فيديو الدرس: حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية. سنوجد حلولًا بمعلومية مدى معين بالدرجات أو الراديان. يمكن تبسيط المعادلات التي نتعامل معها باستخدام متطابقات ضعف الزاوية أو متطابقات نصف الزاوية. سنبدأ بتذكر كيف يمكننا حل المعادلات البسيطة عن طريق تذكر إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة أو التمثيلات البيانية للدوال المثلثية.

كما ذكرنا من قبل، توجد وحدتان لقياس الزوايا هما الدرجات والراديان. نعلم أن ١٨٠ درجة تساوي 𝜋 راديان. هذا يعني أن ٩٠ درجة تساوي 𝜋 على اثنين راديان، و٣٦٠ درجة تساوي اثنين 𝜋 راديان. يمكننا إيجاد حلول معادلة مثلثية برسم التمثيل البياني المناسب أو عن طريق تذكر إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. وعلى الرغم من وجود عدد لا نهائي من الحلول للمعادلات التي لدينا، فإننا سنركز في هذا الفيديو على الحلول التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة، أو بين صفر واثنين 𝜋 راديان. نقيس الزوايا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب من المحور ﺱ كما هو موضح. يمكننا استبدال القيم المعطاة بالدرجات واستخدام القيم المناظرة لها بالراديان.

في الربع الأول، تكون قيم جا 𝜃 وجتا 𝜃 وظا 𝜃 كلها موجبة. في الربع الثاني، تكون قيمة جا 𝜃 موجبة، بينما تكون قيمتا جتا 𝜃 وظا 𝜃 سالبتين. وفي الربع الثالث، تكون قيمة ظا 𝜃 موجبة، في حين أن قيمتي جا 𝜃 وجتا 𝜃 سالبتان. ويكون هذا صحيحًا عندما تقع 𝜃 بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة. وأخيرًا، عندما تقع 𝜃 بين ٢٧٠ و٣٦٠ درجة، وهو ما يعرف بالربع الرابع، تكون قيمة جتا 𝜃 موجبة، بينما تكون قيمتا جا 𝜃 وظا 𝜃 سالبتين. يمكننا استخدام هذه المعطيات لحل المعادلات المثلثية البسيطة.

أوجد مجموعة الحلول الممكنة لـ جتا 𝜃 يساوي نصفًا، علمًا بأن 𝜃 تنتمي للفترة المغلقة من صفر إلى ٣٦٠ درجة.

القوس المعقوف للداخل هنا يعني أن 𝜃 يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من أو تساوي ٣٦٠ درجة. أما إذا كان لدينا قوس معقوف للخارج، فإن 𝜃 تكون أكبر من أو أصغر من القيمة لكنها لا تساوي هذه القيمة. لحل المعادلة جتا 𝜃 يساوي نصفًا، نأخذ الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. بحل ذلك، نجد أن قيمة 𝜃 تساوي ٦٠ درجة. في هذه المرحلة، يجدر بنا استحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة، حيث يمكننا بعد ذلك معرفة الأرباع التي تقع فيها الحلول. وبما أن قيمة جتا 𝜃 موجبة، فستقع الحلول في الربعين الأول والرابع.

يقع الحل بالفعل في الربع الأول. وهو يساوي ٦٠ درجة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة الحل في الربع الرابع بطرح ٦٠ درجة من ٣٦٠ درجة. وهذا يعطينا الإجابة ٣٠٠ درجة. إذن مجموعة حلول جتا 𝜃 يساوي نصفًا في الفترة المغلقة من صفر إلى ٣٦٠ درجة هي ٦٠ درجة و٣٠٠ درجة.

سنتناول الآن بعض المسائل الأكثر تعقيدًا باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

فيما يلي متطابقات ضعف الزاوية لدينا. أولًا، جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. لاحظ أن المتطابقات تكتب أحيانًا أيضًا بثلاث شرطات، وهو ما يوضح أنها صحيحة لجميع قيم المتغير. جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. وباستخدام حقيقة أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا، فإن جتا اثنين 𝜃 يساوي أيضًا اثنين جتا تربيع 𝜃 ناقص واحد، وواحد ناقص اثنين جا تربيع 𝜃. وأخيرًا، لدينا ظا اثنين 𝜃 يساوي اثنين ظا 𝜃 مقسومًا على واحد ناقص ظا تربيع 𝜃.

في هذا الفيديو، لن نثبت هذه المتطابقات. بل سنستعين بها ببساطة لحل المعادلات. في السؤال التالي، سنستخدم حقيقة أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃.

