فيديو الدرس: المتسلسلات الحسابية | نجوى فيديو الدرس: المتسلسلات الحسابية | نجوى

فيديو الدرس: المتسلسلات الحسابية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مجموع حدود في متتابعة حسابية باستخدام عدد محدد من حدودها.

١٥:٤٢

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مجموع حدود في متتابعة حسابية باستخدام عدد محدد من حدودها. سنبدأ بتذكر ما نعنيه بالمتتابعة الحسابية والمتسلسلة الحسابية.

تعرف قائمة الأعداد المكتوبة بترتيب محدد باسم «المتتابعة». في المتتابعة الحسابية، يكون الفرق بين أحد الحدود والحد التالي ثابتًا. يعرف هذا الفرق باسم «أساس المتتابعة الحسابية»، أو «الفرق المشترك»، ويرمز إليه بالحرف ﺩ. يكتب عادة الحد الأول في المتتابعة الحسابية، وهو ﺣ واحد، في صورة ﺃ. وعليه، فإن الحد الثاني ﺣ اثنان يساوي ﺃ زائد ﺩ. وللحصول على الحد الثالث، علينا إضافة ﺩ مرة أخرى، إذن ﺣ ثلاثة يساوي ﺃ زائد ﺩ زائد ﺩ. يمكن تبسيط ذلك إلى ﺃ زائد اثنين ﺩ. ويستمر هذا النمط حتى يصبح الحد الرابع هو ﺃ زائد ثلاثة ﺩ، والحد الخامس هو ﺃ زائد أربعة ﺩ، وهكذا.

نلاحظ هنا أن الحد الثاني به واحد ﺩ. والحد الثالث به اثنان ﺩ. والحد الرابع به ثلاثة ﺩ، وهكذا. هذا يعني أن الحد النوني به ﻥ ناقص واحد ﺩ. وهذا يقودنا إلى صيغة الحد العام للمتتابعة الحسابية؛ ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. عند التعامل مع متتابعة منتهية، كما هو الحال في هذا الفيديو، يمكننا الإشارة إلى الحد الأخير بالحرف ﻝ. يعرف مجموع حدود المتتابعة الحسابية باسم «المتسلسلة الحسابية». وهذا يعني أن المتسلسلة الحسابية تكتب على الصورة ﺃ زائد ﺃ زائد ﺩ زائد ﺃ زائد اثنين ﺩ وهكذا، وصولًا إلى ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

سنستخدم الآن هذه المعلومات لإثبات وجود صيغتين لحساب مجموع أول ﻥ من الحدود في متتابعة حسابية.

أوجد مقدارًا يعبر عن مجموع متتابعة حسابية حدها الأول ﺃ، والفرق المشترك فيها ﺩ.

عرفنا من السؤال أن الحد الأول في المتتابعة الحسابية هو ﺃ، والفرق المشترك هو ﺩ. ونريد إيجاد مقدار يعبر عن مجموع أول ﻥ من الحدود، الذي سنكتبه على الصورة: ﺟﻥ. وهذا سيساوي الحد الأول ﺃ زائد الحد الثاني ﺃ زائد ﺩ، وهكذا. نحن نعلم أن الحد النوني لأي متتابعة حسابية يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. هذا يعني أن الحد قبل الأخير يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في ﺩ. سنسمي هذه المعادلة الأولى.

سنعكس بعد ذلك ترتيب هذا المجموع؛ ويمكننا فعل ذلك لأن الجمع عملية إبدالية. وهذا يعطينا: ﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ زائد ﺃ زائد ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في ﺩ، وهكذا وصولًا إلى زائد ﺃ زائد ﺩ زائد ﺃ. سنسمي هذه المعادلة الثانية. بجمع المعادلة الأولى والمعادلة الثانية، نحصل على اثنين مضروبًا في ﺟﻥ في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، سنجمع كل زوج من الحدود. بجمع الزوج الأول من الحدود، نجد أن ﺃ زائد ﺃ يساوي اثنين ﺃ. إذن لدينا اثنان ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

الزوج الثاني من الحدود له نفس المجموع؛ حيث ﺃ زائد ﺃ يساوي اثنين ﺃ، وﺩ زائد ﻥ ناقص اثنين ﺩ يساوي ﻥ ناقص واحد في ﺩ. وفي الحقيقة، ينطبق هذا على كل زوج من الحدود في المعادلتين. فمجموع كل زوج من الحدود يساوي اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. لدينا عدد ﻥ من الحدود؛ لذا يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر على الصورة: ﻥ مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبقسمة طرفي المعادلة على اثنين، نحصل على ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. إذن، هذا هو المقدار الذي يعبر عن مجموع متتابعة حسابية حدها الأول ﺃ والفرق المشترك فيها ﺩ.

