نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا إذا كانت ﺹ يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة أس سالب ثلاثة في ﺱ تربيع ناقص اثنين أس خمسة.
إذن أول ما علينا فعله هو إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ باشتقاق الدالة. وأيًّا كان ما سنحصل عليه، فسنحسب قيمته عند ﺱ يساوي واحدًا. نريد إذن اشتقاق الدالة ﺹ. نلاحظ أن ﺹ يساوي حاصل ضرب دالتين معًا. ولأنه حاصل ضرب، لذا نستخدم قاعدة الضرب. دعونا نتذكر قاعدة الضرب. تنص قاعدة الضرب على أنه إذا كان ﺹ يساوي ﻉﻕ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ.
إذن، في هذه المسألة، ﻉ سيساوي ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة أس سالب ثلاثة. وﻕ سيساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين أس خمسة. ويمكننا أن نلاحظ من قاعدة الضرب أننا سنحتاج إلى ﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ. فلنبدأ إذن بإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. نظرًا لأن ﻉ هي دالة لدالة، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. لذا دعونا نتذكر قاعدة السلسلة أولًا. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كان ﻉ يساوي ﺩﺃ، وﺃ هو ﺭﺱ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﺩﻉ على ﺩﺃ مضروبًا في ﺩﺃ على ﺩﺱ. دعونا إذن نطبق ذلك على الدالة ﻉ.
لدينا ﺃ يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة. وعند اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﺱ نحصل على ﺩﺃ على ﺩﺱ يساوي ١٢ﺱ ناقص اثنين. وحصلنا على ذلك بضرب المعامل ستة في الأس اثنين، ثم طرح واحد من الأس لنحصل على ١٢ﺱ. ونشتق اثنين ﺱ لنحصل على اثنين. والثلاثة هي مجرد ثابت. ولأننا قلنا إن ﺃ يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة، نجد أن ﻉ يساوي ﺃ أس سالب ثلاثة. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺃ يساوي سالب ثلاثة ﺃ أس سالب أربعة.
وبتطبيق صيغة قاعدة السلسلة، يصبح لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺃ أس سالب أربعة في ١٢ﺱ ناقص اثنين. وتذكر أننا عرفنا ﺃ بالفعل على أنه ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة. إذن، بالتعويض عن ﺃ، نحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة أس سالب أربعة في ١٢ﺱ ناقص اثنين. فنحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ. والآن نحتاج أيضًا إلى ﺩﻕ على ﺩﺱ. ومرة أخرى، ﻕ هي دالة لدالة. لذا، سنحتاج إلى قاعدة السلسلة مرة أخرى.
في هذه الحالة، لدينا ﺃ يساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين، لذا ﺩﺃ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ. وبما أننا عرفنا ﺃ على أنه يساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين، فإن ﻕ يساوي ﺃ أس خمسة، ومن ثم فإن ﺩﻕ على ﺩﺃ يساوي خمسة ﺃ أس أربعة. بتطبيق قاعدة السلسلة، نحصل على ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي خمسة ﺃ أس أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ. وتذكر مرة أخرى أننا عرفنا ﺃ على أنه يساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين. إذن يمكننا التعويض عن ﺃ في هذا المقدار، وهو ما يعطينا خمسة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين أس أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ. ويمكننا ضرب خمسة واثنين ﺱ معًا لترتيب ذلك قليلًا. فنحصل على ١٠ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين أس أربعة.
وبذلك أصبح لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. عندئذ يمكننا تطبيق قاعدة الضرب. سنفرغ بعض المساحة هنا. حسنًا، بتطبيق قاعدة الضرب نحصل على هذه النتيجة. إذن هذا هو ﺩﺹ على ﺩﺱ. تذكر أن السؤال طلب منا إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا. ما يعني أن علينا التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في المشتقة الأولى. وبمجرد التعويض بواحد، يمكننا ترتيب الإجابة قليلًا. واحد أس سالب ثلاثة يساوي واحدًا. وسالب واحد أس أربعة يساوي واحدًا أيضًا.
إذن، هذا يساوي واحدًا في ١٠ في واحد. من ثم، نحصل على ١٠. وسالب واحد أس خمسة يساوي سالب واحد. وواحد أس سالب أربعة يساوي واحدًا فقط. إذن، يصبح هذا سالب واحد في سالب ثلاثة في ١٠ يساوي ٣٠. لدينا إذن ١٠ زائد ٣٠، وهو ما يساوي ٤٠. ومن ثم، اشتققنا الدالة باستخدام مزيج من قاعدة السلسلة وقاعدة حاصل الضرب. ثم أوجدنا قيمة المشتقة الأولى عند القيمة ﺱ يساوي واحدًا لنحصل على الإجابة النهائية ٤٠.
