فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين موضحين على شبكة الرسم الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب ‪𝚨‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝚩‬‏.

حسنًا، يتمحور هذا السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي. ولدينا شكل يوضح المتجهين المسميين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. نعلم أن طول ضلع كل مربع من مربعات الشبكة يساوي واحدًا. ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. لنبدأ بكتابة المتجهات في الصورة المركبة. لإجراء ذلك، علينا إيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل متجه باستخدام الشكل. سنضيف المحور ‪𝑥‬‏ والمحور ‪𝑦‬‏ إلى هذا الشكل لنجعل هذه العملية أكثر وضوحًا. نلاحظ أن المتجه ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار وحدتين في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑥‬‏، وبمقدار ست وحدات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏.

الآن، تذكر أن متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏ يسمى ‪𝐢‬‏، ومتجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏ هو ‪𝐣‬‏. إذن، يمكننا كتابة المتجه ‪𝐀‬‏ على صورة مركبته ‪𝑥‬‏، التي تساوي اثنين، مضروبة في ‪𝐢‬‏ زائد مركبته ‪𝑦‬‏، التي تساوي ستة، مضروبة في ‪𝐣‬‏. بالنسبة للمتجه ‪𝐁‬‏، نلاحظ أنه يمتد بمقدار خمس وحدات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑥‬‏، وبمقدار وحدة واحدة في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏. إذن، يمكننا كتابة أن المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي مركبته ‪𝑥‬‏، التي تساوي خمسة، مضروبة في ‪𝐢‬‏، زائد مركبته ‪𝑦‬‏، التي تساوي واحدًا، مضروبة في ‪𝐣‬‏.

لدينا الآن مقداران لكل من المتجه ‪𝐀‬‏ والمتجه ‪𝐁‬‏ في صورتيهما المركبة. يطلب منا السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. لذا دعونا نسترجع تعريف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنعرف متجهين عامين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. وسنسمي هذين المتجهين بحرف ‪𝐚‬‏ صغير وحرف ‪𝐛‬‏ صغير؛ حيث نستخدم الأحرف الصغيرة لتمييز هذه الحالة العامة عن المتجهين المحددين المذكورين في المسألة. يمكننا كتابة هذين المتجهين العامين في الصورة المركبة، بتسمية مركبتي ‪𝑥‬‏ بالرمز ‪𝑥‬‏، ومركبتي ‪𝑦‬‏ بالرمز ‪𝑦‬‏.

بعد ذلك، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ بأنه المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏. وكل هذا مضروب في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في اتجاه المحور ‪𝑧‬‏. يمكننا استخدام هذا التعريف لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين من السؤال: ‪𝐀‬‏ بحرف كبير و‪𝐁‬‏ بحرف كبير.

نريد إيجاد حاصل ضرب ‪𝐀‬‏ اتجاهيًّا في ‪𝐁‬‏. باستخدام التعبير العام عن حاصل الضرب الاتجاهي، نلاحظ أن الحد الأول يوضح أن المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي اثنين، مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي واحدًا. ومن هذا الحد الأول، نطرح حدًّا ثانيًا. بالنظر مرة أخرى إلى التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي، نلاحظ أنه بالنسبة للحد الثاني فإننا نحتاج إلى ضرب المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي ستة، في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي خمسة. وأخيرًا، نلاحظ أن علينا ضرب كل هذا في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في اتجاه ‪𝑧‬‏.

كل ما تبقى علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التعبير هنا. إذا أجرينا عمليتي الضرب، فسنجد أن الحد الأول، وهو اثنان مضروبًا في واحد، يساوي اثنين، والحد الثاني، ستة مضروبًا في خمسة، يساوي 30. وأخيرًا، بطرح 30 من اثنين، نحصل على إجابة السؤال، وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي سالب 28 𝐤.