فيديو الدرس: التناسب

نسخة الفيديو النصية

سنتناول في هذا الفيديو عددًا من مسائل التناسب، ونوجد قيم المجاهيل. بعبارة أخرى، سنعمل على إيجاد الكسور المكافئة.

معطى أن ٣٩ على ﺱ يساوي ١٣ على سبعة. فأوجد قيمة ﺱ. لدينا كسران: ٣٩ على عدد ما يساوي ١٣ على سبعة. وإذا تمكنا من إيجاد كسر متكافئ مع الكسر ١٣ على سبعة، يكون به ٣٩ في البسط، فسنعلم فورًا أن المقام هو نفسه ﺱ. فلنلق نظرة سريعة على هذين الكسرين. نجد أنه إذا ضربت ١٣ في ثلاثة، فستحصل على ٣٩. لذلك إذا ضربت البسط والمقام في ثلاثة، فسوف أحصل على كسر مكافئ.

تذكر أن ثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا. لذلك سأضرب ١٣ على سبعة في واحد، ما يعطيني عددًا له نفس المقدار، أي ١٣ على سبعة. ولكن سيكون في صورة مختلفة قليلًا عن ذلك العدد، لذا فإن ١٣ في ثلاثة يساوي ٣٩، وسبعة في ثلاثة يساوي ٢١. هذا الكسر يكافئ هذا الكسر. لذلك فهذان الكسران متساويان. لكن انظر؛ لدينا الآن ٣٩ على ﺱ يساوي ٣٩ على ٢١. ومن ثم فإن ﺱ لا بد أنه يساوي ٢١. وهذه هي الإجابة.

معطى أن ﺱ على ٢٥ يساوي ١٨ على ١٥٠. فأوجد قيمة ﺱ. في هذه المسألة نجد أن المجهول في البسط. لذا، إذا تمكنت من إيجاد كسر متكافئ مع الكسر ١٨ على ١٥٠، يكون به ٢٥ في المقام، فسأتمكن على الفور من معرفة قيمة ﺱ.

بالتفكير قليلًا نجد أن حاصل ضرب ستة في ٢٥ هو ١٥٠. فإذا أوجدت كسرًا مكافئًا للكسر ١٨ على ١٥٠ عن طريق قسمة البسط على ستة وقسمة المقام على ستة — فإن ١٥٠ مقسومًا على ستة يساوي ٢٥، لأن ذلك كان الهدف من القيام بذلك، و١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة — فسأحصل إذن على كسرين متساويين. وكلاهما له نفس المقام. إذن، لا بد أن ﺱ يساوي ثلاثة.

وهناك طريقة بديلة لحل هذه المسألة، وهي محاولة عزل ﺱ في طرف بمفرده، وﺱ موجود بالفعل في بسط الكسر. وإذا ضربت هذا الطرف في ٢٥ على واحد، فسأتمكن من القسمة — نقوم بالشطب هنا، ونقسم ٢٥ على ٢٥ للحصول على واحد، و٢٥ على ٢٥ للحصول على واحد. إذن، في الطرف الأيمن، لدينا واحد في ﺱ على واحد في واحد؛ فيتبقى ﺱ فقط.

لكن المشكلة هي أنه لم يعد يساوي ١٨ على ١٥٠، لأن ما لدينا في الطرف الأيمن الآن أكبر ٢٥ مرة عما كان عليه. إذن، علي أن أفعل الأمر نفسه في الطرف الأيسر: ٢٥ على واحد في هذا أيضًا. والآن يمكنني قسمة ٢٥ على ٢٥ للحصول على واحد، و١٥٠ على ٢٥ للحصول على ستة. إذن، ﺱ يساوي ١٨ على ستة. يمكن قسمة ستة على ستة للحصول على واحد، وقسمة ١٨ على ستة للحصول على ثلاثة. إذن، ﺱ يساوي ثلاثة على واحد. أي إن ﺱ يساوي ثلاثة.

وهناك طريقتان مختلفتان يمكنك الاختيار بينهما: إما أن نوجد الكسر المكافئ فنعرف الإجابة، أو نجري بعض العمليات الحسابية الجبرية ونعزل ﺱ في طرف بمفرده للحصول على نفس الإجابة.

أمامنا هنا مسألة صعبة قليلًا.

معطى ١٥ على ﺱ يساوي ٢٫٥ على سبعة. فأوجد قيمة ﺱ. لا نفضل وجود أعداد عشرية في الكسور، ولهذا أقول إن هذه مسألة صعبة بعض الشيء. لكننا مع ذلك يمكننا تطبيق نفس الطريقتين لإيجاد الحل.

بالنظر إلى المسألة، نجد لدينا ٢٫٥، وإذا ضاعفت ٢٫٥، فسوف أحصل على خمسة. ثم إذا ضربت خمسة في ثلاثة، فسأحصل على ١٥. إذن، ٢٫٥ في ستة يساوي ١٥. إذن، بضرب بسط هذا الكسر ومقامه في ستة — وتذكر أن ستة على ستة يساوي واحدًا — فسنوجد كسرًا مكافئًا للكسر ٢٫٥ على سبعة. لكن البسط سيكون ١٥ بدلًا من ٢٫٥. وكما قلنا، ٢٫٥ في ستة يساوي ١٥، وسبعة في ستة يساوي ٤٢. لذلك فإن هذا الكسر وهذا الكسر متكافئان. والآن يمكننا القول إن لدينا نفس البسط في الكسرين. ومن ثم فلا بد أن ﺱ يساوي ٤٢.

ومن طرق الحل البديلة إذا كنت لا تحب التعامل مع الأعداد العشرية، أن تبدأ بضرب البسط والمقام للكسر الموجود في الطرف الأيسر في اثنين لإيجاد كسر مكافئ للكسر ٢٫٥ على سبعة، لا يحتوي أعدادًا عشرية. والآن لدي خمسة، وكل ما علي فعله هو أن أضربه في ثلاثة للحصول على ١٥. وإذا ضربت ١٤ في ثلاثة، فسأحصل على ﺱ. ومن ثم فإن ﺱ يساوي ٤٢.

ولننظر إلى طريقة أخرى للقيام بذلك باستخدام الضرب التبادلي. إذا ضربت كلا الطرفين في ﺱ على واحد، فسيظل كلاهما متساويين. فقد فعلنا نفس الشيء في الطرفين، لكن في الطرف الأيمن، يمكنني قسمة البسط على ﺱ وقسمة المقام على ﺱ. إذن، ١٥ في واحد على واحد في واحد؛ ما يعطينا ١٥. و١٥ يساوي ٢٫٥ﺱ على سبعة. والآن، ماذا لو ضربت كلا الطرفين في سبعة؟ بما أن الطرف الأيسر عبارة عن كسر، فسوف أضربه في سبعة على واحد، وهو الكسر المكافئ لسبعة. وفي الطرف الأيمن، هذا ليس كسرًا؛ لذلك سأضرب هذا في سبعة.

ثم سبعة في ١٥ يساوي ١٠٥. لذلك، في الطرف الأيسر، يمكنني قسمة البسط على سبعة والمقام على سبعة للتخلص من هذا الكسر. ويساوي ذلك ٢٫٥ في ﺱ. والآن، سأقسم كلا الطرفين على ٢٫٥ لكي أتمكن من حذف ٢٫٥ من الطرف الأيسر، ويتبقى ﺱ فقط. إذن، ﺱ يساوي ١٠٥ على ٢٫٥. حسنًا، إذا لم تكن تفضل إجراء عمليات القسمة من هذا النوع، فيمكنك ضرب ١٠٥ على ٢٫٥ في واحد. وبالطبع فإن الضرب في واحد لا يغير العدد، لكن الواحد الذي سنضرب فيه سيكون في صورة اثنين على اثنين. وميزة القيام بذلك هي أن المقام لم يعد في النهاية عددًا عشريًا.

وقد حصلت بذلك على ٢١٠ على خمسة. العدد خمسة يتكرر في العدد مائة ٢٠ مرة، ومن ثم يتكرر في مائتين ٤٠ مرة. ثم يتكرر خمسة في العدد ١٠ مرتين، وبالتالي يكون الناتج ٤٢. استغرق ذلك وقتًا أطول بعض الشيء من الطريقة الأخرى، لكن أحيانًا في هذه الطريقة هنا لا تكون الأعداد سهلة كما تريدها أن تكون. ومن ثم فإن هذه الطريقة لا تكون مناسبة تمامًا. لذلك في بعض الأحيان عليك اللجوء إلى استخدام العمليات الحسابية الجبرية في كل الخطوات، وإعادة ترتيب هذه المعادلة.

