فيديو: الاحتمال الشرطي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الاحتمال الشرطي باستخدام الصيغة وأشكال فن.

١٩:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحسب الاحتمال الشرطي باستخدام الصيغة وأشكال فن. ثمة مواقف كثيرة قد نحتاج فيها إلى أن نطبق قواعد الاحتمال الشرطي. ومن أمثلة ذلك، عندما نريد أن نعرف ما إذا كان لون عيني أحد الأشخاص متأثرًا أو مشروطًا بلون عيني والديه. كذلك عندما نريد، في مجموعة من البطاقات، معرفة ما إذا كانت قيمة البطاقة الثانية في المجموعة، في حالة عدم إبدال البطاقة الأولى، ستتوقف على قيمة البطاقة الأولى. هذه كلها مواقف يمكننا فيها استخدام الاحتمال الشرطي.

ويمكننا تعريف الاحتمال الشرطي رياضيًا على النحو التالي. إذا أردنا تعريف الاحتمال الشرطي، يمكننا القول إنه إذا تأثر احتمال وقوع الحدث ﺏ بوقوع الحدث ﺃ، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ مشروط بوقوع الحدث ﺃ. والرمز المستخدم للتعبير عن الاحتمال الشرطي مكتوب هنا. إنه حرف ﻝ يليه قوسان بينهما ﺏ ثم خط رأسي ثم ﺃ. ويقرأ: احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ.

وبناء على شكل المسألة، فإن لدينا عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لتساعدنا على حساب الاحتمالات الشرطية. يتضمن ذلك استخدام أشكال فن ومخططات الشجرة البيانية، وأيضًا صيغة الاحتمال الشرطي. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا استخدام بعض قواعد الاحتمال. لنسترجع سريعًا بعض هذه القواعد الآن.

إذا ألقينا نظرة على الرمز، فسنرى أن هذا يعني احتمال وقوع الحدث ﺃ. إذن، القاعدة الأولى هي أن احتمال وقوع الحدث ﺃ أكبر من أو يساوي صفرًا، لكنه أقل من أو يساوي واحدًا. ثم تأتي القاعدة الثانية، وتنص على أن مجموع احتمالات جميع النواتج الممكنة يساوي واحدًا. أما القاعدة الثالثة، فتنص على أن احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ أو احتمال عدم وقوع ﺃ يعطى بالصيغة: وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع الحدث ﺃ.

تجدر الإشارة هنا إلى أن لدينا في هذا الرمز ﺃ بار أو ﺃ بخط أفقي فوقه. ويعني هذا الحدث المكمل لـ ﺃ. ونلاحظ أيضًا أن لدينا ﺃ شرطة، ويشير إلى الشيء نفسه. هذا يعني حدث عدم وقوع ﺃ. سنتناول لاحقًا بعض القواعد أو الصيغ الأخرى التي تتعلق بالاحتمال الشرطي.

والآن لنلق نظرة على بعض الأمثلة. في المثال الأول سنحسب احتمال وقوع الحدث المكمل لحدث ما. لا يتعلق هذا السؤال مباشرة بالاحتمال الشرطي في الواقع، ولكنه يوضح لنا بعض المهارات المفيدة التي سنستخدمها لاحقًا.

في ملجأ لرعاية الحيوانات، تمثل القطط ٤٢ بالمائة من الحيوانات، وتمثل الكلاب ٣٨ بالمائة من الحيوانات. أوجد احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط. ثم أوجد احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط أو الكلب.

يتطلب الجزء الأول من هذه المسألة إلقاء نظرة على القطط، لأن ما نريده هو إيجاد احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط. أولًا، تخبرنا المسألة أن القطط تمثل ٤٢ بالمائة من الحيوانات الموجودة. وعليه فإن احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على قط هو ٠٫٤٢. وعرفنا ذلك لأن ٤٢ بالمائة يعني ٤٢ من ١٠٠. وعليه إذا قسمنا ٤٢ على ١٠٠، فسيساوي ذلك ٠٫٤٢. وذلك لأنه عند القسمة على ١٠٠ نحرك كل رقم بمقدار قيمتين مكانيتين إلى اليمين.

