نسخة الفيديو النصية
استخدم المشتقات لتحديد أي من الآتي هو منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية مضروبًا في سالب ﺱ تربيع زائد ﺱ الكل تربيع. الخيارات أ، ب، ج، د، هـ.
في هذا السؤال، علينا تحديد أي التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية مضروبًا في سالب ﺱ تربيع زائد ﺱ الكل تربيع. ومطلوب منا فعل ذلك باستخدام المشتقات. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكن الإجابة عن هذا السؤال دون استخدام المشتقات. إحدى طرق فعل ذلك هي التعويض بقيم ﺱ في الدالة ﺩﺱ، وتحديد القيم المخرجة لها. يمكننا بعد ذلك إنشاء جدول دالة لتحديد النقاط التي يجب أن يمر بها منحنى الدالة. وعلى الرغم من أن هذه الطريقة صحيحة، فإن السؤال يطلب منا استخدام المشتقات على وجه التحديد. لذا ينبغي لنا بدلًا من ذلك إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونتناول الدالة ﺩﺱ.
نلاحظ أن ﺩﺱ دالة مركبة من دالتين. إنها كثيرة حدود مربعة. هذا يعني أن لدينا خيارات عدة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. وإحدى طرق فعل ذلك هي استخدام قاعدة السلسلة. وهذه طريقة جيدة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. ومع ذلك نلاحظ أن الدالة الخارجية مرفوعة للأس اثنين فقط، وذلك سيمكننا أيضًا من فك المقدار الممثل للدالة ﺩﺱ باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. يمكن استخدام كلتا الطريقتين، واختيار أي منهما يتوقف على تفضيلنا الشخصي. في هذا الفيديو، سنوزع الأس على القوسين. وبناء عليه نحصل على ﺩﺱ تساوي ثمانية مضروبًا في ﺱ أس أربعة ناقص اثنين ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع.
يمكننا الآن اشتقاق ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من كل أس. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثمانية مضروبًا في أربعة ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار الذي يمثل ﺩ شرطة ﺱ؛ حيث نلاحظ أن كلًّا من الحدود الثلاثة داخل القوسين يشترك في العامل اثنين وكذلك العامل ﺱ. وبذلك يمكننا إعادة كتابة ﺩ شرطة ﺱ على الصورة ١٦ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد.
لنفكر الآن فيما يمكننا استنتاجه من هذه المشتقة بالنسبة للتمثيل البياني للدالة. لعلنا نتذكر أنه عندما تساوي ﺩ شرطة ﺱ صفرًا أو عندما تكون غير موجودة، نقول إن التمثيل البياني له نقطة حرجة. وتحديدًا، بما أن ﺩﺱ في هذا المثال كثيرة حدود، نعلم أنها معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وبالمثل، تكون مشتقتها معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. إذن، توجد النقاط الحرجة فقط عندما تساوي المشتقة صفرًا. من ثم يمكننا إيجاد جميع النقاط الحرجة للدالة لدينا بحل المعادلة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا. سنفعل ذلك باستخدام التحليل؛ لذا علينا تحليل الدالة التربيعية اثنان ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد. وثمة طرق عدة لفعل ذلك. نلاحظ أن هذه الدالة التربيعية يمكن تحليلها إلى اثنين ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ ناقص واحد. وبضرب ذلك في ١٦ﺱ، نحصل على ﺩ شرطة ﺱ.
يمكننا الآن حل المعادلة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا بمساواة كل عامل من العوامل الثلاثة بصفر. بمساواة العامل الأول بصفر نجد أن ﺱ يساوي صفرًا. وبمساواة العامل الثاني بصفر نجد أن ﺱ يساوي نصفًا. وبمساواة العامل الثالث بصفر نحصل على ﺱ يساوي واحدًا. وبذلك يكون للتمثيل البياني للدالة ثلاث نقاط حرجة: نقطة عند ﺱ يساوي صفرًا، ونقطة عند ﺱ يساوي نصفًا، ونقطة عند ﺱ يساوي واحدًا. تقع هذه النقاط على التمثيل البياني عندما تساوي المشتقة صفرًا، أي عندما يساوي ميل المماس للتمثيل البياني صفرًا، ما يعني أن الخطوط المماسية له تكون أفقية عند هذه النقاط.
يمكننا تحديد إحداثيات النقاط الحرجة بدقة بالتعويض عن ﺱ بصفر، وعن ﺱ بنصف، وعن ﺱ بواحد في الدالة ﺩﺱ. وعند فعل ذلك، نجد أن ﺩ لصفر تساوي صفرًا، وﺩ لنصف تساوي نصفًا، وﺩ لواحد تساوي صفرًا. إذن، فالتمثيل البياني للدالة له نقاط حرجة عند صفر، صفر؛ ونصف، نصف؛ وواحد، صفر. ليس هذا ما يمكننا تحديده فقط من خلال المشتقة. تذكر أنه عندما تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ موجبة، تكون الدالة تزايدية، ويتجه منحنى الدالة للأعلى. لكن عندما تكون ﺩ شرطة ﺱ سالبة، يتجه منحنى الدالة للأسفل، أي الدالة تناقصية.
