تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الدوال المثلثية العكسية وحل المثلثات القائمة الزاوية

سوزان فائق

يوضح الفيديو الدوال المثلثية العكسية في المثلثات القائمة الزاوية، وكيفية حسابها، وكيفية حَلّ المثلثات القائمة الزاوية باستخدامها.

٠٩:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على الدوال المثلثية العكسية، وحل المثلثات القائمة الزاوية باستخدامها. هنعرف يعني إيه الدوال المثلثية العكسية، وإزاي بنحسب قيمتها، وإزاي بنحلّ المثلثات القائمة الزاوية باستخدامها. يعني نوجد أطوال الأضلاع المجهولة والزوايا المجهولة في المثلث القائم الزاوية.

دي قيم الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية. إذا كانت 𝜃 قياس الزاوية الحادَّة في مثلث قائم الزاوية، فإن الدوال المثلثية الست بتُعرَّف بدلالة الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور كالآتي: جا 𝜃 بتساوي المقابل على الوتر. الـ جتا 𝜃 المجاور على الوتر. الـ ظا 𝜃 بتساوي المقابل على المجاور. والـ قتا 𝜃 بتساوي الوتر على المقابل. والـ قا 𝜃 بتساوي الوتر على المجاور. والـ ظتا 𝜃 بتساوي المجاور على المقابل. الدوال دي بتبقى مقلوب الدوال دي، وليس الدالة العكسية لها. في الفيديو ده هنتكلم إيه هي الدالة العكسية.

دي قيم الدوال المثلثية العكسية في المثلثات القائمة الزاوية. الدالة العكسية للجيب بتدينا قيمة الـ 𝜃. الدالة العكسية لجيب التمام بتدينا قيمة الـ 𝜃. الدالة العكسية للظل بتدينا قيمة الـ 𝜃. الـ س دي اللي هي بتمثّل النِّسَب المثلثية اللي استخدمناها لإيجاد الدوال المثلثية. يعني لو مثلًا عندنا نسبة اللي هي اتنين على خمسة. فنقدر نحسب الزاوية 𝜃 قيمتها كام بإن إحنا بنجيب الدالة العكسية للجيب، اللي هو المقابل على المجاور. وهنقدر نجيب قيمة الـ 𝜃.

معنى كده إن الدالة العكسية للدالة المثلثية ليست هي معكوس الدالة المثلثية. حيث أن الدالة العكسية للجيب لا تساوي واحد على جا الـ س.

ناخد مثال ونعرف إزاي هنحسب الزاوية 𝜃 باستخدام الدالة العكسية. في المثال استخدم الدوال المثلثية لإيجاد قيمة الزاوية 𝜃، وقرّب الناتج لأقرب درجة.

في المثلث اللي قدامنا مدّيلنا قيمة المقابل والمجاور للزاوية 𝜃. يبقى نقدر نستخدم الـ ظا 𝜃 علشان بتساوي المقابل على المجاور، اللي هي هتساوي ستة وعشرين على حداشر. باستخدام الدالة العكسية للظل اللي هي الدالة العكسية للظل لستة وعشرين على الحداشر، هتساوي قيمة الـ 𝜃. باستخدام الآلة الحاسبة هنلاقي إن القيمة دي تقريبًا هتساوي سبعة وستين درجة. يبقى كده عرفنا نحسب الزاوية 𝜃 بمعلومية قيم طول ضلعين، واستخدام الدالة المثلثية العكسية.

هنشوف إزاي نعرف نحلّ مثلث قائم الزاوية باستخدام الدوال المثلثية العكسية. ومعنى حلّ المثلث القائم الزاوية يعني إيجاد الأطوال الأضلاع المجهولة والزوايا المجهولة. في المثال بيقول: حل المثلث الآتي مقرِّبًا الناتج لأقرب جزء من العشرة للأطوال، وأقرب درجة للزوايا.

في المثلث الأولاني س ص ع معلوم الزاوية خمسة وتلاتين درجة، والطول ع س بيساوي عشرة. ده مثلث قائم الزاوية. يعني علشان نحل المثلث مطلوب مننا نوجد الـ ع شرطة، والـ س شرطة، والزاوية التالتة المجهولة. وبيبقى كده عندنا جميع أطوال أضلاع المثلث وجميع الزوايا للمثلث، وبيبقى هو ده المقصود بحل المثلث.

أول حاجة هنوجد الزاوية المجهولة اللي هي الزاوية ص، قياس الزاوية ص. ده مثلث قائم الزاوية يعني الزاوية ص والزاوية س مجموعهم تسعين درجة، يعني خمسة وتلاتين درجة زائد الـ ص هيساوي تسعين. يبقى كده الزاوية ص هتساوي خمسة وخمسين درجة. يبقى كده حسبنا الزاوية المجهولة في المثلث القائم الزاوية.

