نسخة الفيديو النصية
إن التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن مفيدة للغاية في تمثيل الأجسام المتحركة. وفي هذا الدرس، سوف نركز على الأجسام التي تتحرك بسرعة منتظمة. وسوف نتعلم كيف نستخدم التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن لإيجاد سرعة جسم، وكذلك للمقارنة بين سرعات أجسام متعددة. بالإضافة إلى ذلك، سوف نتعلم كيف نربط بين التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لجسم يتحرك بسرعة منتظمة والتمثيل البياني المناظر للمسافة مقابل الزمن. لنبدأ بمراجعة المعلومات الأساسية التي يتضمنها التمثيل البياني.
لدينا هنا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. نعلم أنه تمثيل بياني؛ لأنه مكون من محور أفقي ومحور رأسي. ونعلم أنه تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن؛ لأن المحور الرأسي يمثل المسافة؛ حيث توجد وحدة مناسبة لقياس المسافة، وهي المتر، والمحور الأفقي يمثل الزمن؛ حيث توجد وحدة مناسبة لقياس الزمن، وهي الثواني. يمثل الخط المستقيم الأزرق على التمثيل البياني حركة الجسم. وكل نقطة على هذا الخط المستقيم تناظر زمنًا معينًا ومسافة معينة. هذا يعني أن الجسم كان عند هذه المسافة في هذا الزمن.
لنفترض، على سبيل المثال، أننا نريد معرفة الزمن والمسافة اللذين تمثلهما هذه النقطة. أولًا، نرسم خطًّا مستقيمًا رأسيًّا إلى المحور الأفقي. ونلاحظ أنه يتقاطع مع هذا المحور عند العدد أربعة. وبما أن وحدة المحور الأفقي هي الثواني، فإن هذا العدد أربعة يعني زمنًا مقداره أربع ثوان. إذن، فإن زمن النقطة التي تعنينا هو أربع ثوان. ولإيجاد المسافة، نرسم خطًّا أفقيًّا من النقطة التي لدينا إلى المحور الرأسي. ونلاحظ أنه يتقاطع مع هذا المحور عند العدد اثنين. وحدة المحور الرأسي هي المتر، إذن العدد اثنان هنا يعني مترين. وعليه، فإن الزمن والمسافة الممثلين بهذه النقطة هما أربع ثوان ومتران. ويعني هذا أنه بعد أن تحرك الجسم لمدة أربع ثوان، كان على مسافة مقدارها متران.
والآن، بعد أن راجعنا بعض العمليات الأساسية للتعامل مع التمثيلات البيانية باستخدام تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن، دعونا ننتقل إلى التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن. إن التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، كأي تمثيل بياني آخر، يتكون من محور أفقي ومحور رأسي. لكن هذه المرة، المحور الرأسي يمثل السرعة والمحور الأفقي يمثل الزمن. وحدة السرعة هي المتر لكل ثانية، ووحدة الزمن هي الثواني. تذكر أن ما يعنينا هو التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن للأجسام التي تتحرك بسرعة منتظمة. دعونا نتناول كيف يبدو ذلك.
تعني السرعة المنتظمة أن سرعة الجسم ثابتة. لنفترض إذن أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة تساوي مترين لكل ثانية. ونظرًا لأن السرعة ثابتة، نعلم أنها تظل كما هي في جميع الأزمنة. إذن، سرعة الجسم عند ثانية واحدة هي متران لكل ثانية. دعونا نوجد هذه النقطة على التمثيل البياني. أولًا، نرسم خطًّا رأسيًّا يتقاطع مع المحور الأفقي عند الزمن ثانية واحدة. بعد ذلك، نرسم خطًّا أفقيًّا يتقاطع مع المحور الرأسي عند السرعة مترين لكل ثانية. نقطة تقاطع هذين الخطين المستقيمين هي النقطة التي تمثل ثانية واحدة ومترين لكل ثانية على التمثيل البياني.