من ثم، توضح لنا إشارة المشتقة الأولى الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية. يمكننا تحديد إشارة المشتقة الأولى بالنظر إلى المقدار الذي يمثل ﺩ شرطة ﺱ بعد تحليله. أولًا: عندما تكون جميع العوامل موجبة، تكون ﺩ شرطة ﺱ موجبة. ولكي يكون العامل الأول موجبًا، يجب أن يكون ﺱ موجبًا. ولكي يكون العامل الثاني موجبًا، يجب أن يكون ﺱ أكبر من نصف. ولكي يكون العامل الثالث موجبًا، يجب أن يكون ﺱ أكبر من واحد. تتحقق هذه الأمور الثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من واحد، ما يعني أن ﺩ شرطة ﺱ موجبة عند ﺱ أكبر من واحد. إذن، الدالة تكون تزايدية عندما يكون ﺱ أكبر من واحد.
لنر الآن ما يحدث لمشتقة الدالة بين نقطتين من النقاط الحرجة الثلاث، وهما ﺱ يساوي نصفًا، وﺱ يساوي واحدًا. عند قيم ﺱ التي تقع بين نصف وواحد، فإن العامل ١٦ مضروبًا في ﺱ يساوي قيمة موجبة. وبالمثل، عند قيم ﺱ التي تقع بين نصف وواحد، اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي قيمة موجبة؛ لأن ﺱ أكبر من نصف. لكن العامل الثالث سيكون سالبًا؛ لأن ﺱ أقل من واحد. ومن ثم لدينا موجب في موجب في سالب. إذن، المشتقة الأولى لـ ﺩ بالنسبة إلى ﺱ سالبة على هذه الفترة. إذن تكون الدالة تناقصية عندما يكون ﺱ أكبر من نصف، وﺱ أقل من واحد.
دعونا نطبق الطريقة نفسها عند قيم ﺱ التي تقع بين النقطتين الحرجتين الأخريين؛ أي عندما يكون ﺱ أكبر من صفر وأقل من نصف. بما أن ﺱ أكبر من صفر على هذه الفترة، نستنتج أن قيمة ﺱ موجبة. إذن ١٦ مضروبًا في ﺱ يساوي قيمة موجبة. لكن على هذه الفترة، ﺱ أقل من نصف، ما يعني أن اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي قيمة سالبة. وبالمثل، على هذه الفترة، قيم ﺱ أقل من واحد. هذا يعني أن ﺱ ناقص واحد يساوي قيمة سالبة. إذن، عند قيم ﺱ التي تقع بين صفر ونصف، لدينا موجب في سالب في سالب. وهذا يعطينا قيمة موجبة. ومن ثم، المشتقة الأولى لـ ﺩ تكون موجبة على هذه الفترة. إذن، الدالة تزايدية عند قيم ﺱ التي تقع بين صفر ونصف.
ثمة فترة أخيرة علينا تناولها: ماذا يحدث عند قيم ﺱ الأقل من صفر؟ عند قيم ﺱ الأقل من صفر، ﺱ يساوي عددًا سالبًا. وهذا يعني أن ١٦ مضروبًا في ﺱ يساوي قيمة سالبة. وكذلك بالمثل، بالنسبة لقيم ﺱ الأقل من نصف وقيم ﺱ الأقل من واحد. ومن ثم، اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي قيمة سالبة، وﺱ ناقص واحد يساوي قيمة سالبة أيضًا. عند قيم ﺱ الأقل من صفر، ﺩ شرطة ﺱ تساوي حاصل ضرب ثلاثة أعداد سالبة، ما يعني أنها سالبة. هذا يعني أن الدالة تناقصية على هذه الفترة.
يمكننا الآن تحليل المشتقة الثانية لتحديد الفترات التي يكون منحنى الدالة عندها محدبًا لأعلى ومحدبًا لأسفل. ويمكن تحديد ذلك بمعلومية إشارة المشتقة الثانية. يمكننا كذلك تحديد النقاط التي يتغير عندها التحدب. وهذه النقاط تمثل نقاط انقلاب. ولكن كما يتضح، فليس من الضروري تحليل المشتقة الثانية للإجابة عن هذا السؤال باستخدام المشتقات. لذا، وعلى الرغم من أنه يمكننا تحليل المشتقة الثانية، فإننا لن نفعل ذلك في هذه الحالة.