معطى أن ﺱ على ثلاثة يساوي خمسة على أربعة. فأوجد قيمة ﺱ. في هذه المسألة، لا يوجد مضاعفًا بسيطًا واضحًا لكل طرف. لذلك سوف نستخدم طريقة الضرب التبادلي. أريد عزل ﺱ في طرف بمفرده. لذلك سأضرب هذا في ثلاثة على واحد. وإذا فعلت هذا في أحد الطرفين، فسيكون علي فعل الأمر نفسه في الطرف الآخر. حتى الآن لا يزال الطرفان متوازنين. وفي الطرف الأيسر، إذا قسمت المقام على ثلاثة، فسأحصل على واحد. وإذا قسمت البسط على ثلاثة، فسأحصل على واحد. إذن، ﺱ في واحد مقسومًا على واحد في واحد، فيتبقى ﺱ فقط. وفي الطرف الأيسر، خمسة في ثلاثة يساوي ١٥ على أربعة. لذا، فإن ﺱ يساوي ١٥ على أربعة. ومن الواضح أنه بناء على المسألة، قد تحتاج إلى تغيير ذلك إلى عدد كسري، أو قد تحتاج إلى تغييره إلى عدد عشري.

وهنا مسألة صعبة أخرى. إذ تتضمن كسرًا داخل كسر. لا نطلب منك عادة حل ذلك، لكنه موجود في المسألة.

أوجد العدد المجهول: سبعة على خمسة يساوي عددًا ما على تسعة وأربعة أخماس. مرة أخرى، لا يوجد مضاعف واضح لإيجاد كسر مكافئ، ولم نتعامل مع عدد كسري في المقام من قبل. أولًا وقبل كل شيء سأبسط ذلك: سأكتب كسرًا بسطه أكبر من مقامه.

تسعة وأربعة أخماس هو نفسه تسعة زائد أربعة أخماس. وبإيجاد مقام مشترك، نجد أن تسعة هو نفسه ٤٥ على خمسة. وقد حصلت بذلك على ٤٥ خمسًا زائد أربعة أخماس، ما يساوي ٤٩ خمسًا. وبالتالي، تسعة وأربعة أخماس هو نفسه ٤٩ خمسًا. وهذا هو العدد الذي سأستخدمه.

لدينا إذن سبعة على خمسة يساوي عددًا ما مقسومًا على ٤٩ على خمسة. نقوم إذن بقسمة كسور. لا أعرف ما إذا كنت قد سمعت العبارة: «قسمة الكسور عملية سهلة جدًا؛ فقط اقلب الكسر الثاني واضرب الكسرين في بعضهما». هذا يعني أن الطرف الأيسر يكافئ عددًا ما في خمسة على ٤٩. وما علينا سوى تغيير علامة القسمة إلى علامة ضرب، ثم نقلب البسط والمقام. إذن يمكنني في الطرف الأيسر حذف بعض الأعداد: ٤٩ مقسومًا على ٤٩ يساوي واحدًا، وخمسة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا. إذن، واحد في هذا العدد المجهول. وفي المقام خمسة في خمسة يساوي ٢٥، و٤٩ في سبعة يساوي ٣٤٣. أحيانًا، لا يكون التعامل مع الأعداد سهلًا، لكن عليك التوصل إلى طريقة للتعامل معها.

وهذه مسألة تتضمن أعدادًا عشرية في الكسور، وهو ما يعد صعبًا أيضًا.

أكمل الفراغ: ١٫١ على ٠٫٦ يساوي عددًا ما على ١٥. سأستخدم هنا الضرب التبادلي لمحاولة حل ذلك. سأضرب الطرفين في ١٥ على واحد لكي أتمكن من عزل العدد المجهول الموجود في الطرف الأيسر. في الطرف الأيسر، نقسم بسط الكسر ومقامه على ١٥، فنحصل على واحد على واحد. وبذلك أكون قد عزلت العدد المجهول. وفي الطرف الأيمن، لدينا ١٥ في ١٫١ على ٠٫٦. ما سأفعله هو إيجاد كسر مكافئ للكسر ١٫١ على ٠٫٦، لا يحتوي أعدادًا عشرية. إذن سأضرب بسط الكسر ومقامه في ١٠.