حسنًا، في هذه المسألة ما نريد إيجاده هو احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط. وما سيساعدنا في هذا هو القاعدة أو الصيغة. وتنص هذه القاعدة على أن احتمال عدم وقوع حدث ما، أو ما يعرف أيضًا بالحدث المكمل، يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع هذا الحدث. من المهم أن نذكر أنفسنا عند هذه المرحلة أن لدينا ﻝ، ثم لدينا بين القوسين ﺃ بخط أفقي فوقه. ويمكننا كتابة ذلك أيضًا بالصورة: ﻝ ثم بين القوسين ﺃ شرطة. ويعطينا هذا الشيء نفسه، فهو مجرد رمز مختلف نشير به إلى الحدث المكمل لـ ﺃ، أو احتمال وقوع الحدث المكمل لـ ﺃ.

إذا طبقنا هذه القاعدة على المسألة، فسنجد أن احتمال وقوع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط يساوي واحدًا ناقص ٠٫٤٢، وهو ما يساوي ٠٫٥٨. إذن، يمكننا القول إن هذا هو احتمال أن يقع الاختيار على حيوان غير القط.

حسنًا، لننتقل الآن إلى الجزء الثاني من السؤال. في الجزء الثاني، نعلم بالفعل أن احتمال وقوع الاختيار على قط يساوي ٠٫٤٢. ومن ثم عرفنا كذلك أن احتمال أن يقع الاختيار على كلب يساوي ٠٫٣٨. واستنتجنا ذلك لأن الكلاب تمثل ٣٨ بالمائة. ‏‏٣٨ على ١٠٠ يساوي ٠٫٣٨.

في الجزء الثاني من المسألة، يمكننا الحل باستخدام قاعدة نعرفها بالفعل. لكن من المفيد دائمًا أن نلقي نظرة على صيغة مختلفة يمكن استخدامها. نحن نبحث عن احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط أو الكلب. يمكننا كتابة ذلك كما هو موضح هنا بحيث يقع الشكل ‪𝑈‬‏ بين المكملتين. وهذا يعني الكل أو الاتحاد.

حسنًا، نعلم أن جميع احتمالات أي من النواتج الممكن وقوعها لحدث معين لا بد أن يساوي واحدًا. ومن ثم يمكننا القول إن احتمال وقوع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط أو الكلب يساوي واحدًا ناقص حاصل جمع احتمال اختيار قط زائد احتمال اختيار كلب. وسيساوي هذا واحدًا ناقص ٠٫٤٢ زائد ٠٫٣٨، وهو ما يعطينا أن احتمال أن يقع الاختيار العشوائي على حيوان غير القط أو الكلب يساوي ٠٫٢.

حسنًا، في هذا المثال تناولنا حدثين متنافيين، لأنه عند اختيار حيوان عشوائيًا من ملجأ لرعاية الحيوانات، لا يمكن أن يقع اختيارنا على قط وكلب في آن واحد. ومع ذلك ليست كل الأحداث متنافية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى أنواع الحيوانات التي يحبها الناس، فقد يحب أحدهم القطط والكلاب معًا. ومن ثم فالحدثان ليسا متنافيين.

بوضع ذلك في الاعتبار، يصبح لدينا بعض القواعد التي سنضيفها إلى ما عرفناه مسبقًا. أولًا، إذا كان لدينا الحدثان ﺃ وﺏ المستحيل وقوعهما في الوقت نفسه، فسيعرف الحدثان بأنهما متنافيان. وفي هذه الحالة، احتمال وقوع ﺃ وﺏ معًا هو صفر بالتأكيد. ويمكننا كتابة ذلك على صورة: احتمال تقاطع ﺃ مع ﺏ يساوي صفرًا.