لنلق الآن نظرة فاحصة على الخيارات الخمسة المعطاة. لنبدأ بالخيار أ. يمكننا تحديد أي نقطة من النقاط الحرجة للدالة لدينا، وهي النقاط التي يساوي عندها الميل صفرًا. وهذه هي النقاط التي تقع على التمثيل البياني عندما تكون الخطوط المماسية أفقية. نلاحظ أنه توجد ثلاث نقاط ينطبق عليها ذلك، ويمكننا قراءة إحداثيات هذه النقاط الثلاث، وهي: النقطة صفر، صفر، والنقطة نصف، سالب نصف، والنقطة واحد، صفر. وهذا يكفي لاستنتاج أن هذا الخيار ليس التمثيل البياني للدالة المعطاة؛ لأننا أوجدنا بالفعل إحداثيات جميع النقاط الحرجة الثلاث للتمثيل البياني ﺹ يساوي ﺩﺱ. على وجه التحديد، إحداثيا إحدى النقاط الحرجة لدينا هما نصف، نصف، وليسا نصفًا، سالب نصف. ومن ثم، فهذا ليس التمثيل البياني للدالة.
يمكننا تطبيق الخطوات نفسها على الخيار ب. لنبدأ بتحديد النقاط الحرجة الثلاث. وهذه هي النقاط التي يساوي عندها ميل المماس لمنحنى التمثيل البياني صفرًا. نلاحظ أنه توجد ثلاث نقاط ينطبق عليها ذلك على التمثيل البياني، ب. لكننا نلاحظ أن إحداثيين من إحداثيات ﺱ لهذه النقاط الحرجة سالبان. وهذان الإحداثيان السالبان ليسا ضمن إحداثيات النقاط الحرجة التي أوجدناها عند ﺱ يساوي نصفًا وعند ﺱ يساوي واحدًا، ما يعني أن الخيار ب ليس صحيحًا. دعونا ننتقل إلى الخيار ج، ونحدد النقاط الحرجة الثلاث مرة أخرى. في هذه الحالة أيضًا، توجد ثلاث نقاط حرجة على هذا التمثيل البياني، ونلاحظ أن إحدى هذه النقاط إحداثياها نصف، صفر. وهذا لا يطابق إحداثيي أي من النقاط الحرجة التي أوجدناها. إذن نستبعد الخيار ج.
لننتقل الآن إلى الخيار د. سنحدد مرة أخرى النقاط الحرجة على هذا التمثيل البياني. توجد ثلاث نقاط حرجة على هذا التمثيل البياني، ونلاحظ أن إحداها لها الإحداثيان سالب واحد، صفر. وهذا لا يتوافق مع النقاط الحرجة الثلاث التي أوجدناها. إذن، مرة أخرى، يمكننا استبعاد هذا الخيار. الخيار د ليس صحيحًا بأي حال. بذلك يتبقى لدينا الخيار هـ. ولكن لمزيد من التأكيد، دعونا نتحقق من أن النقاط الحرجة صحيحة وأن فترات التزايد والتناقص صحيحة أيضًا على هذا التمثيل البياني. أولًا: نلاحظ أن التمثيل البياني له ثلاث نقاط حرجة: واحدة عند نقطة الأصل، وواحدة عند النقطة التي إحداثياها نصف، نصف، وواحدة عند النقطة التي إحداثياها واحد، صفر. وهذا يتوافق مع النقاط الحرجة الثلاث التي أوجدناها سابقًا.
بعد ذلك، دعونا نلق نظرة على فترات تزايد الدالة وفترات تناقصها. نلاحظ أنه عند قيم ﺱ الأكبر من واحد، يتجه منحنى الدالة إلى أعلى، أي إنها تزايدية. وبالمثل، نلاحظ أنه عند قيم ﺱ التي تقع بين صفر ونصف، يتجه منحنى الدالة إلى أعلى. هذا يعني أن الدالة تزايدية. وهذا يتوافق مع فترتي التزايد اللتين أوجدناهما سابقًا. يجب أن تكون الدالة تزايدية عندما يكون ﺱ أكبر من واحد، وعند قيم ﺱ التي تقع بين صفر ونصف.
يمكننا استخدام الطريقة نفسها لتحديد الفترتين اللتين تكون عندهما الدالة تناقصية. نلاحظ أنه عند قيم ﺱ الأقل من نصف، يتجه منحنى الدالة إلى أسفل. هذا يعني أن الدالة تناقصية. وبالمثل، عند قيم ﺱ التي تقع بين نصف وواحد، يتجه منحنى الدالة لأسفل. ومن ثم، الدالة تناقصية. وهذا يتوافق مع فترتي التناقص اللتين أوجدناهما سابقًا. لا بد أن تكون الدالة تناقصية عند قيم ﺱ التي تقع بين نصف وواحد، ولا بد أيضًا أن تكون الدالة تناقصية عندما يكون ﺱ أقل من صفر. إذن، باستخدام المشتقات، نكون قد تمكنا من تحديد أي التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية مضروبًا في سالب ﺱ تربيع زائد ﺱ الكل تربيع. إنه التمثيل البياني المدرج في الخيار هـ.
