلفة. تخبرنا المسألة أن تكلفة سبعة كتب هي ١٤ جنيهًا مصريًّا. المطلوب هو حساب تكلفة ثمانية كتب. يمكننا ذلك بإيجاد تكلفة الوحدة الواحدة أولًا. وهو ما يعني في هذه المسألة تكلفة الكتاب الواحد. تكلفة الوحدة الواحدة تساوي التكلفة الكلية مقسومة على عدد الوحدات.
في هذه المسألة، يمكننا حساب التكلفة لكل كتاب بقسمة ١٤ على سبعة. هذا يساوي اثنين. إذن تكلفة الكتاب الواحد جنيهان. ذلك حيث قسمنا عدد الكتب والتكلفة على سبعة. يمكننا الآن حساب تكلفة ثمانية كتب بضرب جنيهين في ثمانية. اثنان في ثمانية يساوي ١٦. إذن، تبلغ تكلفة الكتب الثمانية معًا ١٦ جنيهًا.
يسمح لنا إيجاد تكلفة الوحدة أولًا بحل مسائل من هذا النوع باستخدام الضرب في كمية قياسية. وعندئذ، يمكننا حساب التكلفة الإجمالية لأي عدد من الكتب بضرب تكلفة الوحدة في عدد الكتب.
سؤالنا التالي هو مسألة تتضمن نسبًا متكافئة.
تريد سمر تكبير إحدى صورها. أبعاد الصورة الأصلية ثلاثة في خمسة سنتيمترات. إذا علم أن الصورة المكبرة سيكون طولها ١٠ سنتيمترات، فأوجد عرض الصورة المكبرة.
تخبرنا المسألة أن أبعاد الصورة الأصلية ثلاثة سنتيمترات في خمسة سنتيمترات. وهذا يعني أن نسبة العرض إلى الطول هي ثلاثة إلى خمسة. طول الصورة المكبرة ١٠ سنتيمترات. وعلينا حساب عرضها. إذا افترضنا أن هذا العرض يساوي ﺱ سنتيمتر، فإن نسبة العرض إلى الطول تكون ﺱ إلى ١٠. وبما أن خمسة في اثنين يساوي ١٠، يمكننا ملاحظة أن معامل قياس التكبير هو اثنان.
إذا ضربنا الطول في اثنين، فعلينا أيضًا ضرب العرض في اثنين. وأيًّا كان ما نفعله في أحد جزئي النسبة، فإن علينا فعله في الجزء الآخر. ثلاثة في اثنين يساوي ستة. وهذا يعني أن عرض الصورة المكبرة يساوي ستة سنتيمترات. وعليه، فإن النسبة ثلاثة إلى خمسة متكافئة مع النسبة ستة إلى ١٠.
يتضمن السؤال التالي الذي سنتناوله إيجاد قيمة كميتين بمعلومية مجموعهما والنسبة بينهما.
وزعت أم مبلغ ٣٧٠ جنيهًا مصريًّا بين ابنيها شريف وماجد بنسبة سبعة إلى ثلاثة لشراء الزي المدرسي في بداية العام الدراسي. ما نصيب كل ابن؟
في هذه المسألة، لدينا المبلغ الإجمالي من المال، وهو ٣٧٠ جنيهًا مصريًّا، والنسبة التي وزع بها هذا المبلغ هي سبعة إلى ثلاثة. ومن ثم، فإنه مقابل كل سبعة جنيهات يحصل عليها شريف، يحصل ماجد على ثلاثة جنيهات. ترتيب جزئي النسبة هنا مهم.
لتوزيع أي قيمة بنسبة معلومة، علينا اتباع الخطوات التالية. الخطوة الأولى هي جمع النسب. في هذه المسألة، سبعة زائد ثلاثة يساوي ١٠. الخطوة التالية هي قسمة الإجمالي على هذا الناتج. وهذا يتيح لنا حساب قيمة حصة واحدة أو جزء واحد. ٣٧٠ على ١٠ يساوي ٣٧. ومن ثم، تبلغ قيمة كل جزء من النسبة ٣٧ جنيهًا مصريًّا. الخطوة الأخيرة هي ضرب كل جزء من النسبة في هذه القيمة.
علينا ضرب سبعة في ٣٧ وثلاثة في ٣٧. سبعة في ٣٧ يساوي ٢٥٩؛ حيث سبعة في ٣٠ يساوي ٢١٠ وسبعة في سبعة يساوي ٤٩. وبجمع هذين العددين، نحصل على ٢٥٩. ثلاثة في ٣٧ يساوي ١١١. في هذه المرحلة، من المهم التأكد من أن مجموع الناتجين هو ٣٧٠. ٢٥٩ زائد ١١١ يساوي بالفعل ٣٧٠. وبما أن شريف يحصل على النصيب الأكبر، يمكننا استنتاج أنه يحصل على ٢٥٩ جنيهًا مصريًّا وماجد يحصل على ١١١ جنيهًا مصريًّا.
يتضمن السؤال قبل الأخير في هذا الفيديو كتابة وحل نظام من المعادلات الخطية لحل مسألة تتضمن نسبًا.