بما أن السرعة ثابتة عند ثانيتين وثلاث ثوان وأربع ثوان، فإن السرعة تساوي أيضًا مترين لكل ثانية. على التمثيل البياني، تكون هذه النقاط هنا وهنا وهنا. وتوجد كل هذه النقاط على نفس الخط الأفقي؛ لأن السرعة ثابتة في جميع الأزمنة. وفي الواقع، التمثيل البياني الكامل للسرعة مقابل الزمن لهذا الجسم هو الخط الأفقي عندما تكون قيمة المحور الرأسي مترين لكل ثانية. رسمنا للتو التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لجسم بمعلومية سرعته المنتظمة؛ فدعونا الآن نفعل العكس. سنتناول التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لجسم ما ونوجد سرعته.
رسمنا هنا خطًّا مستقيمًا آخر على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. يمكننا أن نلاحظ مباشرة أن هذا الخط أفقي. ونظرًا لأن الخط أفقي، فإن كل نقطة على الخط لها نفس قيمة المحور الرأسي، وهي متر واحد لكل ثانية. إذن، يمثل هذا الخط جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها متر واحد لكل ثانية. نعلم أن السرعة يجب أن تكون ثابتة لأن الخط الموجود على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن أفقي. لنقارن الآن بين الخطين اللذين رسمناهما؛ حيث يناظر أحدهما سرعة مقدارها متران لكل ثانية، ويناظر الآخر سرعة مقدارها متر واحد لكل ثانية.
يمكننا ملاحظة أن الخط المناظر للسرعة التي مقدارها متران لكل ثانية أعلى من الخط المناظر للسرعة التي مقدارها متر واحد لكل ثانية على امتداد المحور الرأسي. وهذا منطقي؛ لأن قيم السرعة تزداد كلما تحركنا لأعلى على امتداد المحور الرأسي. لذلك، يجب تمثيل الأجسام التي تتحرك بسرعات أكبر بخطوط أبعد على امتداد المحور الرأسي. دعونا نضف خطًّا آخر إلى هذا التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. لا توجد علامة توضح موضع تقاطع هذا الخط مع محور السرعة. لذا، بدلًا من محاولة إيجاد هذه القيمة الدقيقة، دعونا نصف الجسم الذي يمثله هذا الخط وصفًا نوعيًّا.
هذا الخط أفقي. وكما عرفنا من قبل، الخطوط الأفقية على التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن تشير إلى الأجسام المتحركة بسرعة ثابتة. يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا الخط يقع على مسافة أبعد على امتداد المحور الرأسي من الجسم الذي يتحرك بسرعة متر واحد لكل ثانية والجسم الذي يتحرك بسرعة مترين لكل ثانية. لذلك، يجب أن يناظر هذا الخط سرعة منتظمة أكبر من مترين لكل ثانية.
على الرغم من أننا لا نعرف القيمة الدقيقة لسرعة هذا الجسم، فإنه بمجرد النظر إلى التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، تمكنا من معرفة أنه يتحرك بسرعة منتظمة، وأيضًا من مقارنة هذه السرعة بسرعة الأجسام الأخرى التي رسمناها. الأمر الأخير الذي تجدر الإشارة إليه قبل أن نتابع هو أن السرعة تساوي دائمًا قيمة موجبة أو صفرًا. وهذا يعني أن الخطوط على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لا يمكن أن تصل أبدًا إلى ما دون الصفر على المحور الرأسي.
بعد أن تعلمنا كيف نفسر التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن في حد ذاتها، دعونا الآن نقارن التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن بالتمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن. التمثيل البياني الموجود على اليسار هو تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن، وهو على شكل خط مستقيم. تذكر أن الخطوط المستقيمة على التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن تمثل السرعة المنتظمة، وميل الخط المستقيم هو سرعة الجسم. نريد الآن معرفة كيف سيبدو التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لنفس الجسم.
حسنًا، الجسم يتحرك بسرعة منتظمة، ونحن نعلم كيف تبدو السرعة المنتظمة على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. إنها مجرد خط أفقي. وهذا الخط الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن يمثل أيضًا جسمًا يتحرك بسرعة منتظمة. للتأكد من أن هذين الخطين المستقيمين يمثلان الجسم نفسه، كل ما علينا فعله هو التأكد من أن قيمة السرعة على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، أي عند الموضع الذي يتقاطع عنده الخط الأفقي مع المحور الرأسي، هي قيمة الميل نفسها على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. لننتقل الآن من الخط الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن إلى الخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.
