نسخة الفيديو النصية
اكتب المعادلة التربيعية الموضحة في التمثيل البياني الآتي. اكتب الإجابة على الصورة القياسية.
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني لمنحنى دالة تربيعية، ومطلوب منا استخدام هذا التمثيل البياني لإيجاد معادلة المنحنى على الصورة القياسية. يمكننا البدء بتذكر أن الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت. هذا يعني أنه علينا إيجاد قيم هذه الثوابت باستخدام التمثيل البياني. يمكننا إيجاد قيمة ﺟ بالتعويض عن ﺱ بصفر في المعادلة التربيعية. وفي هذه الحالة، سيكون لجميع الحدود في الطرف الأيسر من المعادلة، باستثناء الحد الثابت، عامل قيمته صفر. ومن ثم، تبسط المعادلة ليصبح لدينا ﺹ يساوي ﺟ.
هكذا علمنا أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي ﺟ. وفي التمثيل البياني لدينا، سيكون ذلك هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. يمكننا الملاحظة أن هذا الجزء المقطوع يقع عند سالب ١٦، وهذا يعني أن ﺟ يساوي سالب ١٦. هناك ملاحظة مهمة علينا الانتباه إليها، وهي أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ، بالنسبة إلى المعادلة التربيعية على الصورة القياسية بوجه عام، يكون دائمًا هو الحد الثابت ﺟ. وبهذا، نكون أوضحنا أن معادلة منحنى الدالة التربيعية تكتب على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ ناقص ١٦. ويمكننا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ بالتعويض بإحداثيات أي نقطتين معلومتين على المنحنى في هذه المعادلة.
نلاحظ من التمثيل البياني المعطى أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ هما سالب ثمانية واثنين. وهذا يعني أن النقطتين اللتين لهما الإحداثيات سالب ثمانية، صفر؛ واثنان، صفر تقعان على المنحنى. وإذا عوضنا بإحداثيات هاتين النقطتين، فستتحقق المعادلة التربيعية لدينا. بالتعويض عن ﺱ باثنين وعن ﺹ بصفر في معادلة المنحنى هذه، نحصل على معادلة تتضمن ﺃ وﺏ. صفر يساوي ﺃ مضروبًا في اثنين تربيع زائد ﺏ في اثنين ناقص ١٦. ويمكننا تبسيط المعادلة لنحصل على صفر يساوي أربعة ﺃ زائد اثنين ﺏ ناقص ١٦. بعد ذلك، نضيف ١٦ إلى كلا طرفي المعادلة ليصبح لدينا ١٦ يساوي أربعة ﺃ زائد اثنين ﺏ.
هذه معادلة خطية في مجهولين، لذا لا يمكننا حلها لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. وبدلًا من ذلك، سنكرر نفس العملية مع الجزء الآخر المقطوع من المحور ﺱ. وبهذا، يصبح لدينا معادلتان في مجهولين يمكن حلهما آنيًّا. بالتعويض عن ﺹ بصفر وعن ﺱ بسالب ثمانية في المعادلة، نحصل على صفر يساوي ﺃ في سالب ثمانية تربيع زائد ﺏ مضروبًا في سالب ثمانية ناقص ١٦. ويمكننا إيجاد قيمة المعاملات لتصبح المعادلة لدينا صفر يساوي ٦٤ﺃ ناقص ثمانية ﺏ ناقص ١٦. نلاحظ أيضًا أن الحدود الثلاثة لها العامل المشترك ثمانية. لذا، يمكننا تبسيط المعادلة بقسمة طرفيها على ثمانية. وهذا يعطينا صفر يساوي ثمانية ﺃ ناقص ﺏ ناقص اثنين. وبإضافة اثنين إلى كلا طرفي المعادلة بعد ذلك، يصبح لدينا اثنان يساوي ثمانية ﺃ ناقص ﺏ.
لدينا الآن معادلتان خطيتان في مجهولين. ويمكننا حل هاتين المعادلتين باعتبارهما معادلتين آنيتين. دعونا نفرغ بعض المساحة ثم نحل المعادلتين لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. يوجد العديد من الطرق التي يمكننا بها حل المعادلات الآنية، لكننا لن نستعرض إلا طريقة واحدة فقط. يمكننا الملاحظة أن معاملي ﺏ في المعادلتين لهما إشارتان متعاكستان، وأنه يمكننا ضرب المعادلة الثانية في اثنين ليصبح لدينا حدان متساويان في المقدار ومتعاكسان في الإشارة؛ أي موجب اثنين ﺏ وسالب اثنين ﺏ. بضرب المعادلة الثانية في اثنين، نحصل على أربعة يساوي ١٦ﺃ ناقص اثنين ﺏ. ومن ثم، يمكننا جمع هاتين المعادلتين معًا لحذف المجهول ﺏ. وهذا يعطينا ١٦ زائد أربعة يساوي أربعة ﺃ زائد ١٦ﺃ ويحذف حدا ﺏ معًا.
يمكننا الآن تبسيط المعادلة لدينا وحلها. بالتبسيط، نحصل على ٢٠ يساوي ٢٠ﺃ. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على ٢٠، نجد أن ﺃ يساوي واحدًا. يمكننا الآن إيجاد قيمة ﺏ بالتعويض عن ﺃ بواحد في أي من المعادلتين الآنيتين. سنعوض عن ﺃ بواحد في المعادلة الآنية الأولى لنحصل على ١٦ يساوي أربعة في واحد زائد اثنين ﺏ. بعد ذلك، يمكننا التبسيط وإيجاد قيمة ﺏ. لدينا الآن ١٦ يساوي أربعة زائد اثنين ﺏ. وبطرح أربعة من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ١٢ يساوي اثنين ﺏ. وأخيرًا، نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين لنجد أن ﺏ يساوي ستة.
يمكننا التحقق من صحة الإجابة التي توصلنا إليها بعدة طرق بسيطة. على سبيل المثال، يمكننا الملاحظة أن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. وهذا يعني أن قيمة ﺃ لا بد أن تكون موجبة. ويمكننا أيضًا التعويض بقيمتي ﺃ وﺏ في المعادلة الثانية للتأكد من تحققها. والآن، يمكننا التعويض عن ﺃ بواحد وعن ﺏ بستة وعن ﺟ بسالب ١٦ في الصورة القياسية للمعادلة التربيعية، لنجد أن الصورة القياسية للمعادلة التربيعية الموضحة لدينا هي ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص ١٦.