ومن الواضح أن ضرب حد واحد في ١٠ على ١٠ يعادل أن نضربه في واحد. فأنا لا أغير مقدار هذا العدد هنا. ولا أغير العملية الحسابية، لكن ما أقوم به هو إيجاد كسر مكافئ لا يحتوي على أعداد عشرية. وهذا يعني أن العدد المجهول يساوي ١٥ في ١١ على ستة. و١٥ قابل للقسمة على ثلاثة، وستة قابل للقسمة على ثلاثة. ‏‏١٥ على ثلاثة يساوي خمسة، وستة مقسومًا على ثلاثة يساوي اثنين. لدينا إذن خمسة في ١١ على اثنين. ومن ثم فإن العدد المجهول يساوي ٥٥ على اثنين. أو بناء على المسألة، كان بإمكاننا القول إنه يساوي سبعة وعشرين ونصفًا أو ٢٧٫٥.

إليك هذه المسألة التي تتضمن ثلاثة كسور يساوي بعضها البعض. ويوجد مجهولان علينا إيجادهما.

أكمل الفراغات: ١٢ على سبعة، يساوي ٦٠ على عدد ما، يساوي عددًا ما آخر على ٣٠ وثلث. سنتعامل مع هذه الكسور في صورة أزواج. سنأخذ الكسرين الأول والثاني معًا، ثم نأخذ الكسرين الأول والثالث معًا.

بالنظر إلى الزوج الأول، ١٢ على سبعة يساوي ٦٠ على عدد ما، يمكنني القول مباشرة إنه إذا ضربت ١٢ في خمسة فسأحصل على ٦٠. لذلك يمكنني إيجاد كسر مكافئ هنا بضرب بسط الكسر ومقامه في خمسة، وإيجاد العدد المجهول في المقام.

في حالة ١٢ على سبعة، عند ضرب بسط الكسر ومقامه في خمسة، نحصل على ٦٠ على ٣٥. بالتالي فإن ١٢ على سبعة هو نفسه ٦٠ على ٣٥. لذا فإن هذا العدد المجهول لا بد أنه ٣٥. وبالنظر إلى الكسر الأول والثالث، ١٢ على سبعة يساوي عددًا ما على ٣٠ وثلث.

كان بإمكاني القول إن ٦٠ على ٣٥ يساوي عددًا ما على ٣٠ وثلث. لكن إذا ارتكبت أي أخطاء في هذا الجزء الأول من حل المسألة، فسينتقل هذا الخطأ معي إلى الجزء الثاني. وهذا ليس جيدًا. إذن، أول ما سأفعله هو تحويل ٣٠ وثلث إلى كسر بسطه أكبر من مقامه. ‏‏٣٠ وثلث هو نفسه ٣٠ زائد ثلث. و٣٠ هو نفسه ٩٠ على ثلاثة. وهذا مكافئ لـ ٩٠ على ثلاثة زائد واحد على ثلاثة، أي ٩١ على ثلاثة.

لذا فإن ١٢ على سبعة يساوي عددًا ما على ٩١ على ثلاثة. وإذا ضربت الطرفين في ٩١ على ثلاثة، وحذفت ٩١ على ثلاثة من الطرف الأيسر، فسيتبقى العدد المجهول فقط. وقد حصلت بذلك على ٩١ على ثلاثة في ١٢ على سبعة في الطرف الأيمن. يمكنني إجراء بعض عمليات الحذف هنا. ‏‏١٢ وثلاثة كلاهما قابل للقسمة على ثلاثة، وسبعة و٩١ كلاهما قابل للقسمة على سبعة، لأن سبعة في ١٣ يساوي ٩١. ومن ثم فإن العدد المجهول يساوي ١٣ في أربعة على واحد في واحد. وهذا يساوي ٥٢. وبالتالي يمكنني كتابة هذه الإجابة في الفراغ أيضًا.

إذن فقد رأينا مجموعة متنوعة من المسائل الصعبة أحيانًا، ورأينا بعض الطرق المختلفة للتعامل معها. في بعض الحالات، يمكننا إيجاد الكسور المكافئة والتوصل إلى الناتج المناسب. وفي حالات أخرى، كان علينا القيام ببعض عمليات الضرب التبادلي وبعض العمليات الحسابية الجبرية، وإعادة الترتيب، وبعض الحسابات المعقدة لإيجاد النواتج. يمكنك اختيار الطرق المفضلة لديك مما قمنا به واستخدامها لإيجاد المجاهيل في مسائل التناسب.