سنتناول الآن صيغة بديلة لمجموع متتابعة حسابية.

أوجد مقدارًا يعبر عن مجموع أول ﻥ من الحدود في متتابعة حسابية حدها الأول ﺃ وحدها الأخير ﻝ.

نحن نعلم أنه يمكن حساب مجموع أول ﻥ من الحدود في متتابعة حسابية باستخدام الصيغة: ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ؛ حيث ﻥ عدد الحدود، وﺃ الحد الأول، وﺩ الفرق المشترك. ونعرف أيضًا أن الحد النوني ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. عرفنا من السؤال أن ﻝ هو الحد الأخير. إذن، ﻝ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبما أن ﺃ زائد ﺃ يساوي اثنين ﺃ، إذن، يمكننا إعادة كتابة صيغة ﺟﻥ على الصورة: ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

إننا نعلم أن الجزء الثاني داخل القوسين، وهو ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، يساوي ﻝ. إذن، مجموع أول ﻥ من الحدود في متتابعة حسابية حدها الأول ﺃ وحدها الأخير ﻝ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ.

والآن، سنوضح بإيجاز الصيغ التي سنستخدمها في الجزء الباقي من هذا الفيديو. الحد النوني ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. مجموع أول ﻥ من الحدود الذي يكتب على الصورة ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبما أننا نتعامل مع متتابعات منتهية، فسيكون لدينا الحد الأخير ﻝ. وهو يساوي ﺣﻥ. إذن، ﺟﻥ يساوي أيضًا ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ. سنستخدم هذه الصيغ لحل المسائل التي تتضمن متتابعات حسابية منتهية.

أوجد مجموع أول ١٠ حدود في المتتابعة الحسابية التي حدها الأول خمسة، والفرق المشترك فيها ثمانية.

عرفنا من المسألة أن الحد الأول، المشار إليه بالحرف ﺃ، يساوي خمسة. الفرق المشترك ﺩ للمتتابعة الحسابية يساوي ثمانية. وبما أنه علينا إيجاد مجموع أول ١٠ حدود، فإن ﻥ يساوي ١٠. نحن نعلم أن مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الحسابية المشار إليه بـ ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبالتعويض بقيم ﺃ وﺩ وﻥ، يمكننا حساب قيمة ﺟ١٠. هذا يساوي ١٠ مقسومًا على اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في خمسة زائد ١٠ ناقص واحد مضروبًا في ثمانية. اثنان مضروبًا في خمسة يساوي ١٠، و١٠ ناقص واحد مضروبًا في ثمانية يساوي ٧٢. وبضرب ٨٢ في خمسة، نحصل على ٤١٠.

إذن، مجموع أول ١٠ حدود في المتتابعة الحسابية التي حدها الأول خمسة والفرق المشترك فيها ثمانية هو ٤١٠.

سنتناول الآن سؤالًا مشابهًا؛ حيث تكون الحدود سالبة.

أوجد مجموع حدود المتتابعة الحسابية المكونة من ١١ حدًا، والتي حدها الأول سالب ٩٢، وحدها الأخير سالب ١٠٢.

الحد الأول ﺃ في المتتابعة الحسابية لدينا يساوي سالب ٩٢، والحد الأخير ﻝ يساوي سالب ١٠٢. عرفنا أيضًا أن هناك ١١ حدًا في المتتابعة. إذن، ﻥ يساوي ١١. يمكننا استخدام هذه المعطيات لحساب الفرق المشترك ﺩ. لكن هذا غير مطلوب في السؤال. يمكننا إيجاد مجموع أول ﻥ من الحدود باستخدام الصيغة: ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ. وبالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن ﺟ١١ يساوي ١١ على اثنين مضروبًا في سالب ٩٢ زائد سالب ١٠٢. ‏‏١١ مقسومًا على اثنين يساوي ٥٫٥، وسالب ٩٢ زائد سالب ١٠٢ يساوي سالب ١٩٤. وبضرب هاتين القيمتين، نحصل على سالب ١٠٦٧.

إذن، مجموع الأحد عشر حدًا في المتتابعة الحسابية لدينا، والتي حدها الأول سالب ٩٢ وحدها الأخير سالب ١٠٢، هو سالب ١٠٦٧.

في السؤال الآتي، علينا إيجاد مجموع أول ١٠ حدود في متتابعة حسابية بمعلومية الحد النوني.