أوجد مجموعة الحلول الممكنة بالنسبة إلى اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي صفرًا، علمًا بأن 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من ٣٦٠ درجة

يوضح لنا القوس المعقوف للداخل أن 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا، بينما يخبرنا القوس المعقوف للخارج أن 𝜃 أصغر من ٣٦٠ درجة لكنها لا تساوي هذه القيمة. يمكننا حل المعادلة بالاستعانة بما نعرفه عن متطابقات ضعف الزاوية. نعلم أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. هذا يعني أن علينا حل المعادلة جا اثنين 𝜃 يساوي صفرًا. بأخذ الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على اثنين 𝜃 يساوي الدالة العكسية للجيب صفر.

وعلى الرغم من أن حل هذه المعادلة يعطينا حلًّا واحدًا، فإنه من المفيد رسم التمثيل البياني لـ جا 𝜃 وجا اثنين 𝜃 قبل متابعة الحل. نعلم أن جا 𝜃 دالة دورية، والمطلوب في السؤال التركيز على القياسات التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. وعليه، نجد أن أعلى قيمة لمنحنى الدالة تساوي واحدًا وأصغر قيمة تساوي سالب واحد، كما هو موضح. التمثيل البياني لـ جا اثنين 𝜃 سيكون عبارة عن تمدد لهذا المنحنى. ويتمدد المنحنى بمعامل قياس يساوي نصفًا في الاتجاه الأفقي. هذا يعني أنه سيبدو كما هو موضح.

وتكون أكبر قيمة هي واحدًا عند 𝜃 تساوي ٤٥ درجة، وأقل قيمة هي سالب واحد عند 𝜃 تساوي ١٣٥ درجة. نريد تحديد النقاط التي يساوي عندها التمثيل البياني صفرًا. ويوجد منها خمس نقاط على التمثيل البياني، وهي عند: صفر، و٩٠، و١٨٠، و٢٧٠، و٣٦٠ درجة. لكننا نتذكر أن 𝜃 لا بد أن تكون أقل من ٣٦٠ درجة. لذا، فإن النقطة الأخيرة لا تمثل حلًّا. إذن، الحلول الأربعة للمعادلة اثنان جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي صفرًا، علمًا بأن 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة، هي: صفر، و٩٠، و١٨٠، و٢٧٠ درجة.

في المثال التالي، سنستخدم إحدى متطابقات ضعف الزاوية التي تتضمن جتا اثنين 𝜃.

أوجد مجموعة الحل بالنسبة إلى ﺱ إذا كان جتا اثنين ﺱ زائد ١٣ جذر ثلاثة في جتا ﺱ يساوي سالب ١٩، حيث ﺱ يقع بين صفر واثنين 𝜋.

تخبرنا الأقواس المعقوفة للخارج أن ﺱ أكبر من صفر وأصغر من اثنين 𝜋 لكنه لا يساوي هاتين القيمتين. وهذا يشير أيضًا إلى أنه علينا إيجاد الحلول بالراديان. يمكننا حل المعادلة في هذا المدى باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تنص إحدى المتطابقات على أن جتا اثنين ﺱ يساوي اثنين جتا تربيع ﺱ ناقص واحد. يمكننا إذن إعادة كتابة المعادلة كما هو موضح. يمكننا إضافة ١٩ إلى كلا طرفي المعادلة، لنحصل على اثنين جتا تربيع ﺱ زائد ١٣ جذر ثلاثة جتا ﺱ زائد ١٨ يساوي صفرًا. إذا افترضنا أن ﺹ يساوي جتا ﺱ، يمكن إعادة كتابة ذلك على صورة اثنان ﺹ تربيع زائد ١٣ جذر ثلاثة ﺹ زائد ١٨ يساوي صفرًا.

وبهذا أصبح لدينا معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، والتي يمكننا حلها باستخدام القانون العام كما هو موضح. قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي اثنان، و١٣ جذر ثلاثة، و١٨، على الترتيب. بالتعويض بهذه القيم في القانون العام، نحصل على قيمتين لـ ﺹ. إما ﺹ يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين وإما يساوي سالب ستة جذر ثلاثة. هذا يعني أن جتا ﺱ يجب أن يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين أو سالب ستة جذر ثلاثة.