هذا هو الخط الأفقي الذي يمثل جسمًا يتحرك بسرعة مختلفة. نظرًا لأننا لم نحدد مقياس المحور الرأسي، فإننا لا نعرف سرعة هذا الجسم. لكننا نعلم أن الخط الأصفر يقع أسفل الخط الأزرق على امتداد المحور الرأسي. هذا يعني أن الجسم الذي يمثله الخط الأصفر يتحرك بسرعة أقل من سرعة الجسم الذي يمثله الخط الأزرق. وهو ما يعني أن سرعته أقل. على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، يمثل الجسم الذي يتحرك بسرعة منتظمة أقل بواسطة خط مستقيم ذي ميل أقل؛ مثل هذا الخط هنا. من المنطقي أن يكون الميل أقل بالنسبة إلى الأجسام التي تتحرك بسرعات أقل؛ لأن ميل الخط الذي يمثل الجسم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يجب أن يساوي سرعة الجسم بالضبط.
يجدر التأكيد مرة أخرى على أنه بالرغم من أننا لم نرسم مقاييس على المحاور لدينا، فإن قيمة ميل الخط الأصفر على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي نفسها القيمة على المحور الرأسي للخط الأفقي الأصفر على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. دعونا الآن نضف جسمًا ثالثًا إلى هذه التمثيلات البيانية. سيتحرك هذا الجسم بسرعة منتظمة بين السرعتين اللتين مثلناهما بالفعل. ومن السهل فعل ذلك على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. فليس علينا سوى رسم خط أفقي يتقاطع مع المحور الرأسي أسفل الخط الأزرق وفوق الخط الأصفر. يمكننا اختيار أي قيمة على المحور الرأسي في هذا النطاق. لنختر هذه القيمة.
يقع الخط الأخضر بين الخطين الأزرق والأصفر، لذا فإن سرعة الجسم الذي يمثله هذا الخط أقل من سرعة الجسم الذي يمثله الخط الأزرق، ولكنها أكبر من سرعة الجسم الذي يمثله الخط الأصفر. يعني هذا أن سرعة الجسم الذي يمثله الخط الأخضر تقع عند موضع ما في المنتصف. والخط المناظر على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن سيكون له ميل يساوي القيمة الموجودة على المحور الرأسي لهذا الخط. وبما أن هذه السرعة تقع في منتصف السرعتين الأخريين، فإن ميل هذا الخط سيكون أقل من ميل الخط الأكثر انحدارًا، ولكنه سيكون أيضًا أكبر من ميل الخط الأقل انحدارًا.
مرة أخرى، هذا أمر منطقي تمامًا. ففي الفترة الزمنية نفسها، سيتحرك الجسم الأسرع أطول مسافة. أما الجسم الأبطأ، فسيتحرك أقصر مسافة. والجسم الذي سرعته في المنتصف، سيتحرك مسافة معينة بين المسافتين الأطول والأقصر. حسنًا، بعد أن عرفنا كيف نتعامل مع التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن، دعونا نتناول مثالًا.
أي خط ملون على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن يوضح حركة الجسم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن؟
لدينا تمثيلان بيانيان لنستخدمهما في هذا السؤال. على اليمين، لدينا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، ويمكننا معرفة ذلك لأن المسافة ممثلة على المحور الرأسي. وعلى اليسار، لدينا التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، ونعرف هذا لأن السرعة ممثلة على المحور الرأسي. يوجد خط واحد على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، وهذه هي حركة الجسم المذكور في السؤال. وعلينا تحديد ما إذا كان الخط الأحمر المائل أم الخط الأخضر الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن هو الخط الذي يناظر هذه الحركة. لكن نلاحظ أن هذين التمثيلين البيانيين لا يتضمنان مقاييس على محوري كل منهما، لذلك لن نتمكن من حل هذه المسألة من الناحية الكمية. وعلينا الحل من الناحية النوعية.