وبناء على هذا، إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، فإن احتمال وقوع ﺃ أو ﺏ يساوي مجموع احتمالي وقوعهما. ونكتب ذلك كما يلي. احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ. أما إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ غير متنافيين، فسيكون لدينا قاعدة أخرى لوقوع ﺃ أو ﺏ. وهي أن احتمال وقوع ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ ناقص احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ.

حسنًا، حتى هذه المسألة نكون قد تناولنا الأحداث المتنافية. ويمكننا الآن أن نلقي نظرة على مثال لحدثين غير متنافيين. وما سنفعله هو إيجاد الاحتمال الشرطي باستخدام أشكال فن.

في أحد الشوارع يوجد ١٠ منازل بها قطط، وثمانية منازل بها كلاب، وثلاثة منازل بها قطط وكلاب، وسبعة منازل لا يوجد بها أي منهما. أوجد إجمالي عدد المنازل في الشارع. وعليه أوجد احتمال وقوع الاختيار العشوائي على منزل يوجد به قط وكلب. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية. ثم أوجد احتمال أن يوجد في أحد المنازل بالشارع قط أو كلب أو كلاهما معًا. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

هناك جزء آخر سننتقل إليه بعد ذلك. لحل هذه المسألة، سنبدأ بوضع جميع المعطيات في شكل فن. لدينا شكل فن؛ حيث تمثل الدائرة اليمنى القطط، وتمثل الدائرة اليسرى الكلاب. وسنبدأ ببعض المعلومات التي نعرفها عنهما.

نعلم أن هناك ثلاثة منازل يوجد بها قط وكلب. إذن سنضع هذا في الجزء الموجود في المنتصف، وهو التقاطع. وخارج الدائرتين، سنكتب العدد سبعة؛ لأن ثمة سبعة منازل لا يوجد بها قط أو كلب. ثم نكتب سبعة في الجزء المتبقي من دائرة القطط. وذلك لأنه يوجد ١٠ منازل بها قط. وإذا كان لدينا ثلاثة بالفعل منها في التقاطع، فسيتبقى لدينا سبعة. وأخيرًا، سيكون لدينا خمسة في دائرة الكلاب، ولكن ليس في المنتصف. وذلك لأن ثمة ثمانية منازل فيها كلب، ولدينا ثلاثة منها بالفعل في التقاطع. وخمسة زائد ثلاثة يساوي ثمانية. إذن لدينا خمسة هنا.

حسنًا، ما نحاول فعله هو إيجاد احتمال وقوع الاختيار العشوائي على منزل فيه قط وكلب. ما يعنينا إذن هو التقاطع. أي إننا سنوجد احتمال تقاطع ﻕ مع ﻙ. وهو ما يساوي ثلاثة، داخل التقاطع البيضوي الشكل، على إجمالي عدد المنازل، وهو سبعة زائد سبعة زائد ثلاثة زائد خمسة، وبجمعها معًا نحصل على ٢٢.

حسنًا، لدينا الإجابة في صورة كسر. لكن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لثلاث منازل عشرية. علينا إذن إيجاد ذلك في صورة عدد عشري. وعندما نفعل ذلك، نجد أن احتمال وقوع الاختيار العشوائي على منزل فيه قط وكلب هو ٠٫١٣٦ لأقرب ثلاث منازل عشرية. حسنًا، رائع، لننتقل الآن إلى الجزء الثاني.

في الجزء الثاني، نحاول إيجاد احتمال أن يوجد في المنزل قط أو كلب أو كلاهما معًا. ولكي نفعل ذلك، سنستخدم إحدى قواعد الاحتمال. وتنص هذه القاعدة على أن احتمال وقوع ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ ناقص احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكننا استخدام هذه القاعدة لأن الحدثين غير متنافيين. هذا يعني أن وجود قط أو كلب ليس حدثًا متنافيًا في هذا المثال.