وبما أن قيمة جتا ﺱ لا بد أن تقع في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد، فإن الخيار الثاني ليس حلًّا. يمكننا الآن حل المعادلة جتا س يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين عن طريق استحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. وبما أن جيب تمام الزاوية يساوي قيمة سالبة، فسيكون لدينا حلان في الربعين الثاني والثالث. أحد هذين الحلين سيكون بين 𝜋 على اثنين و𝜋، والثاني بين 𝜋 وثلاثة 𝜋 على اثنين.

ونعلم أن جتا ٣٠ درجة أو 𝜋 على ستة راديان يساوي جذر ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن الحلين يساويان 𝜋 ناقص 𝜋 على ستة و𝜋 زائد 𝜋 على ستة. وهذا يعطينا حلين: خمسة 𝜋 على ستة، وسبعة 𝜋 على ستة. إذن، مجموعة الحل للمعادلة جتا اثنين ﺱ زائد ١٣ جذر ثلاثة جتا ﺱ يساوي سالب ١٩ هي خمسة 𝜋 على ستة، وسبعة 𝜋 على ستة.

قبل الإجابة عن السؤال الأخير، سنتناول متطابقات نصف الزاوية.

أولًا، لدينا جا 𝜃 على اثنين يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا 𝜃 الكل مقسوم على اثنين. المتطابقة الثانية مشابهة للغاية. جتا 𝜃 على اثنين يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد زائد جتا 𝜃 الكل مقسوم على اثنين. وأخيرًا، لدينا ظا 𝜃 على اثنين يساوي جا 𝜃 مقسومًا على واحد زائد جتا 𝜃. وكبديل لذلك، فإن هذا يساوي واحدًا ناقص جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃. سنفكر الآن في مسألة علينا فيها استخدام إحدى هذه المتطابقات.

حل ظا ﺱ على اثنين يساوي جا ﺱ، حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من اثنين 𝜋 راديان.

نعلم من السؤال أن الحلول يجب أن تكون أصغر من اثنين 𝜋 وأكبر من أو تساوي صفرًا. هذا يعني أننا سنتمكن من حل المعادلات باستحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة أو برسم تمثيلات بيانية للدوال المثلثية. باستخدام إحدى متطابقات نصف الزاوية، نعلم أن ظا ﺱ على اثنين يساوي واحدًا ناقص جتا ﺱ مقسومًا على جا ﺱ. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتصبح واحدًا ناقص جتا ﺱ مقسومًا على جا ﺱ يساوي جا ﺱ.

بضرب طرفي المعادلة في جا ﺱ، نحصل على واحد ناقص جتا ﺱ يساوي جا تربيع ﺱ. وبما أن جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع ﺱ، يصبح لدينا واحد ناقص جتا ﺱ يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع ﺱ. يمكننا بعد ذلك إضافة جتا تربيع ﺱ وطرح واحد من كلا طرفي المعادلة. هذا يعطينا جتا تربيع ﺱ ناقص جتا ﺱ يساوي صفرًا. بأخذ جتا ﺱ عاملًا مشتركًا، نحصل على جتا ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. وهذا يعني إما أن جتا ﺱ يساوي صفرًا، وإما جتا ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. يمكن إعادة كتابة المعادلة الثانية لتصبح جتا ﺱ يساوي واحدًا.

لدينا الآن معادلتان يمكن حلهما إما باستحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة وإما برسم التمثيل البياني لـ جتا س. ويبدو التمثيل البياني لدالة جيب التمام بين صفر واثنين 𝜋 كما هو موضح. بتذكر أنه يجب أن تكون القيم أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من اثنين 𝜋، نجد أن التمثيل البياني يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي 𝜋 على اثنين وثلاثة 𝜋 على اثنين. وجتا ﺱ يساوي واحدًا عند ﺱ يساوي صفرًا أو اثنين 𝜋. لكن اثنين 𝜋 لا يقع ضمن نطاق قيم ﺱ. هذا يعني أن هناك ثلاثة حلول للمعادلة. ظا ﺱ على اثنين يساوي جا ﺱ عند ﺱ يساوي صفرًا، و𝜋 على اثنين، وثلاثة 𝜋 على اثنين.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية. يمكننا أيضًا استخدام صيغ معدلة من هذه المتطابقات تعرف باسم متطابقات نصف الزاوية. في كلتا الحالتين، عادة ما يكون لدينا مجموعة من القيم بين صفر و٣٦٠ درجة أو من صفر إلى اثنين 𝜋 راديان. يمكننا بعد ذلك استحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة أو التمثيلات البيانية للدوال المثلثية لمساعدتنا في حل المعادلات.