تاني حاجة هنحسب أطوال الأضلاع المجهولة اللي هي س شرطة وَ ع شرطة. س شرطة بالنسبة للزاوية خمسة وتلاتين درجة هي المقابل، والعشرة هي المجاور، وده الـ ع شرطة هو الوتر. فالأفضل لمّا بنحل في مثال زي كده. القيمة اللي مدّيهالنا اللي هي الخمسة وتلاتين درجة، هي اللي دايمًا أستخدمها، وما أستخدمش القيم اللي أنا حسبتها؛ لأن ممكن يكون فيها خطأ. فهنشوف المقابل والمجاور بالنسبة للزاوية خمسة وتلاتين درجة، اللي هو ظا خمسة وتلاتين درجة هتساوي المقابل على المجاور. المجهول هو المقابل، يبقى نقدر نحسب قيمة المقابل بمعلومية المجاور في ظا الزاوية. يعني المقابل اللي هو بيساوي س شرطة هيساوي … المجاور قيمته عشرة، مضروبة في الـ ظا خمسة وتلاتين درجة. هتساوي تقريبًا سبعة. ما بنقولش التمييز؛ يعني ما بنقولش سنتيمتر أو متر؛ لأن إحنا هنا في الدوال المثلثية بنستخدم النسب المثلثية، وليس أطوال الأضلاع بالظبط بالنسبة للمثلث.

علشان نحسب قيمة الوتر هنستخدم برضو المجاور والزاوية خمسة وتلاتين درجة. الوتر والمجاور والزاوية خمسة وتلاتين درجة، زي كأننا بنقول جتا خمسة وتلاتين درجة بتساوي المجاور على الوتر. المجهول هو الوتر. يبقى بضَرْب طرفين في وسطين. يبقى قيمة الوتر اللي هو بيساوي ع شرطة. هيساوي … المجاور اللي هو قيمته عشرة، على جتا الخمسة وتلاتين درجة، اللي هو هيساوي تقريبًا اتناشر واتنين من عشرة.

يبقى كده حلينا المثلث س ص ع بمعلومية زاوية وطول ضلع الـ ع س بإن إحنا أوجدنا باقي القيم اللي مجهولة في المثلث للأطوال والزوايا. هنا ما احتاجناش نستخدم الدالة المثلثية العكسية لحل المثلث؛ لأن هو هنا مدّيلنا الزاوية مباشرةً. فبالتالي إحنا مش محتاجين نوجد قيمة 𝜃.

في المثال التاني ده هو مدّيلنا أطوال وما فيش زوايا. يبقى كده محتاجين إننا نستخدم الدالة المثلثية العكسية. أول خطوة هنوجد الـ ك شرطة باستخدام نظرية فيثاغورس. يبقى أول حاجة قيمة الـ ك شرطة هتساوي الجذر التربيعي لتمنية تربيع زائد حداشر تربيع. باستخدام نظرية فيثاغورس، يبقى ك شرطة هتساوي الجذر التربيعي لمية خمسة وتمانين. وده طول الضلع التالت المجهول.

تاني خطوة عايزين نحسب الزوايا المجهولة بالنسبة للزاوية م. فالمقابل تمنية والمجاور حداشر. يعني باستخدام ظا الزاوية هيساوي المقابل على المجاور؛ يعني الـ م هتساوي الدالة العكسية للظل. المقابل قيمته تمنية، والمجاور حداشر، يبقى هتساوي تقريبًا ستة وتلاتين درجة. عشان نحسب قيمة الـ ل يبقى ظا الـ ل هتساوي المقابل على المجاور. المقابل لها هو حداشر على المجاور تمنية، يعني قيمة الزاوية ل هتساوي الدالة العكسية للظل، وحداشر على تمنية اللي هي هتساوي تقريبًا أربعة وخمسين درجة.

كان ممكن نستخدم الستة وتلاتين درجة دي، ونحسب قيمة زاوية الـ ل بإنها تبقى تسعين ناقص ستة وتلاتين، ونحصل على القيمة أربعة وخمسين. بس برضو الأحسن إن إحنا نستخدم القيم اللي هو مدّيهالنا في المسألة، ونحسب بيها القيم المجهولة؛ علشان لو كان فيه خطأ في الأرقام اللي طلعناها.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن إيه هي الدالة العكسية للدوال المثلثية. وعرفنا إن الدالة العكسية ليست هي مقلوب الدوال المثلثية. وإزاي نحلّ مثلث قائم الزاوية؛ يعني نوجد أطوال الأضلاع المجهولة والزوايا المجهولة، باستخدام الدوال العكسية للدوال المثلثية.