إذا كان محيط مستطيل يساوي ٧٢ سنتيمترًا والنسبة بين طولي ضلعيه هي خمسة إلى أربعة، فأوجد مساحته.
لنفترض أن المستطيل طوله ﺱ من السنتيمترات وعرضه ﺹ من السنتيمترات كما هو موضح. نعلم أن محيط المستطيل يساوي ٧٢ سنتيمترًا. ومحيط المستطيل هو المسافة المحيطة به على طول إطاره الخارجي. وبما أن الضلعين المتقابلين في أي مستطيل متوازيان ومتساويان في الطول، نحصل على المعادلة ﺱ زائد ﺹ زائد ﺱ زائد ﺹ يساوي ٧٢. بتجميع أو دمج الحدود المتشابهة، يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ٧٢.
يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين لنحصل على ﺱ زائد ﺹ يساوي ٣٦. نعلم أيضًا من رأس المسألة أن النسبة بين طولي الضلعين هي خمسة إلى أربعة. ومن ثم، فإن ﺱ وﺹ يمثلان النسبة خمسة إلى أربعة. وبذلك، فإننا نعلم الآن مجموع الكميتين والنسبة بينهما.
يمكننا حساب جزء واحد من النسبة بقسمة مجموع الكميات على عدد الأجزاء. في هذه المسألة، الجزء الواحد أو الحصة الواحدة تساوي ٣٦ على تسعة. وهذا يساوي أربعة. خطوتنا التالية هي ضرب كلا الجزأين في أربعة. خمسة في أربعة يساوي ٢٠. وأربعة في أربعة يساوي ١٦. هذا يعني أن الطولين ﺱ وﺹ يساويان ٢٠ سنتيمترًا و١٦ سنتيمترًا، على الترتيب.
مطلوب منا إيجاد مساحة المستطيل. يمكننا إيجاد ذلك بضرب الطول في العرض. اثنان في ١٦ يساوي ٣٢. ومن ثم، فإن ٢٠ في ١٦ يساوي ٣٢٠. إذن، مساحة المستطيل تساوي ٣٢٠ سنتيمترًا مربعًا.
يتضمن السؤال الأخير الذي سنتناوله في هذا الفيديو وصفات الطعام.
النسبة بين عدد أكواب قطع الطماطم إلى عدد أكواب قطع الخيار اللازمة لإعداد سلطة هي تسعة إلى سبعة. إذا كان المطلوب لإعداد السلطة هو ثلاثة أسباع كوب من قطع الطماطم، فأوجد عدد أكواب قطع الخيار المطلوبة.
تخبرنا المسألة أن نسبة الطماطم إلى الخيار تسعة إلى سبعة. علينا إيجاد عدد أكواب قطع الخيار المطلوبة لإعداد سلطة تحتوي على ثلاثة أسباع كوب من قطع الطماطم. هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. لكن تذكر أن أيًّا ما نفعله في أحد طرفي النسبة، فعلينا فعله في الطرف الآخر.
تسعة على ثلاثة يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا إيجاد عدد أكواب قطع الخيار المطلوبة لكل ثلاثة أكواب من قطع الطماطم بقسمة سبعة على ثلاثة. وهذا يساوي سبعة أثلاث. ثلاثة على سبعة يساوي ثلاثة أسباع. يمكننا بذلك قسمة سبعة أثلاث على سبعة لإيجاد عدد أكواب قطع الخيار المطلوبة. سبعة أثلاث على سبعة يساوي ثلثًا. إذن، إذا كان المطلوب لإعداد السلطة هو ثلاثة أسباع كوب من قطع الطماطم، فمن المفترض أن نحتاج إلى ثلث كوب من قطع الخيار.
هناك طريقة بديلة تستخدم عادة في مسائل الوصفات، وهي إيجاد عدد أكواب الخيار المطلوبة لكل كوب واحد من الطماطم أولًا. وهذا يعطينا قيمة الوحدة الواحدة، ويسمح لنا بزيادة الكمية وإنقاصها حسبما يقتضي الأمر.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو.
تستخدم النسب لتوضيح المقادير المتناسبة لقيمتين أو أكثر. على سبيل المثال، النسبة واحد إلى ثلاثة تعني أنه لكل وحدة من الجزء الأول، نحصل على ثلاث وحدات من الجزء الثاني. يمكن تحويل هذين الجزأين إلى كسرين بكتابة كل جزء على صورة كسر من الكل. العدد واحد يمثل ربعًا من الإجمالي، والعدد ثلاثة يمثل ثلاثة أرباع. ويمكن كتابة ذلك أيضًا على صورة عدد عشري أو نسبة مئوية، مثل ٠٫٢٥ و٠٫٧٥، أو ٢٥ بالمائة و٧٥ بالمائة.
يمكننا حل مجموعة متنوعة من المسائل الكلامية التي تتضمن الضرب في كمية قياسية والنسب المتكافئة وتوزيع كمية بنسبة معلومة ومسائل وصفات الطعام. تتضمن غالبية هذه الأنواع من أسئلة النسب إيجاد قيمة الوحدة الواحدة أولًا. وهذا يتضمن حساب ما يساويه جزء واحد.