أوجد مجموع أول ١٠ حدود في المتتابعة ﺣﻥ؛ حيث ﺣﻥ يساوي اثنين ﻥ زائد أربعة.

هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. تتمثل إحدى الطرق في إيجاد الحدين الأول والأخير من المتتابعة. وبما أن لدينا ١٠ حدود، يمكن الإشارة إلى الحد الأول بـ ﺣ واحد والحد العاشر بـ ﺣ١٠. الحد الأول يساوي اثنين مضروبًا في واحد زائد أربعة. وهذا يساوي ستة. والحد العاشر ﺣ١٠ يساوي اثنين مضروبًا في ١٠ زائد أربعة. وهذا يساوي ٢٤. يمكننا الآن استخدام الصيغة: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ؛ حيث ﺃ يساوي ستة، وهو الحد الأول، وﻝ يساوي ٢٤، وهو الحد العاشر أو الحد الأخير. ‏‏ﺟ١٠ يساوي ١٠ على اثنين مضروبًا في ستة زائد ٢٤. نبسط ذلك إلى خمسة مضروبًا في ٣٠، فنحصل على مجموع أول ١٠ حدود في المتتابعة وهو ١٥٠.

هناك طريقة بديلة للحل، وهي أن ندرك أن المتتابعة خطية. إذن الفرق المشترك ﺩ يساوي اثنين، وهو معامل ﻥ. وإذا كان ﺣﻥ يساوي اثنين ﻥ زائد أربعة، فإن المتتابعة هي ستة، ثمانية، ١٠، وهكذا. يمكننا بعد ذلك استخدام الصيغة: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﺟ١٠ يساوي ١٠ على اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في ستة زائد ١٠ ناقص واحد في اثنين. ويمكن تبسيط ذلك إلى خمسة مضروبًا في ١٢ زائد ١٨، وهو ما يساوي مرة أخرى خمسة مضروبًا في ٣٠، وهو ما يعطينا الناتج ١٥٠.

سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا.

أوجد، بدلالة ﻥ، مجموع المتتابعة الحسابية تسعة، ١٠، ١١، وهكذا حتى ﻥ زائد ثمانية.

توجد صيغتان يمكننا استخدامهما لحساب مجموع متتابعة حسابية. الصيغة الأولى هي: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ؛ حيث ﺃ هو الحد الأول، وﻝ هو الحد الأخير للمتتابعة. والصيغة الثانية هي: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. مرة أخرى، ﺃ هو الحد الأول وﺩ هو الفرق المشترك للمتتابعة. يمكننا ملاحظة أن الحد الأول ﺃ يساوي تسعة، والحد الأخير ﻝ يساوي ﻥ زائد ثمانية. لذا، ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في تسعة زائد ﻥ زائد ثمانية. وبجمع الحدين المتشابهين داخل القوسين، نحصل على ﻥ على اثنين مضروبًا في ﻥ زائد ١٧. إذن، هذا هو المقدار الذي يعبر عن مجموع المتتابعة الحسابية بدلالة ﻥ.

إذا اخترنا استخدام الصيغة الثانية، فيمكننا أن نلاحظ من المتتابعة أن الفرق المشترك يساوي واحدًا. وبالتعويض بقيمتي ﺃ وﺩ، نحصل على: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في تسعة زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في واحد. يمكن تبسيط المقدار الموجود داخل القوسين إلى ١٨ زائد ﻥ ناقص واحد. ‏‏١٨ ناقص واحد يساوي ١٧. وعليه، فإن المقدار هو ﻥ على اثنين مضروبًا في ﻥ زائد ١٧ أيضًا. وهذا هو مجموع المتتابعة الحسابية تسعة، ١٠، ١١، وهكذا حتى ﻥ زائد ثمانية.

سنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن المتتابعة الحسابية حدها الأول ﺃ، وحدها الأخير ﻝ، والفرق المشترك فيها ﺩ. الحد النوني لمتتابعة حسابية ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وعند التعامل مع متتابعة حسابية منتهية، فإن هذا يساوي أيضًا الحد الأخير ﻝ. يعرف مجموع حدود المتتابعة الحسابية باسم «المتسلسلة الحسابية». يمكننا حساب هذا المجموع الذي يشار إليه بالرمز ﺟﻥ باستخدام إحدى صيغتين؛ إما: ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، أو ﻥ على اثنين مضروبًا في ﺃ زائد ﻝ. وتعتمد الصيغة التي نختارها على معطيات السؤال.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية