فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل المحدد لستة جا ‏𝜋‏ﻉ على أربعة بين الحدين سالب سبعة وسالب خمسة.

أول ما سنفعله هنا هو إخراج الستة خارج التكامل. نفعل ذلك لأن هذا حد ثابت. ولن يؤثر على التكامل. أصبح لدينا بذلك ستة مضروبًا في التكامل المحدد لـ جا ‏𝜋‏ﻉ على أربعة بين الحدين سالب سبعة وسالب خمسة. والآن دعونا نذكر أنفسنا بما علينا فعله عندما نريد إيجاد تكامل محدد. إذا أردنا إيجاد تكامل محدد بين الحدين ﺃ وﺏ لدالة ما، فما نفعله هو أننا نكامل هذه الدالة بالتعويض عن ﺱ بـ ﺏ والتعويض عن ﺱ بـ ﺃ. وبعد ذلك، نطرح القيمة التي عوضنا فيها بـ ﺃ من القيمة التي عوضنا فيها بـ ﺏ.

إذن ما علينا فعله الآن هو حساب تكامل جا ‏𝜋‏ﻉ على أربعة. ولفعل ذلك، نستخدم التعويض. نقول إذن إن ﻕ يساوي ‏𝜋‏ﻉ على أربعة. إذا اشتققنا ذلك بالنسبة إلى ﻉ، فسنحصل على ﺩﻕ على ﺩﻉ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة. ونحصل على ذلك لأننا إذا اشتققنا ‏𝜋‏ﻉ على أربعة، فهذا يساوي ‏𝜋‏ على أربعة مضروبًا في مشتقة ﻉ؛ حيث مشتقة ﻉ تساوي واحدًا. وعليه، نحصل على ‏𝜋‏ على أربعة.

وفي التكامل بالتجزيء، نفترض أن ﺩﻕ وﺩﻉ تفاضلان. إذن يمكننا كتابة ذلك على صورة ﺩﻕ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة ﺩﻉ. ويمكننا ملاحظة أنه على الرغم من أن ﺩﻕ على ﺩﻉ ليس بالتأكيد كسرًا، فإننا نتعامل معه على أنه كذلك في هذه العملية. ما نفعله بعد ذلك هو قسمة الطرفين على ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يعادل الضرب في أربعة والقسمة على ‏𝜋‏. وبهذا، نحصل على أربعة على ‏𝜋‏. ﺩﻕ يساوي ﺩﻉ.

حسنًا، لدينا الآن ﺩﻉ بدلالة ﺩﻕ. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في التكامل. عندئذ، يصبح لدينا ستة مضروبًا في التكامل المحدد لأربعة على ‏𝜋‏ جا ﻕ ﺩﻕ بين الحدين سالب سبعة وسالب خمسة. ومرة أخرى، يمكننا تيسير الأمور بإخراج المعامل. فنحصل على حد ثابت. لدينا هنا ٢٤ على ‏𝜋‏. وحصلنا على ذلك لأن ستة مضروبًا في أربعة على ‏𝜋‏ يساوي ٢٤ على ‏𝜋‏ مضروبًا في التكامل المحدد لـ جا ﻕ ﺩﻕ بين الحدين سالب سبعة وسالب خمسة. وبإجراء التكامل على جا ﻕ، نحصل على سالب جتا ﻕ. وهذا أحد التكاملات القياسية؛ لأننا نعلم أن تكامل جا ﺱ يساوي سالب جتا ﺱ.

في هذه المرحلة، يمكننا أيضًا استخدام تعريف التعويض لتغيير الحدين. لكننا سنعوض عن ﻕ بـ ‏𝜋‏ﻉ على أربعة بعد المكاملة لكي يرجع التكامل إلى صورته الأصلية. إذن ما علينا فعله الآن هو التعويض مجددًا عن ﻕ. ومن ثم نحصل على سالب جتا ‏𝜋‏ﻉ على أربعة بدلًا من سالب جتا ﻕ. وهذا يعطينا ٢٤ على ‏𝜋‏ مضروبًا في المقدار التالي. سالب جتا سالب خمسة ‏𝜋‏ على أربعة ناقص سالب جتا سالب سبعة ‏𝜋‏ على أربعة. وبهذا نكون قد عوضنا عن ﻉ بسالب سبعة وسالب خمسة.

والآن قبل حساب ذلك، علينا التأكد من ضبط إعدادات الآلة الحاسبة. علينا التأكد من أنها مضبوطة على وحدة الراديان. من المفترض أن يظهر الحرف ‪r‬‏ أو ‪rad‬‏ بخط صغير في ركن الشاشة. وذلك لأننا نتعامل مع الزوايا بدلالة ‏𝜋‏. لذا نعلم أننا نتعامل مع الراديان. نحصل إذن على ٢٤ على ‏𝜋‏ مضروبًا في جذر اثنين على اثنين ناقص سالب جذر اثنين على اثنين.

يقودنا ذلك إلى الإجابة النهائية، وهي ٢٤ جذر اثنين على ‏𝜋‏. وحصلنا على ذلك لأن لدينا جذر اثنين على اثنين ناقص سالب جذر اثنين على اثنين. وطرح قيمة سالبة يعني أننا نجري عملية جمع. إذن نحصل على اثنين جذر اثنين على اثنين. وإذا كان لدينا اثنان جذر اثنين على اثنين، فسنحذف اثنين من بسط الكسر ومقامه. ومن ثم نحصل على جذر اثنين. وبذلك نحصل على ٢٤ على ‏𝜋‏ مضروبًا في جذر اثنين، وهو ما يعطينا ٢٤ جذر اثنين على ‏𝜋‏.