حسنًا، سنتناول فيما يأتي ما نعرفه عن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. أولًا، إنه خط مستقيم. ولعلنا نتذكر أن الخطوط المستقيمة على التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن تمثل أجسامًا تتحرك بسرعة منتظمة. ويمكننا أيضًا أن نتذكر أنه لأي جسم يتحرك بسرعة منتظمة، فإن ميل الخط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل سرعة الجسم. الملاحظة الأساسية هنا هي أن سرعة الجسم ثابتة. نتذكر أنه في التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن، تمثل الأجسام التي تتحرك بسرعة ثابتة بواسطة خطوط أفقية. وارتفاع الخط الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن هو السرعة الثابتة للجسم. هذا هو أهم اختلاف بين التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن والتمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن التي توضح السرعة المنتظمة.
في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن للسرعة المنتظمة، تكون السرعة هي ميل الخط المستقيم. ولكن في التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن للسرعة المنتظمة، يكون الخط دائمًا أفقيًّا وارتفاعه هو السرعة. لذا ليس علينا سوى تحديد الخط الأفقي الصحيح على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. حسنًا، هناك خط أفقي واحد فقط. إنه الخط الأخضر. فالخط الأحمر ليس أفقيًّا. إذن، يجب أن يكون الخط الأخضر الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن هو الخط الذي يوضح حركة الجسم الموضح على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. يمكننا أيضًا التحقق مرة أخرى من أن الخط الأحمر المائل على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لا يمثل الإجابة الصحيحة. الحركة التي تعنينا هنا لها سرعة منتظمة؛ أي إن السرعة تظل كما هي في جميع الأزمنة.
لنلق إذن نظرة على زمنين مختلفين على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، وليكن هذا الزمن هنا وهذا الزمن هنا. لإيجاد السرعتين المناظرتين اللتين يمثلهما الخط الأحمر في هذين الزمنين، نرسم أولًا خطًّا رأسيًّا من المحور الأفقي إلى الخط الأحمر. بعد ذلك، نرسم خطًّا أفقيًّا إلى المحور الرأسي. ونفعل ذلك من كل نقطة من نقطتي التقاطع هاتين. فالموضعان اللذان يتقاطع عندهما هذان الخطان الأفقيان مع المحور الرأسي هما السرعتان في كل زمن من الزمنين المعنيين. وعلى وجه التحديد، تمثل السرعة عند هذا الزمن الأول بواسطة هذه النقطة على المحور الرأسي، وتمثل السرعة عند هذا الزمن الثاني بواسطة هذه النقطة على المحور الرأسي. لكن النقطتين على المحور الرأسي لهما قيمتان مختلفتان، ومن ثم فإنهما تمثلان سرعتين مختلفتين.
بذلك نجد أن الحركة التي يمثلها الخط الأحمر لها سرعات مختلفة في أزمنة مختلفة. وهذا يعني أن الخط الأحمر لا يمكن أن يكون الإجابة الصحيحة؛ لأن سرعته مختلفة في أزمنة مختلفة، والجسم الذي يعنينا سرعته منتظمة. وهو ما يعني أن سرعته يجب أن تكون ثابتة في جميع الأزمنة. وهكذا، نكون قد توصلنا إلى أن الخط الأخضر هو الإجابة الصحيحة، والخط الأحمر لا يمكن أن يمثل الإجابة الصحيحة.
حسنًا، بعد أن تناولنا هذا المثال، دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. تعلمنا أولًا في هذا الفيديو أنه يمكننا تحديد التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن برؤية السرعة ممثلة على المحور الرأسي والزمن ممثلًا على المحور الأفقي. عرفنا أن الخطوط الأفقية على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن تمثل الأجسام التي تتحرك بسرعة منتظمة. وعرفنا أيضًا أن ارتفاع هذه الخطوط الأفقية هو سرعة الجسم. لذا، فإن الخطوط الموجودة بالأعلى على المحور الرأسي تمثل أجسامًا تتحرك بسرعة أكبر، في حين أن الخطوط الموجودة بالأسفل على المحور الرأسي تمثل أجسامًا تتحرك بسرعة أقل.
لكن لا يمكن لأي من هذه الخطوط، ولا لأي نقاط إطلاقًا على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن أن تكون في موضع أقل من الصفر على امتداد المحور الرأسي؛ لأن السرعة تكون دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا. وأخيرًا، عرفنا كيف نقارن بين التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن والتمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن للسرعة المنتظمة من خلال مقارنة ميل الخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن بارتفاع الخط الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن.
