فيديو السؤال: تحليل قوتين مستويتين تؤثران عند نقطة للحصول على محصلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تؤثر قوتان مقداراهما ستة ﻕ و١٢ﻕ عند نقطة. مقدار محصلتهما يساوي تسعة ﻕ. أوجد قياس الزاوية بينهما، وقرب إجابتك لأقرب دقيقة.

هيا نبدأ بتخيل شكل هاتين القوتين. إنهما تؤثران عند نقطة ما سنسميها ﻡ. إذن لنفترض أن قوة مقدارها ستة ﻕ تؤثر في الاتجاه الأفقي كما هو موضح. وتؤثر قوة مقدارها ١٢ﻕ عند نفس النقطة، لكن يجب أن تؤثر في اتجاه مختلف. يمكننا افتراض أنها تؤثر تقريبًا في الاتجاه الموضح. نحن نحاول إيجاد قياس الزاوية بين هاتين القوتين. سنسمي هذه الزاوية 𝜃. ولإيجاد قيمة 𝜃، علينا استخدام حقيقة أن مقدار محصلة هاتين القوتين يساوي تسعة ﻕ.

تذكر أن محصلة القوتين هو مجموعهما. لكن هذا لا يعني أننا نجمع ستة ﻕ و١٢ﻕ. هذان هما مقدارا القوتين. لذا، بدلًا من ذلك، سنعيد رسم الشكل في صورة مثلث قوى. للقيام بذلك، نبدأ بالقوة ستة ﻕ كما فعلنا من قبل. ثم نرسم القوة التي مقدارها ١٢ﻕ كي تبدأ من نقطة نهاية القوة التي مقدارها ستة ﻕ. وبما أن المحصلة هي مجموع القوى، يمكننا تمثيلها على أنها تبدأ من نقطة البداية للقوة ستة ﻕ وتنتهي عند نقطة نهاية القوة التي مقدارها ١٢ﻕ كما هو موضح.

نلاحظ الآن أن هذا المثلث غير قائم الزاوية، ونعرف أطوال الأضلاع، وهي مقادير كل قوة من أضلاعه الثلاثة. إذن يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين القوة ستة ﻕ والقوة ١٢ﻕ في هذا المثلث. لنسم هذه الزاوية 𝛼. يمكننا بعد ذلك استخدام ما لدينا من معلومات عن الزوايا الواقعة بين مستقيمين متوازيين لإيجاد قيمة 𝜃. إذن كيف نوجد قيمة 𝛼؟ حسنًا، دعونا نسم هذا المثلث كما هو موضح. بما أننا نعلم أطوال الأضلاع الثلاثة ونحاول إيجاد زاوية، يمكننا استخدام قانون جيب التمام. يكتب القانون على هذه الصورة جتا ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع على اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة. وبما أن الزاوية ﺃ هي الزاوية 𝛼، فإن الطرف الأيمن يصبح ببساطة جتا 𝛼.

بعد ذلك، نعوض بكل ما نعرفه عن كل ضلع في المثلث. في الطرف الأيسر، نحصل على ١٢ﻕ تربيع زائد ستة ﻕ تربيع ناقص تسعة ﻕ تربيع على اثنين في ١٢ﻕ في ستة ﻕ. بالتبسيط يصبح لدينا ١٤٤ﻕ تربيع زائد ٣٦ﻕ تربيع ناقص ٨١ﻕ تربيع على ١٤٤ﻕ تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه أكثر من ذلك إلى ٩٩ﻕ تربيع على ١٤٤ﻕ تربيع. وبالطبع، ﻕ هي جزء من مقدار القوة لدينا؛ لذا نعلم أنها لا يمكن أن تساوي صفرًا. هذا يعني أنه يمكننا قسمة كل من بسط الكسر ومقامه على ﻕ تربيع. إذن جيب تمام الزاوية 𝛼 لا بد أن يساوي ٩٩ على ١٤٤.

لإيجاد قياس الزاوية 𝛼، دعونا نوجد دالة جيب التمام العكسية لكلا الطرفين. وقيمة دالة جيب التمام العكسية لـ ٩٩ على ١٤٤ هي ٤٦٫٥٦٧ وهكذا. وبالطبع، هذا القيمة مقيسة بالدرجات. لن نقرب هذه القيمة الآن؛ لأننا نريد إيجاد الزاوية 𝜃، وليس 𝛼. حسنًا، إذا عدنا إلى الشكلين السابقين وقارنا بينهما، فسنجد أن الزاوية 𝜃 والزاوية 𝛼 يمكن ربطهما بواسطة زوج من المستقيمات المتوازية. وهما، في الواقع، زاويتان متكاملتان. هذا يعني أن 𝜃 زائد 𝛼 يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. إذن 𝜃 تساوي ١٨٠ ناقص 𝛼. بالطبع، قد حسبنا قيمة 𝛼. إذن 𝜃 لا بد أن تساوي ١٨٠ ناقص ٤٦٫٥٦٧. وهذا يعطينا ١٣٣٫٤٣٢.

الآن يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب دقيقة. للقيام بذلك، علينا استخلاص الجزء العشري من الإجابة وضربه في ٦٠. ‏٠٫٤٣٢ مضروبًا في ٦٠ يساوي ٢٥٫٩٥. بالتقريب لأقرب عدد كلي، نحصل على ٢٦. وبذلك، نكون قد أوجدنا قياس الزاوية بين القوتين. عند التقريب لأقرب دقيقة، نجد أنها تساوي ١٣٣ درجة و٢٦ دقيقة.