في هذا المثال، نعرف احتمال وجود قط زائد احتمال وجود كلب ناقص احتمال وجود قط وكلب. أولًا، لدينا احتمال وجود قط، وهو ١٠ على ٢٢. ثم لدينا احتمال وجود كلب، وهو ثمانية على ٢٢. ثم سنطرح احتمال وجود قط وكلب، وهو ما وجدنا أنه يساوي ثلاثة على ٢٢. حسنًا، سيعطينا هذا ١٥ على ٢٢. مرة أخرى، نريد الناتج في صورة عدد عشري لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، يمكننا القول إن احتمال وجود قط أو كلب أو كليهما معًا في منزل بالشارع هو ٠٫٦٨٢ لأقرب ثلاث منازل عشرية. حسنًا، رائع، لننتقل الآن إلى الجزء الثالث.

إذا وجد قط في أحد المنازل بالشارع، فأوجد احتمال وجود كلب أيضًا.

إذا نظرنا مرة أخرى إلى شكل فن، فسنرى أن أحد المنازل به قط. وهو الشرط الذي وضعه السؤال. لذا رسمنا دائرة القطط باللون الوردي. لدينا سبعة منازل وثلاثة منازل؛ لأن لدينا الجزء الذي يتضمن المنازل التي يوجد بها قطط فقط، والجزء الذي يتضمن المنازل التي يوجد بها قطط وكلاب.

إذن ننظر الآن إلى عينة من ١٠ منازل لأن هذا هو مجموع العددين داخل هذه الدائرة. حسنًا، علينا إيجاد احتمال وجود كلب أيضًا في المنزل. حسنًا، هذا هو التقاطع، لأنه الجزء الذي يوجد به كلب وقط، أي ثلاثة. والطريقة التي نعبر بها عن هذا بالرموز هي احتمال وجود كلب بشرط وجود قط، وهو ما يعنيه الخط الرأسي. وهو ما يساوي ثلاثة على ١٠، لأننا نقسم ثلاثة على أصغر عينة.

وتماشيًا مع بقية المسألة، سنحول الناتج إلى عدد عشري. لذا يمكننا القول إنه إذا وجد قط في منزل بالشارع، فإن احتمال وجود كلب أيضًا هو ٠٫٣.

ما فعلناه هنا هو حساب احتمال شرطي، وقد فعلنا ذلك باستخدام أشكال فن. ولكن هناك طريقة أخرى لحساب الاحتمال الشرطي، وهي استخدام الصيغة. وتنص صيغة الاحتمال الشرطي هذه على أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال وقوع ﺏ. حسنًا، ما سنفعله الآن هو إلقاء نظرة على مثال آخر يستخدم ذلك. وسيتضمن المثال قطًا وكلبًا ومنزلًا أيضًا.

في أحد الشوارع، ٢٥ منزلًا؛ في ١٢ منزلًا منها قطط، وفي أربعة منازل منها قطط وكلاب. إذا كان أحد المنازل فيه قط، فما احتمال أن يكون في هذا المنزل كلب أيضًا؟ قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

لكي نعرف احتمال وجود كلب في منزل به قط، سنستخدم صيغة الاحتمال الشرطي. وتنص صيغة الاحتمال الشرطي على أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ، أو ﺃ وﺏ، مقسومًا على احتمال وقوع ﺏ. إذن في هذه الحالة احتمال وجود كلب في منزل بشرط وجود قط فيه أيضًا يساوي احتمال وجود كلب وقط في المنزل مقسومًا على احتمال وجود قط في المنزل.

أولًا، يمكننا إيجاد احتمال وجود قط في المنزل. حسنًا، إذا كان هناك ٢٥ منزلًا في المجمل، ويوجد في ١٢ منها قطط، فإن احتمال وجود قط في أحد المنازل هو ١٢ على ٢٥. احتمال وجود كلب وقط في المنزل سيساوي ما يلي. نلاحظ وجود أربعة منازل بها قط وكلب. وإجمالي عدد المنازل لدينا ٢٥ منزلًا. وهذا يعطينا الاحتمال أربعة على ٢٥.

رائع، لدينا الآن المعلومتان اللازمتان لاستخدام صيغة الاحتمال الشرطي. فلنبدأ الآن بالتعويض فيها. حسنًا، إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن أربعة على ٢٥ مقسومًا على ١٢ على ٢٥ هو احتمال وجود كلب في منزل يوجد به قط. حسنًا، نعلم من قواعد قسمة الكسور أنه إذا كان لدينا كسر مقسوم على كسر آخر، فسنضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني. إذن نقلب الكسر الثاني.

ثم نقسم كلًا من البسط والمقام على ٢٥ ومن ثم نحذفهما معًا. إذن لدينا أربعة مضروبًا في واحد على واحد مضروبًا في ١٢، وهو ما يساوي أربعة على ١٢. وبقسمة البسط والمقام على أربعة، سنحصل على ثلث. حسنًا، نريد الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية، وليس في صورة كسر. إذن سنكتب ما يساويه هذا. يمكننا استخدام الآلة الحاسبة وقسمة واحد على ثلاثة. ولكن لا بد أننا نعلم أن ثلثًا يساوي ٠٫٣ دوري. وهو ما يعني ٠٫٣٣٣، وهو لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن نستنتج أنه عند وجود قط في منزل، فإن احتمال وجود كلب في المنزل نفسه أيضًا هو ٠٫٣٣٣.

بهذا نكون قد ألقينا نظرة على بعض الأمثلة التي تتضمن صيغة الاحتمال الشرطي، بما في ذلك هذا المثال. وسنرى الآن مثالًا يمكننا فيه تحديد ما إذا كان حدثان مستقلين أم لا باستخدام الاحتمال الشرطي.

افترض أن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي خمسين، واحتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي ثلاثة أسباع. احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي خمسًا. احسب احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، ثم وضح إذا ما كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين.

لحل الجزء الأول من هذه المسألة، يمكننا استخدام صيغة الاحتمال الشرطي. ولكي نستخدمها، سنعوض بالقيم التي نعرفها. أولًا، نعلم أن احتمال ﺃ وﺏ يساوي خمسًا. وسنقسم ذلك على احتمال وقوع ﺏ، وهو ثلاثة أسباع، وباستخدام قواعد الكسور، سيساوي هذا خمسًا في سبعة على ثلاثة.

ولحساب قيمة ذلك، نضرب البسطين والمقامين، وهو ما يعطينا سبعة على ١٥. إذن، يمكننا القول إن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي سبعة على ١٥.

في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا تحديد إذا ما كان الحدثان مستقلين أم لا. حسنًا، إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ سيساوي احتمال وقوع ﺃ. حسنًا، احتمال وقوع ﺃ يساوي خمسين. ولمقارنة هذا باحتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، سنحول مقام الكسر إلى ١٥. وذلك بضرب البسط والمقام في ثلاثة. ويعطينا هذا ستة على ١٥. بما أن ستة على ١٥ لا يساوي سبعة على ١٥، فإن الحدثين ﺃ وﺏ غير مستقلين.

رائع، بهذا نكون قد تناولنا عددًا من الأمثلة المختلفة. لننظر الآن إلى النقاط الرئيسية في الدرس. أولًا، إذا تأثر احتمال وقوع الحدث ﺏ بوقوع الحدث ﺃ، فإننا نقول إن احتمال وقوع الحدث ﺏ مشروط بوقوع الحدث ﺃ. ونستخدم هذا الرمز، الذي يعني احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ.

بعد ذلك، تناولنا بعض قواعد الاحتمال العامة. وهي أن احتمال وقوع حدث ما يتراوح بين صفر وواحد. وأن مجموع احتمالات جميع النواتج الممكنة يساوي واحدًا. كما عرفنا أن احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ، أي عدم وقوع ﺃ، يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع ﺃ. ولحساب الاحتمال الشرطي، يمكننا استخدام أشكال فن. وكذلك يمكننا استخدام الصيغة التي لدينا، وهي أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال وقوع ﺏ. وأيضًا يمكننا استخدام مخططات الشجرة البيانية التي تناولناها في درس آخر.

وأخيرًا، يمكننا القول إن الحدثين ﺃ وﺏ مستقلان إذا كان احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ، واحتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺏ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.