نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي متوازي مستطيلات؛ حيث إحداثيات ﺟ وﻁ هي ستة، صفر، سبعة؛ وصفر، خمسة، سبعة، على الترتيب. أي من الآتي يمثل مجموعة معادلات الخط المستقيم ﺟﻫ في الصورة البارامترية؟ هل هي الخيار (أ) ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ناقص خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ؟ أم الخيار (ب) ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ. أم الخيار (ج) ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ. أم الخيار (د) ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ناقص خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ. أم الخيار (ﻫ) ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ؟
يوجد أيضًا جزء ثان من هذا السؤال سنتناوله لاحقًا. نعلم من معطيات السؤال أن إحداثيات النقطة ﺟ هي ستة، صفر، سبعة. وإحداثيات النقطة ﻁ هي صفر، خمسة، سبعة. في هذا الجزء من السؤال، مطلوب منا إيجاد المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﺟﻫ. نبدأ بتذكر أن المعادلات البارامترية للخط المستقيم هي مجموعة غير فريدة من ثلاث معادلات تأتي على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﻙﺃ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﻙﺏ، وﻉ يساوي ﻉ واحد زائد ﻙﺟ؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم. والمتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ هو متجه اتجاه الخط المستقيم. وﻙ هو عدد حقيقي يعرف بالبارامتر ويقع بين سالب ∞ و∞.
نحن نعلم بالفعل أن النقطة ستة، صفرًا، سبعة تقع على الخط المستقيم ﺟﻫ. وهذا يعني أنه يمكننا أن نجعل هذه الإحداثيات هي قيم ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. لإيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم ﺟﻫ، علينا أولًا إيجاد إحداثيات النقطة ﻫ. تقع النقطة ﻫ على المحور ﺹ. وهذا يعني أن الإحداثيين ﺱ وﻉ لهذه النقطة يساويان صفرًا. تبعد النقطة ﻫ نفس المسافة التي تبعدها النقطة ﻁ عن نقطة الأصل على طول المحور ﺹ. وهذا يعني أن الإحداثي ﺹ لها يساوي خمسة. إذن، إحداثيات النقطة ﻫ هي صفر، خمسة، صفر.
يمكننا حساب متجه اتجاه الخط المستقيم إذا كان لدينا نقطتان تقعان على هذا المستقيم. إننا ببساطة نطرح متجهي موضعهما. ويمكننا إجراء ذلك بأي ترتيب. في هذه الحالة، سنطرح المتجه ستة، صفرًا، سبعة من المتجه صفر، خمسة، صفر. وهذا يعطينا متجه الاتجاه سالب ستة، خمسة، سالب سبعة. سنجعل هذه القيم هي قيم ﺃ وﺏ وﺟ في الصورة العامة.
بالتعويض عن قيمتي ﺱ واحد وﺃ، نجد أن ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ. وبالتعويض عن قيمتي ﺹ واحد وﺏ، يصبح لدينا ﺹ يساوي صفرًا زائد خمسة ﻙ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة ﻙ. وأخيرًا، لدينا ﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ. إن مجموعة المعادلات البارامترية هذه تطابق الخيار (ﻫ) في السؤال. إذن، يمكننا استنتاج أن إحدى مجموعات المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﺟﻫ هي ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ.
كما ذكرنا من قبل، من المهم ملاحظة أن هذا ليس حلًّا وحيدًا. على سبيل المثال، باستخدام المعلومات المعطاة، كان بإمكاننا استخدام النقطة ﻫ بدلًا من النقطة ﺟ للتعويض عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ لأن هذه النقطة تقع أيضًا على الخط المستقيم. وكان بإمكاننا أيضًا طرح متجهي الموضع بالترتيب العكسي، وكنا سنحصل على متجه الاتجاه ستة، سالب خمسة، سبعة. باستخدام أي من هذين الحلين، سنحصل على إجابة صحيحة، ولكنها من الممكن ألا تطابق أحد الخيارات المعطاة.
دعونا نتناول الآن الجزء الثاني من السؤال. هذا الجزء من السؤال يشبه الجزء الأول؛ لذا سنترك بعض خطوات حل الجزء الأول على الشاشة.
أي من الآتي يمثل مجموعة معادلات الخط المستقيم ﺩﻁ في الصورة البارامترية؟ هل هي الخيار (أ) ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ؟ أم الخيار (ب) ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ناقص خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ. أم الخيار (ج) ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ناقص خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ. أم الخيار (د) ﺱ يساوي سالب ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ. أم الخيار (ﻫ) ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ناقص سبعة ﻙ.
إننا نحاول الآن إيجاد مجموعة المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﺩﻁ. نحن نعلم أن هذا المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها صفر، خمسة، سبعة. تقع النقطة ﺩ على المحور ﺱ وقد قطعت نفس المسافة التي قطعتها النقطة ﺟ في اتجاه المحور ﺱ. وهذا يعني أن إحداثيات النقطة ﺩ هي ستة، صفر، صفر. يمكننا استخدام إحداثيات النقطة ﺩ أو النقطة ﻁ للتعويض عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. لمحاولة مطابقة إحدى خيارات الإجابة، سنستخدم النقطة ستة، صفرًا، صفرًا. لكن من المهم أن نلاحظ أننا سنحصل على حل صحيح تمامًا إذا استخدمنا النقطة صفرًا، خمسة، سبعة.
لحساب متجه اتجاه هذا المستقيم، سنطرح متجهي الموضع. مرة أخرى، يمكننا فعل ذلك بأي ترتيب. في هذه الحالة، سنطرح المتجه ستة، صفرًا، صفرًا من المتجه صفر، خمسة، سبعة. هذا يعطينا متجه الاتجاه سالب ستة، خمسة، سبعة. وهذه هي قيم ﺃ وﺏ وﺟ، على الترتيب.
إذن، مجموعة المعادلات البارامترية تكون كالآتي. أولًا: لدينا ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ. ولدينا ﺹ يساوي صفرًا زائد خمسة ﻙ، وهو ما يساوي خمسة ﻙ فقط. وأخيرًا، لدينا ﻉ يساوي سبعة ﻙ. مجموعة المعادلات البارامترية هذه تطابق الخيار (أ). إذن، يمكننا استنتاج أن إحدى مجموعات المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﺩﻁ هي ﺱ يساوي ستة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي خمسة ﻙ، وﻉ يساوي سبعة ﻙ.
