فيديو السؤال: إيجاد معيار المتجهات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ يساوي خمسة، ثلاثة، سالب واحد؛ وﺏ يساوي اثنين، اثنين، ﻙ؛ حيث ﺃ وﺏ متجهان متعامدان، فأوجد معيار المتجه ﺏ.

نبدأ بتذكر أن المتجهين ﻉ وﻕ يكونان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. في هذا السؤال، نبدأ بإيجاد الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ بدلالة ﻙ. نوجد حاصل الضرب القياسي لأي متجهين بضرب قيم مركباتهما المتناظرة، ثم إيجاد مجموع هذه القيم.

في هذا السؤال، لدينا خمسة مضروبًا في اثنين زائد ثلاثة مضروبًا في اثنين زائد سالب واحد مضروبًا في ﻙ. وبما أن المتجهين متعامدان، فإننا نعرف أن هذا يساوي صفرًا. خمسة مضروبًا في اثنين يساوي ١٠، وثلاثة في اثنين يساوي ستة، وسالب واحد مضروبًا في ﻙ يساوي سالب ﻙ. ‏١٠ زائد ستة زائد سالب ﻙ يساوي صفرًا. ويبسط ذلك إلى: صفر يساوي ١٦ ناقص ﻙ. بإضافة ﻙ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نجد أن قيمة ﻙ تساوي ١٦. هذا يعني أن المتجه ﺏ يساوي اثنين، اثنين، ١٦.

والآن، علينا حساب معيار هذا المتجه. معيار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. ومن ثم، فإن معيار المتجه ﺏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد اثنين تربيع زائد ١٦ تربيع. اثنان تربيع يساوي أربعة، و١٦ تربيع يساوي ٢٥٦. إذن، معيار المتجه ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٦٤. باستخدام قوانين الجذور أو الجذور الصماء وحقيقة أن أربعة مضروبًا في ٦٦ يساوي ٢٦٤، فإن جذر ٢٦٤ يساوي جذر أربعة مضروبًا في جذر ٦٦. وبما أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين، فإن معيار المتجه ﺏ، الذي يجب أن يكون موجبًا، يساوي اثنين جذر ٦٦.